随机过程-快速傅里叶变换
随机过程2-4傅里叶变换(简介)
(4.6)
下面举一些计算平稳序列谱密度的例子。
第2章 平稳过程
第10页
例1 在§1 例1 中离散白噪声的相关函数是
2 m0
RX
(m)
0,
m0
试求其谱密度。
解 由(4.6) 式 SX() eimRX(m) m 2,
结果表明，离散白噪声的谱密度在区间 [ , ] 中是
常数。
第2章 平稳过程
特征函数，可表示为
RX()
eidF()
其中F ( ) 是概率分布函数；亦即
改写为
R RX X((0))21
eid(2F())
RX()21
eidF()
其中 F()2R X(0)F()，而F ( ) 符合定理要求。 证毕。
第2章 平稳过程
R X ()2 1 eid F (),
第6页
(4.1)
|
RX()|d，那么
F / ( ) 可微，故有 F/()SX() ，此时(4.1)式可变成
RX()21 eiSX()d
(4.2)
利用傅里叶变换理论，将（4．2）式反演可得
S X () e iR X ()d,
由此可见 S X ( )是R X ( ) 的傅里叶变换，而 R X ( ) 是 S X ( )
的反傅里叶变换。
相关函数<->谱密度
Fourier变换对
对于平稳序列也有类似于上面的结论。
第2章 平稳过程
第8页
定理 设平稳序列{X (n ),n0 , 1 , 2 ,...}的相关函数是
R X (m ) 2 1 e im d F (), m 0 , 1 , 2 ,... (4.4)
其中F ( ) 是 [ , ]上有界非降函数，且
基于随机过程平均功率的量化误差影响分析
基于随机过程平均功率的量化误差影响分析王学伟;王艳君;王磊;彭小娟【摘要】针对数字化变电站电能计量系统中量化误差对功率测量误差的影响,从系统分析的角度出发,建立了数字化电能计量系统结构化模型和功率测量单元结构化模型,详细地揭示了数字化电能计量系统内部构成要素间的误差传递关系;给出了量化误差的随机过程表述,提出了基于随机过程平均功率的量化误差对功率测量误差的影响分析方法,推导了量化误差影响的功率测量误差数学模型,给出了功率测量相对误差数学解析式;通过对比分析理论推导极限值与蒙特卡罗仿真极限值,二者均在同一个数量级,且理论推导极限值大于仿真极限值,验证了所提方法的有效性.与传统的分析方法相比,所提出的分析方法具有普适性,对功率测量误差的估计具有理论指导意义.【期刊名称】《电力自动化设备》【年(卷),期】2018(038)007【总页数】7页(P182-188)【关键词】数字化电能表;结构化模型;量化误差;随机过程;功率测量误差【作者】王学伟;王艳君;王磊;彭小娟【作者单位】北京化工大学信息科学与技术学院,北京100029;北京化工大学信息科学与技术学院,北京100029;中国计量科学研究院,北京100013;北京化工大学信息科学与技术学院,北京100029【正文语种】中文【中图分类】TM9330 引言随着智能电网的建设，基于IEC61850的数字化变电站发展迅速[1-6]。
由于互感器的不同，数字化电能计量系统包括：电子式互感器+合并单元ETMU(Electronic Transformers & Merging Unit)模式和电磁式互感器+模拟量输入式合并单元TMU(Transformers & Merging Unit)模式[2]。
目前，ETMU模式是数字化变电站电能计量的发展趋势，而TMU模式仍广泛应用于部分改造变电站和新建变电站中[3-5]。
在上述2种模式下，A/D转换和IEC61850-9-2(LE)协议组帧解析均对功率测量引入量化误差，量化误差是功率测量过程中不可忽视的因素。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程4
e
j ( )d 1
e
1
jd ( )
2
e
1
jd 2 ()
e
1
j 2 ()d 1
2
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.6. 已知平稳过程的相关函数
RX ( ) 5 4e3 (cos2 2 )
求其谱密度.
解 RX ( ) 5 2e3 2e3 cos 4 )
SX
()
lim
T
1 2T
E
T T
e
jt
X t dt
2
则称SX ()为平稳过程X的功率谱密度.简称谱密度.
