高考数学复数的加法与减法运算.doc

复数的加法与减法运算

一. 教学内容：

复数的加法与减法运算

二. 重点、难点：

1. 复数的加法：

（）法则：，，，，

1()()()()

a bi c di a c

b d i a b

c

d R

+++=+++∈

显然，复数的加法法则与多项式加法法则相类似，可类比记忆，按照以上的运算法则，保

首尾相接的两个向量分别表示复数z1，z2，则表示复数z1＋z2，以上的平行四边形法则或三角形法则就是复数加法的几何意义，它与物理学上的力的合成分解的平行四边形或三角形法则有着相同的本质。如此以来，也可以把向量的加法转化成复数的加法。

2. 复数的减法：

（）法则：，，，，

1()()()()

a bi c di a c

b d i a b

c

d R

+-+=-+-∈

由于减法是加法的逆运算，上述运算法则容易由复数加法的法则以及复数相等的概念而导出，因此减法法则从属于加法法则。

（2）几何意义：

设向量OZ1，OZ2

分别表示复数z1，z2，则以z1为起点，z2为终点的向量

Z1Z2

表示复数

z2－z1，即差向量的方向指向被减数。

3. （1 （2）由以上复数形式的距离公式，可得某些曲线的复数形式的方程： 复平面内以为圆心，为半径的圆的方程为Z r z z r r 000||()-=> 复平面内以，为焦点的，长轴长为的椭圆方程为：Z Z a 122 ||||(||)z z z z a a a Z Z -+-=>>1212202且

复平面内以，为焦点，实轴长为的双曲线方程为：Z Z a 122 ||||||(||)z z z z a a a Z Z ---=><1212202且

复平面上以点，为端点的线段的垂直平分线方程为：Z Z 12

||||z z z z -=-12

如此以来，复数问题与解析几何问题就建立了联系，有些解析几何问题（如轨迹问题）可化为复数问题，当然，有些复数问题亦可转化为解析几何问题加以解决，这是数形结合解决问题的出发点。

4. 复数模的性质之一：

||||||||||||z z z z z z 121212-≤+≤+，常用在最值问题中。

【典型例题】

例1. 求证：若复数，则为纯虚数的充要条件是。z z z z ≠+=00 证明：充分性。

设，且，中至少有一个不为，则z a bi a b R a b z a bi =+∈=-()0 z z a bi a bi a +=++-==()()20

∴=a a b 00，则，中至少有一个不为 ∴≠b z 0，可见为纯虚数 必要性。

若为纯虚数，则设（且）z z bi b R b =∈≠0 ∴=-z bi

∴+=+-=z z bi bi ()0

综上可得为纯虚数的充要条件为z z z +=0

注：该例题的结论可作为判断某复数是否为纯虚数的根据。

例2. 设为复数，且，求的值。z z z z ||||||=+=-111

分析：若能由已知条件，求出z ，则可求|z －1|，而确定一个复数z ，需要一对实数，因此需设两个未知数，而已知条件中恰有两个等式，故而可列出关于复数z 的实部、虚部的两个方程。 解：设，z a bi a b R =+∈()

z a bi z z +=++=+=1111()||||，且

∴+=++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒+=++=⎧⎨⎪⎩⎪⇒+=++=⎧⎨⎪⎩⎪a b a b a b a b a b a b a 22222222222

21111111

20()()

解方程组，得a b =-=⎧

⎨

⎪⎪⎩⎪⎪12

342

∴-=+-=-+=-+=-

-+=|||()||()|()()z a bi a bi a b 11111213

43222

注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式a ＋bi （a ，b ∈R ），而后利用已知

条件列出关于a ，b 的方程组，求解出a ，b ，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用。

例3. 已知正方形ABCD 的三个顶点坐标分别是A （1，2），B （－2，1），C （－1，－2），求D 点的坐标。

表示的复数，注意到，而表示的复数，即点C 表示的复数，表示

的复数，即与其相等的向量 表示的复数，而 －OB ，这就与已知建立了联系，问题得解。这充分体现了复数运算的几何意义的应用。 解：设点对应的复数为，，D z x yi x y R =+∈()

ABCD CD BA

为正方形，∴=

而 表示的复数为()()1223+--+=+i i i 即 CD 表示的复数为3+i 又 ＋CD

∴ 表示的复数为()()--++=-1232i i i 即点表示的复数为D i 2- ∴-点的坐标为，D ()21

注：如果注意到已知条件中 与 关于原点对称的关系，则可知原点O 是正方形的中心，从而推知 OD 与 OB 关于原点O 对称，所以 OD 表示的复数就是 OB 表示的复数的“相反数”（借用实数集内概念），即--+=-()22i i ，从而D()21，-。

例4.

若复数满足，求复数在复平面内对应的点所表示的曲线。z z z i z ||||--+=1422

分析：欲求点的轨迹，在难以直接由条件作出判断的情况下，一般先求出轨迹方程，再由

方程的特征判断轨迹是何种曲线，而此处的求轨迹方程的已知条件是关于复数的等式（即方程），