通信原理AI第5次课教案(2013)

1.复习3.4 高斯随机过程(1) 高斯随机过程的定义若随机过程()t ξ的任意n 维（n = 1，2，…）分布服从正态分布（高斯分布），则称此随机过程为高斯随机过程。

高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，它服从正态分布，其一维概率密度函数为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=222exp 21σσπa x x f(2) 高斯过程的性质：① 如果高斯过程是广义平稳过程，则也是狭义平稳的。

② 若高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关，则它们也是统计独立的。

③ 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。

3.5 窄带随机过程(1) 窄带随机过程的定义① 窄带随机过程的功率谱密度若上图所示的功率谱密度()f P ξ，其中心频率c f 远大于带宽f ∆即c f f ∆<<时，则称为窄带随机过程。

② 窄带随机过程的样本函数窄带随机过程的一个样本波形如同一个包络和相位随机缓慢变化得余弦波，如下图所示。

(2) 窄带随机过程的表示式[])()()(t t Cos t a t c ξξϕωξ+= ()0≥t a ξ t Sin t t Cos t t c s c c ωξωξξ)()()(-=随机包络()t a ξ、随机相位()t ξϕ与同相分量()t c ξ、正交分量()t s ξ之间的关系式：)()()(t Cos t a t c ξξϕξ= )()()(t Sin t a t s ξξϕξ=()()()t t t a s c 22ξξξ+=()()()t t t c s ξξϕξarctan =2.本次课学习的主要章节：3.5 窄带随机过程（续）3.6 余弦波加窄带平稳高斯过程3.5.3 同相分量与正交分量的统计特性结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程()t ξ，它的同相分量()t c ξ和正交分量()t s ξ同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。

另外，在同一时刻上得到的随机变量c ξ及s ξ是不相关的或统计独立的。

① ()t c ξ、()t s ξ的均值都为零 对式（3.5.4）求数学期望，得[][]t Sin t t Cos t E t E c s c c ωξωξξ)()()(-=[][]t Sin t E t Cos t E c s c c ωξωξ)()(-= （3.5.5）因为()t ξ的均值为零，所以[][]0)()(=-t Sin t E t Cos t E c s c c ωξωξ （3.5.6）为使在任意时间t ，上式均成立，只能是[][]0)(0)(==t E t E s c ξξ （3.5.7）② ()t c ξ、()t s ξ也将是平稳的，即有()(,)CCR t t R ξξττ+=、()(,)S SR t t R ξξττ+=。

求()t ξ的自相关函数为()()()[]τξξτξ+=+t t E t t R ,[][]{})()()()()()(τωτξτωτξωξωξ++-++⋅-=t Sin t t Cos t t Sin t t Cos t E c s c c c s c c()()[]()()()()()[]()()[])()()()(τωωτξξτωωτξξτωωτξξτωωτξξ+++++-++-++=t t S i n S i n t t E t t C o s S i n t t E t t S i n C o s t t E t t C o s C o s t t E c c s s c c c s c c s c c c c c)(),()(),()(),()(),(τωωττωωττωωττωωτξξξξξξ+++++-++-++=t tSin Sin t t R t tCos Sin t t R t tSin Cos t t R t tCos Cos t t R c c c c c c c c S C S S C C （3.5.8）因为()t ξ是平稳的，故有 ()ττξξR t t R =+),(这就要求式（3.5.8）的右边与t 无关，即在任意时间t ，式（3.5.8）仅与τ有关。

首先令0=t ，则式（3.5.8）应成立，此时有()τωττωττξξξξc c Sin t t R Cos t t R R S C C ),(),(+-+= （3.5.9）这时，显然要求()()()()⎩⎨⎧=+=+ττττξξξξξξS C S C C C R t t R R t t R ,,于是，式（3.5-9）变成()τωττωττξξξξc c Sin R Cos R R S C C )()(-= （3.5.10） 再令ct ωπ2=，则同理可求得 ()τωττωττξξξξc c Sin R Cos R R C S S )()(+= （3.5.11） 由此证明，()t c ξ、()t s ξ也将是平稳的。

③ ()t c ξ及()t s ξ与()t ξ的方差相同，即222S C ξξξσσσ==。

在式（3.5.10）及式（3.5.11）中，令0=τ，可得到())0()0(0S C R R R ξξξ== （3.5.12）因()t ξ、()t c ξ及()t s ξ的均值都为零，于是它们的方差也相同，即222S C ξξξσσσ== （3.5.13）④ ()t c ξ、()t s ξ也是高斯过程由式（3.5.4）得，当01=t 时，()()11t t c ξξ=；当ct ωπ22=时，()()22t t s ξξ-=。

由于()t ξ是高斯过程，故()1t c ξ、()2t s ξ也是高斯随机变量。

又因为已证得()t c ξ、()t s ξ是平稳的，所以()t c ξ、()t s ξ的概率分布与时间起点无关，从而()t c ξ、()t s ξ也是高斯过程。

⑤ 在同一时刻上得到的c ξ及s ξ是不相关的或统计独立的由式（3.5.10）及式（3.5.11）看出，要使这两式同时成立，则应有()()()()⎩⎨⎧-==ττττξξξξξξC S SC S C R R R R根据互相关函数性质()()ττξξξξ-=C S S C R R 及上式，可得 ()()ττξξξξ--=C S C S R R上式说明，()τξξC S R 是一个τ的奇函数，故()00=C S R ξξ （3.5.14）同理可证()00=S C R ξξ （3.5.15）从式（3.5.14）及式（3.5.15）看出，c ξ与s ξ在同一时刻上是不相关的，又因为c ξ及s ξ是高斯随机变量，因而它们也是统计独立的。