又称
1
lim E[ T 2T
T T
Xt
2 dt]
为平稳过程X的平均功率.
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理5.4.1 设平稳过程X={Xt -∞<t<+ ∞}的相关函数RX(τ)
S
X
()d
1
2
4
2 3
2
d
2
1
2
(
2 2 2
211)d
1 2
(
2 1).
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.4.4. 已知平稳过程的功率谱密度为
S
X
(
)
2 2 4 5 2
1
计算 相关函数.
解
RX ( )
1
2
e
j
S
X
(
)d
1
2
e j
( 2
2 2 4)( 2
)d
S（X -） S（X -） S（X ）
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
随机过程-习题解答电子科技大学陈良均
在独立同分布的随机变量序列中，当样本量趋于无穷时，无论总体分布是什么，样本均 值的分布趋近于正态分布。
05
随机过程的估计与预测
参数估计
矩估计法
利用随机过程的数学期望、方差等矩特征，通过 样本矩来估计参数。
最小二乘估计法
通过最小化误差的平方和来估计参数，常用的有 普通最小二乘法和加权最小二乘法。
泊松过程
总结词
泊松过程是一种随机过程，其中事件 的发生是相互独立的，且具有恒定的 发生率。
详细描述
泊松过程描述了在单位时间内发生事 件的次数，其中事件的发生是相互独 立的，且具有恒定的发生率。这种过 程在物理学、工程学、统计学等领域 有广泛应用。
随机漫步
总结词
随机漫步是一种随机过程，其中每一步 都是随机的，且与前一步无关。
信号的滤波与预测
要点一
信号滤波
利用滤波器对随机信号进行处理，提取出所需频率成分， 抑制噪声和其他干扰。
要点二
信号预测
基于随机过程理论，利用历史数据对未来信号进行预测， 提高信号处理的准确性和可靠性。
信号的检测与估计
信号检测
在存在噪声和干扰的情况下，利用随机过程理论，检测 出有用的信号，提高信号检测的灵敏度和抗干扰能力。
参数估计
通过分析随机信号的统计特性，估计出信号的某些参数 ，如频率、相位等，为进一步处理和应用提供依据。
感谢您的观看
THANKS
06
随机过程在信号处理中的应 用
信号的随机模型化
信号的随机模型化
01
将信号表示为随机过程，以便更好地理解和分析信号的特性。
随机信号的统计特性
02
研究随机信号的均值、方差、相关函数等统计特性，以描述信
随机过程2-4傅里叶变换(简介)
m
k0
N
2
eim ak amk
k 0 m
第2章 平稳过程
N
RY (m)
akamk 2
k0
0mk N
N Nk
2
eim ak amk
k0 mk
令l mk
NN
2
ei(l k ) ak al
k0 l0
N
N
2 ak eik al eil
k0
l0
N
2 | akeik |2 k0
第12页
第2章 平稳过程
第13页
例3 在§1例2 中离散白噪声的无限滑动和 Z(n) 的相关
函数是 Rz (m) akamk 2 , m 0, 1, 2,... k
求 Z(n) 的谱密度。
解：由(4.6)式，Z(n)的谱密度
SZ ( ) eim RZ (m) m
e im
内平均功率
1
lim T 2T
T x2(t)dt lim 1
T
T 2
|
Fx
(
,
T
)
|2
1 2T
d
（4.12)
即
1 lim T 2T
T x2 (t)dt 1
T
2
lim
T
1 2T
|
Fx (,T ) |2
d
在频率域中看右端，其中 lim T
x(t) 在 处的功率谱密度。
1 2T
|
第7页
如果自相关函数 RX ( )满足条件
|
RX
(
) | d
，那么
F / ( ) 可微，故有 F / ( ) SX ( ) ，此时(4.1)式可变成
数据通信原理 第03章 随机过程(3.4)
h( )h( ) Ri ( )dd R0 ( )
上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。 由上两式可知，若线性系统的输入是平稳的，则 输出也是平稳的。
28
3、输出过程o(t)的功率谱密度 对下式进行傅里叶变换：
若 H f t yt 则系统 H 是非时变系统,否则是时变系统。
六、线性时不变系统的微分特性
线性时不变系统满足微分特性、积分特性
et
de t dt
系统
系统
r t
dr t dt
et dt
t
r t dt
t
系统
E[ 0 (t )] a h( )d a H (0)
式中，H(0)是线性系统在 f = 0处的频率响应，因
26
2、输出过程o(t)的自相关函数： 根据自相关函数的定义
R0 (t1 , t1 ) E[ 0 (t1 ) 0 (t1 )] E
f 1 t C1 C 1 f 1 t
f 2 t
f 1 t
C2
H
C 2 f 2 t
H f 1 t
C 1 H f 1 t
H
H C 1 f 1 t C 2 f 2 t
C1
f 2 t
H
H f 2 t
C2
C 2 H f 2 t
C 1 H f 1 t C 2 H f 2 t
若 H C1 f1 t C2 f 2 t C1 H f1 t C2 H f 2 t
随机振动--第6章-傅里叶变换
傅立叶变换的10大性质： j F ( ) f ( ) e d (5) 对称性定理： F [ F (t )] 2f ( ) 把F(w)的变量换成t, (6)时域微分定理 d n f (t ) n
F[ dt
t
倒频谱
n
] ( j ) F ( )
1 F [ f (at )] F ( ) a a
3、狄拉克δ函数（δ函数）
是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。 定义：满足下列条件的函数称为δ函数。
0 (1) (t ) (2) (t ) dt 1
当t 0 当t 0
推论一下：
0 (1) (t t 0) (2) (t t 0)dt 1
x (t )
n
c e
n
jnt
1 其中：c n T
T 2 T 2
x (t ) e
jnt
dt
2、傅立叶变换
狄氏条件: (1)函数f(t)连续或只有有限个第一 类间断点；(2)函数f(t) 只有有限个极值点。
傅立叶变换F ( )
f ( )e
j
d
1、傅立叶级数
1）傅立叶级数的实数形式
任一周期函数x(t),如在[-T/2,T/2] 区 间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可 展开成傅立叶级数（傅氏级数）
狄氏条件：
（1）函数连续或只有有限个第一类间断点； （2）函数只有有限个极值点。
设一周期函数x(t )，周期为T，满足狄氏条件，则可将其展开成傅氏级数： a0 [ a n cos nt bn sin nt ] x(t ) 2 n 1
随机过程和数字信号的分析和应用
随机过程和数字信号的分析和应用随机过程和数字信号是现代通信领域的两个重要的概念。
在信息传递和处理过程中，人们经常需要面对各种各样的信息，而随机过程和数字信号的分析和应用则成为解决这些问题的重要手段。
随机过程是一类随机变量族，可以用来描述经过时间演化、空间演化或两者结合的系统。
随机过程在物理、工程、社会、金融等领域有广泛的应用。
在通信领域，随机过程可以用来描述噪声、信道等复杂的信号现象。
随机过程在数字信号处理中的应用十分广泛，例如在数字滤波、信源编码、信道编码、数字调制、数字解调等方面。
其中，数字滤波是数字信号处理领域中最基本的工具之一。
数字滤波可以通过矩阵运算、FFT算法等方法实现，能够显著地改善信号的质量，具有广泛的应用价值。
数字信号是由离散时间和连续幅度组成的信号，有着广泛的应用。
数字信号处理可以用于数字电视、数字音频、数字通信等领域。
数字信号处理的一个重要应用是数字滤波，它可以通过滤波器来改善信号的质量，减少噪声等干扰，使得信号的传输更加可靠。
数字信号分析则是分析数字信号的频率特性、时域特性和幅值特性等。
在数字信号处理中，频域分析和时域分析是最为常见的两种分析方法。
频域分析可以通过傅里叶变换、快速傅里叶变换等方法来实现，它可以帮助我们分析信号的频率成分和强度。
时域分析则是通过分析数字信号在时间轴上的波形来确定信号的特性和结构。
总之，随机过程和数字信号的分析和应用是解决通信领域中复杂问题的重要手段。
了解这些概念的基本原理和实际应用，可以帮助我们更好地处理信息、传递信息、还原信息，为推进通信技术的发展做出积极贡献。
另外，随机过程和数字信号的研究也推动了一些新的技术的开发和应用。
例如，深度学习技术、人工智能等，都是基于大量数据和信号的分析和训练而形成的新兴技术。
这些技术可以在图像识别、语音识别、自然语言处理等领域中发挥重要作用，提升智能产业的水平和效率。
在实际应用中，随机过程和数字信号的分析和应用也存在一些挑战和问题。
PRACH的学习总结
一.P RACH简介1.1 什么是PRACH信道与随机接入过程在任何情况下，如果终端需要同网络建立通信，都需先发起随机过程，向网络申请资源。
随机接入过程：是从终端通过PRACH信道发送随机接入前导码开始的，然后尝试与网络间建立RRC信令连接。
PRACH：Physical Random Access Channel，物理随机接入信道。
二.P RACH的结构时域结构：由CP，前导序列，和GP组成LTE中，前导序列使用的是ZC序列，ZC序列可以看参考文章了解。
下面是Format 0和Format B4的结构，以下是RACH序文的时域结构示意图。
本插图中的GP(GAP)长度来自参考文献36。