3.5.4 包络与相位的统计特性结论：一个均值为零、方差为2ξσ的窄带平稳高斯过程，其包络()t a ξ的一维分布是瑞利分布，而其相位()t ξϕ的一维分布是均匀分布。

并且就一维分布而言，ξa 与ξϕ是统计独立的。

证明：① 包络()t a ξ的一维分布是瑞利分布由上面的分析可知，c ξ与s ξ是统计独立的高斯随机变量，因而，c ξ 与s ξ的联合概率密度函数可以表示成)()(),(s c s c f f f ξξξξ⨯=⋅ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222exp 21ξξσξσπc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯222exp 21ξξσξσπS =)2exp(212222ξξσξξπσs c +- （3.5.16） 根据概率论知识，ξa 与ξϕ的二维联合概率密度函数()ξξϕ,a f 可表示为 ()ξξϕ,a f = J ),(s c f ξξ （3.5.17） 式中，J 称为雅可比()jacobi 行列式，它由下式决定ξξξξϕξϕξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂=s c s ca a J 利用关系式ξξϕξcos a C =及ξξϕξsin a S =，可得ξξξξξξξξξξξϕϕϕϕϕξϕξξξa a a a a J s c sc =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=c o s s i n s i n c o s代入式（3.5.17）求出ξa 与ξϕ的联合概率密度函数()ξξϕ,a f 为(),(,)c s f a a f ξξξϕξξ=()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=22222s i n c o s e x p 2ξξξξξξξσϕϕπσa a a⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2222exp 2ξξξξσπσa a （3.5.18） 再计算上式的边际分布，可求得包络ξa 的一维概率密度函数为ξξπξξϕϕd a f a f ),()(20⎰=ξπξξξξϕσπσd a a ⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=202222exp 2 02exp 222≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=ξξξξξσσa a a （3.5.19）上式表明，包络ξa 的一维概率密度函数服从瑞利分布，如图3.5.2所示。

图3.5.2 瑞利分布曲线② 相位()t ξϕ的一维分布是均匀分布同样，通过计算式（3.5.18）的边际分布，得到相位ξϕ的一维概率密度函数为ξξξξϕϕda a f f ),()(0⎰∞=ξξξξξσπσda a a ⎰∞⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=02222exp 2 πϕπξ2021≤≤=（3.5.20）可见，ξϕ服从均匀分布。

3.5.5 窄带随机过程的功率谱密度窄带随机过程同相分量()t c ξ及正交分量()t s ξ与窄带过程()t ξ功率谱密度的关系为()()()()⎩⎨⎧-++==0C C P P P P S C ωωωωωωξξξξ ωωω其他2∆≤ （3.5.21）上式表明，()t c ξ及()t s ξ的功率谱密度是低通型的。

3.6余弦波加窄带平稳高斯过程1.余弦波加窄带高斯过程的概念余弦波加窄带高斯过程是数字调制系统中遇到的随机过程，通常是指由下式确定的混合波形：()()()t n t A C o s t r c ++=θω （3.6.1） 其中：()θω+t ACos c 是具有随机相位的余弦波，随机变量θ在()π2,0内均匀分布，振幅A 和角频率c ω均为常数；()t Sin t n t Cos t n t n c s c c ωω)()(-=为窄带平稳高斯过程，其均值为零，方差为2nσ。

2.余弦波加窄带高斯过程的表达式 将式（3.6.1）改写成()c c r t ACoc tCos ASin tSin ωθωθ=-+ [t Sin t n t Cos t n c s c c ωω)()(-]()[]t Cos t n A c c ωθ+=cos - ()[]t Sin t n A c s ωθ+sin （3.6.2） 令()()()()⎩⎨⎧+=+=t n A t z t n A t z s s c c θθsin cos （3.6.3）则式（3.6.2）可表示为()t r = t Sin t z t Cos t z c s c c ωω)()(- ()()[]t t C o s t z c ϕω+= （3.6.4） 其中，()t r 的包络()t z 和相位()t ϕ分别为()()()t z t z t z s c22+= ()0≥t z （3.6.5） ()()()t z t z t c s a r c t a n =ϕ πϕ20≤≤ （3.6.6）并且有()()()t C o s t z t z c ϕ= ()()()t S i n t z t z s ϕ=3.包络()t z 的一维概率密度函数 分析思路：① 假定在给定相位θ的条件下，找到c Z 与s Z 的联合概率密度函数()θ/,s c Z Z f ；② 利用关系式()θθϕ/,)/,(s c Z Z f J Z f =以及ϕcos Z Z c =和ϕsin Z Z s =，求出Z 与ϕ的联合概率密度函数；③ 计算边际分布⎰=πϕθϕθ20)/,()/(d Z f Z f 。