数字0.509 ns(0.509 x 10^-6 ms)是参数Tc的值，64是参数K(Kappa)的值。
关于Ts和Tc的解释没完全理解，只知道如何计算，有时间再细究吧。
这里的源点数应该是在30.72M采样率下统计的，因此如果是计算某采样率下的点数，比如1.28M情况下的，采样点数为：24576*1.28/30.72=1024。
Format 0：Format B4：三.P RACH的分类长序列是和LTE相同，短序列新增了一些，目前接触不到该方面，保留原文作为了解。
在LTE中，只使用一种类型的序列长度（在LTE中格式长度也不同，但构建块序列的长度总是相同的），在NR中使用两种类型的序列长度，称为长序列和短序列。
长序列：长度839，支持源自LTE前导码的四种前导码格式，主要针对大型小区部署场景。
这些格式只能在FR1中使用，并且其副载波间距为1.25或5 kHz。
短序列：长度为139，在NR中引入了9种不同的前导码格式，主要针对小/正常单元和室内部署场景。
短前导格式可用于15、15或30 kHz的FR1和60或120 kHz 的FR2。
与LTE相比，对于短前导格式的设计，每个OFDM符号的最后一部分作为下一个OFDM符号的CP，前导OFDM符号的长度等于数据OFDM符号的长度。
随机过程及其应用
§4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。
傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。
在频率域内，频率意味着信息变化的速度。
即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。
这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。
是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数()()x t t -∞<<+∞满足绝对可积条件时可以。
()x t dt +∞-∞<∞⎰然而，随机过程的样本函数，即1(){(),,(),}n X t x t x t =,1(),,()n x t x t 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行傅氏变换。
此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。
这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。
但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。
§4.5.1 功率谱密度♦ 为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。
♦定理 设S (t )是一个确定信号且时间在(,)-∞+∞上满足绝对可积条件，则S (t )的傅氏变换存在，或者说具有频谱()()j tS S t edt ωω+∞--∞=⎰1()()2j t S t S e d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()FF S t s ω-−−→ 对于定理的物理解释是，S(t )代表电流或电压，则定理条件要求()s t dt +∞-∞<∞⎰，即是要求S(t )的总能量必须有限。
由积分变换的巴塞伐公式21()()()2j t S t dt S t S e d dt ωωωπ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰*1()()2S S d ωωωπ+∞-∞=⎰ 1()()2j t S S t e dtd ωωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ 即：221()()2S t dt S d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰下面我们来解释一下公式的物理含义：若把S (t )看作是通过1 Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Ω电阻上的总能量，故右边的被积函数2()S ω相应地称为能谱密度。
随机过程新版
2 0
sin(0t
)
1
2
d
0
自有关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
0
1
2
d
1 2
cos 0
第3章 随机过程
可见，自有关函数与时间t无关，仅与τ有关。
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程经过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程旳基本概念
• 随机信号
信号旳某个或某几种参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性旳信号称为随机信号。
• 随机噪声
不能预测旳噪声统称为随机噪声。 从统计学旳观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
第3章 随机过程
原则正态分布 a＝0，σ＝1 其分布函数为φ(x)
f (x)
1
2
exp
x2 2
正态分布函数：
x
F(x)
1
2
exp[
(x a)2
2 2
]dx
(
x
Байду номын сангаас
a)
误差函数：
erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数：erfc(x)=1-erf(x)=
2 ez2 dz
x
当x≤a时，erfc(x)＝2－2φ( 2 x)
1
(2 )n / 21 2 n
B 1/2
随机信号分析与处理第一讲
随机信号分析与处理第一讲目录一、内容概述 (2)1. 课程介绍与背景 (2)2. 课程内容及结构介绍 (3)二、随机信号概述 (4)1. 随机信号定义与分类 (5)2. 随机信号的基本特性 (5)三、随机过程基础 (7)1. 随机过程的概念与分类 (8)2. 随机过程的数学描述方法 (9)3. 概率分布与统计特征 (10)四、随机信号分析方法和工具 (11)1. 随机信号的统计特性分析方法 (12)2. 随机信号的信号处理工具介绍 (13)3. 频谱分析与信号处理工具箱的应用 (14)五、随机信号处理基础 (15)1. 随机信号处理概述 (16)2. 信号滤波与平滑处理 (18)3. 信号检测与估计理论 (20)六、应用实例与案例分析 (21)1. 通信系统中的随机信号处理应用实例 (22)2. 图像处理中的随机信号处理案例分析 (23)3. 控制系统中的随机信号处理案例分析 (24)七、课程展望与复习要点 (25)一、内容概述随机信号分析与处理是通信、电子、信息等工程领域中不可或缺的核心理论基础。
本课程将带领同学们系统地探索随机信号的生成原理、特性分析方法以及处理技术。
从基础的随机过程概念入手，逐步深入到信号的分解、估计与滤波，最终实现信号的重建与识别。
通过本讲的学习，同学们将能够掌握随机信号分析与处理的基本框架和思路，为后续的专业学习和工作实践奠定坚实的基础。
1. 课程介绍与背景随着信息技术的迅猛发展，信号处理作为通信、电子、计算机等学科的核心基础，其在现代科学实验和工程技术中的应用日益广泛。
而随机信号作为信号处理领域的一个重要分支，其分析方法与处理技术对于揭示信号的内在规律、提高信号处理性能具有重要意义。
本门课程《随机信号分析与处理》旨在系统介绍随机信号的基本理论、分析方法以及处理技术。
课程内容涵盖了随机信号的建模、统计特性分析、功率谱估计、滤波器设计、信号分解与重构等多个方面。
通过本课程的学习，学生将能够掌握随机信号处理的基本原理和方法，为在通信、雷达、声纳、生物医学工程等领域中的应用打下坚实基础。
离散时间随机过程的功率谱密度分解
S X z
m
m R ( m ) z X
(e jT ) S X () 式中 z e jT , S X
RX ( m ) 为 S X z 的逆z变换
RX (m)
1
式中，D为在 S X z 的收敛域内环绕z平面原点逆 时针旋转的一条闭合围线。
2018/10/25
10
连续时间 确知信号
S (t )
采样 S (n) S (nT )
c sin(c (t nTs )) s(t ) s(nTs ) c (t nTs ) n
香农采样定理
离散时间 确知信号
S ( n)
2018/10/25
11
连续时间 平稳随机过程
lim 是均方意义下的极限（均方极限）：
1 2 f c c
2018/10/25 2
2
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX (m) 的傅里叶变换存在的充要条件是 满足绝对可和条件：即
m
RX ( m )
定义 X (n) 的功率谱密度为序列 RX (m) 的傅 里叶变换，并记为 S X ( )
2018/10/25
S X ( )
RX (m)
在 m0时
1 2q
q
q
S X ( )e jmT d
q
1 E[ X (n)] RX (0) 2q
S
q
X
( )d
2018/10/25
4
3 谱分解 ① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离 散时间随机过程的功率谱密度定义为 RX ( m )的z变 换，并记为S X z ，即
【2019年整理】数字信号处理基本内容
目录1 数字信号处理基本内容 (3)2数字滤波器 (4)2.1 滤波器的分类 (4)2.2 FIR滤波器和IIR滤波器 (5)2.3 FIR滤波器和IIR滤波器的FPGA实现 (5)3 傅里叶变换 (9)3.1 连续傅里叶变换 (9)3.2傅里叶级数 (10)3.3离散傅里叶级数 (10)3.4离散时间傅里叶变换 (10)3.5离散傅里叶变换 (10)3.6 快速傅里叶变换 (11)3.7分数傅里叶变换 (11)3.8短时距傅里叶变换 (12)3.9小波分析 (12)3.10 离散小波变换 (13)3.11 Z变换 (15)3.12拉普拉斯变换 (15)3.13 傅里叶变换的硬件实现 (15)4谱分析 (16)4.1谱分析的实现 (16)4.2 随机信号处理概述 (16)4.3随机信号谱分析 (17)5数字信号处理研究内容总结 (18)1 数字信号处理基本内容数字信号处理主要是研究有关数字滤波技术、离散变换快速算法和谱分析方法。
数字信号处理主要内容①离散线性时不变系统理论（包括时域、频域、各种变换域）②频谱分析（包括有限字长效应）：FFT谱分析方法及统计分析方法③数字滤波器设计及滤波过程的实现（包括有限字长效应）④时频-信号分析（短时付氏变换）〔Short Fourier Transform〕，小波变换(Wavelet Analysis), Wigner Distribution⑤多维信号处理（压缩与编码及其在多煤体中的应用）⑥非线性信号处理⑦随机信号处理⑧模式识别人工神经网络⑨信号处理单片机(DSP)及各种专用芯片(ASIC)，信号处理系统实现2数字滤波器2.1 滤波器的分类（1）根据滤波器的选频作用分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。
（2）根据“最佳逼近特性”的标准进行分类：巴特沃兹滤波器：从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。
其幅频响应为：切比雪夫滤波器：切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的，其幅频响表达式为：贝塞尔滤波器：只满足相频特性而不关心幅频特性。
南邮通信原理和数字信号处理的大纲
南邮通信原理和数字信号处理的大纲801--《通信系统原理》一、基本要求通信原理是通信和信号处理等专业的重要基础课程，它系统讲述了通信系统的基础理论和应用知识。
本课程要求考生掌握通信的基础理论、原理框图和基本计算分析能力，具有一定的解决实际问题的能力。
重点考查考生对通信系统各组成部份、原理框图、基本概念和常识的理解及掌握情况，要求考生掌握基本的系统性能分析和计算方法。
二、考试范围1、通信系统模型和主要性能指标（通信的常识和框图）;2、随机过程（广义平稳性，功率谱，自相关，高斯噪声）；3、信道模型和特性、信息论基本概念和信道容量的概念(恒参信道、随参信道、香农公式)；4、摹拟调制（AM,DSB,SSB,VSB,FM）；5、数字基带传输(无码间干扰条件、路线码、均衡常识)；6、数字载波调制（二进制调制、QPSK、QAM）；7、摹拟信号的数字化(均匀量化、非均匀量化、A律13折线量化编码)；8、数字信号的最佳接收（最佳接收准则、匹配滤波器）；9、差错控制编码（线性分组码常识）；10、同步原理（载波同步、位同步及帧同步常识）。
三、出题形式1、选择题(涵盖较广,包括通信常识、小计算、概念)；2、简答题（简要回答通信原理的知识，包括分析、作图等）；3、综合性大题（包括框图、计算分析、应用题等）。
四、主要参考书1、《通信原理》（第六版），樊昌信曹丽娜编，国防工业出版社，2022年6月2、《通信原理》（第五版），樊昌信编，国防工业出版社，2022年5月____________802--《数字信号处理》考试大纲一、基本要求掌握离散时间信号与系统的时域、频域和Z域分析的基本理论，线性时不变系统、因果稳定系统的概念；离散傅里叶变换的原理及其性质，快速傅里叶变换及其在信号处理中的应用；IIR数字滤波器的设计方法，包括脉冲响应不变法和双线性变换法；线性相位FIR数字滤波器的实现条件和设计方法；数字系统的实现结构和有限字长效应。
短时傅里叶变换及其应用
短时傅里叶变换及其应用1 引言传统傅里叶变换（Fourier Transform）分析方法已经在众多的领域内产生巨大影响。
特别在1965年之后，快速傅里叶变换（FFT）算法的发现及改进使得离散傅里叶变换（DFT）实现了高效的数学实现，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，加速了离散时间信号与系统分析技术的发展。
但长久以来，人们也发现了傅里叶分析方法存在的一些不足，正如詹姆斯·凯塞（James F. Kaiser）曾经说过，“最多被使用的信号处理工具是FFT，而最多被滥用的信号处理工具也是FFT”。
从20世纪80年代以来，数字信号处理技术在联合时频分析（Joint Time-frequency Analysis）方法方面有了很大的发展，各种联合时频分析方法得到了广泛的研究和应用，并逐渐形成了一套独特的理论体系。
它的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。
短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）就是其中的一种最简单的联合时频分析方法。
本文具体研究了短时傅里叶分析与综合，测不准原理，STFT 的分辨率，STFT的优缺点和窗函数的相关内容，最后借助MATLAB进行了相应的仿真并对仿真结果进行分析。
2 传统傅里叶变换2.1 傅里叶变换的定义连续时间信号s(t)的傅里叶变换（Fourier Transform）的数学表达式：（2-1）式（2-1）所表示的傅里叶正变换也称为傅里叶分析。
信号s(t)的傅里叶变换的逆变换的数学表达式：（2-2）- 1 -式（2-2）所表示的傅里叶逆变换也称为傅里叶综合。
2.2 傅里叶变换的意义热的传播与扩散现象是导致傅里叶研究成果的实际物理背景。
由式（2-1）可以看出傅里叶变换是一种线性的积分变换，它能够将满足一定条件的某个函数表示成为一组复指数函数的积分。
由式（2-2）可以看出S(jω)告诉我们将s(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。
刘次华 随机过程 第七章
π
解： （1）由于 EX (t ) = 0 ， RX (τ ) =
a2 cos ω0τ ，所以 X (t ) 是平稳过程，故 2 a2 。 2
ψ 2 = RX (0) =
（2）此时是非平稳过程，由定义得：
E[ X 2 (t )] =
a2 a2 − sin(2ω0t ) 2 T 1 2T
ψ 2 = lim E[
1.若 ∫
+∞ −∞
x(t ) dt < +∞ ，则 Fx (ω ) = ∫ x(t )e −iωt dt 存在。
−∞ +∞ −∞
∞
2. Fx (ω ) = ∫
x(t )eiωt dt = Fx (−ω ) 。
3. 帕塞伐公式：
∫
2
+∞
−∞
x 2 (t )dt =
1 2π
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) dω
T T 1 E[ ∫ X (t )e− iωt dt ⋅ ∫ X ( s)e− iω s ds ] −T −T T →∞ 2T T T 1 = lim E[ ∫ ∫ X (t ) X ( s )e −iω (t − s ) dtds] −T −T T →∞ 2T 1 T T = lim E[ X (t ) X ( s )]e −iω (t − s ) dtds T →∞ 2T ∫−T ∫−T 1 T T = lim RX (t − s )e − iω ( t − s ) dtds T →∞ 2T ∫− T ∫− T
性质 1：若 ∫−∞ RX (τ ) dτ < ∞ ，则 s X (ω ) = ∫−∞ RX (τ )e−iωτ dτ 。 证明： s X (ω ) = T lim →∞
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1.2
Matrix res we have collected a few slightly specialized matrix results. Lemma 1 The inverse of the block Matrix A B 0 C is A 1 0 A 1 BC C 1 5
Non–uniqueness of representations
1.4
Continuous phase–type distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 Probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Laplace-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation of continuous phase–type distributions . . . . . . . . Properties of continuous phase–type distributions . . . . . . . . Phase–type renewal process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
n
(1.7) T )e . (1.8)
T n (I 0
T n )e 1
P ( X > n) = ↵T n e .
Example 2 : The simplest possible discrete phase–type distribution is obtained, when the dimension of T is m=1. In this case we have p 1 p P = 0 1
1.3.1
Cumulative distribution and probability mass function
We will now give the argument leading to formula (1.9) in more detail. We first (n ) consider the probabilities for the transient states after n transitions. That is pi = (n ) (n ) Prob(Xn = i). We collect these probabilities in a vector to get p(n) = (p1 , . . . , pm ). Using standard arguments for discrete time Markov chains we get p (n ) = p ( n
8 ↵ = (1). As will be clear later this phase–type distribution is simply a geometric distribution with parameter 1 p. A sum of geometrically distributed random variables has a negative binomial distribution. The negative binomial distribution can be expressed as a phase–type distribution by 2 3 p 1 p 0 0 ... 0 0 0 6 0 p 1 p 0 ... 0 0 0 7 6 7 6 0 7 0 p 1 p . . . 0 0 0 6 7 6 . 7 . . . . . . . . . . . . P =6 . . . . . . . 7 6 . 7 6 0 7 0 0 0 . . . p 1 p 0 6 7 4 0 0 0 0 ... 0 p 1 p 5 0 1 ↵ = (1, 0, . . . , 0). 2
4 1.4.7 Non–uniqueness of continuous phase–type distributions . . . . . 22
Chapter 1 Phase–type distributions
1.1 Notation
We will use e to denote a column vector of ones of appropriate dimension. 2 3 1 6 1 7 6 7 e=6 . 7 . 4 . . 5 1 Correspondingly we will let 0 denote the vector of zeros. Matrices is represented by capital primarily roman letters like T and A. The symbol I will be used for a unity matrix of appropriate dimension while, while 0 is a matrix of zero’s of appropriate dimension.
5 5 5 6 7 8 9 9 10 13 14 14 15 16 16 17 21
Discrete phase–type distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Cumulative distribution and probability mass function . . . . . The generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Contents
1 Phase–type distributions 1.1 1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrix results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.3 The Kronecker product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IMM - DTU
02407 Stochastic Processes 2012-10-30 BFN/bfn
Lecture notes on phase–type distributions for 02407 Stochastic Processes
Bo Friis Nielsen October 2012
2
7 The following rule is very convenient. If the usual matrix products LU and M V exist, then (L ⌦ M )(U ⌦ V) = LU ⌦ M V . (1.4) A natural operation for continuous time phase–type distributions is A ⌦ I + I ⌦ B , thus motivating the definition of the Kronecker sum defined by the symbol . A B =A⌦I +I ⌦B (1.5)
1
(1.1)
(1.2)
6 whenever A and C are invertible. Proof: By direct verification. 2 2
1.2.1
The Kronecker product
Many operations with phase–distributions are conveniently expressed using the Kronecker product. For two matrices A with dimension ` ⇥ k and B with dimension n ⇥ m we define the Kroneckerproduct ⌦ by 2 3 a11 B a12 B . . . a1k B 6 a21 B a22 B . . . a2k B 7 6 7 A⌦B =6 . (1.3) 7 . . . . 4 . . ... . . 5 a`1 B a`2 B . . . a`k B Example 1 : Consider the matrices A, B , and I given by: 2 3 1 0 0 2 7 1 13 4 A= , B= , I=4 0 1 0 5 . 3 5 11 0 17 0 0 1 Then A ⌦ B , A ⌦ I and I ⌦ B is given by 2 2 · 13 2 · 4 7 · 13 7 · 4 1 · 13 1·4 6 2 · 0 2 · 17 7 · 0 7 · 17 1 · 0 1 · 17 A⌦B = 6 4 3 · 13 3 · 4 5 · 13 5 · 4 11 · 13 11 · 4 3 · 0 3 · 17 5 · 0 5 · 17 11 · 0 11 · 17 2 3 2 0 0 7 0 0 1 0 0 6 0 2 0 0 7 0 0 1 0 7 6 7 6 0 0 2 0 0 7 0 0 1 7 7 A⌦I = 6 6 3 0 0 5 0 0 11 0 0 7 6 7 4 0 3 0 0 5 0 0 11 0 5 0 0 3 0 0 5 0 0 11 2 3 13 4 0 0 0 0 6 0 17 0 0 0 0 7 6 7 6 0 0 13 4 0 0 7 6 7 . I ⌦B = 6 7 0 0 0 17 0 0 6 7 4 0 0 0 0 13 4 5 0 0 0 0 0 17 3 7 7 5