《等腰三角形的判定》PPT课件
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提示：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交 AB于点E． 判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
提示：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形 如图，△ABC 中，BI，CI 平分 ∠ABC，∠ACF，过点I 作ID∥BC 分 别交AC，AB 于点E，D．若 BD=9cm，CE=4cm，则DE 等于 （B ）
提示：等角对等边．
练习 已知：如图，△ABC中， ∠ A=∠B=∠C． 求证：AB=AC=BC．
提示：等角对等边．
练习 如图△ABC 中，AB=AC，∠B=36°，D、E 分别是BC 边上两 点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有____个 ．
答案：6．
练习 已知：如图，△ABC 的 BC 边上有 D，E 两点，∠1=∠2，∠3=∠4 ．求证：△ABC 是等腰三角形 .
换而言之，如果∠A=∠B，会有AO=BO 吗？
Leabharlann Baidu
猜想与证明
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等．
你知道怎么证明吗？ 已知：△ABC 中，∠B=∠C．
先变成符号形式 求证：AB=AC．
怎么证明边相等呢？ 可以证三角形全等
没有全等怎么办呢？ 可以构造
怎么构造呢？
可以作出顶角的平分线
猜想与证明
注意：“等角对等边” 指的是都是同一个三角 形中的边角关系．
等腰三角形的判定 在证明中怎么写过程呢？
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C （ 已知） ∴ AC=AB （等边对等角）
性质和判定的区别
等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？
性质
判定
等边
等角
等角
等边
例题
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那 么这个三角形是等腰三角形．
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等 腰三角形.
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：作∠BAC 的平分线AD，
∴ ∠ BAD=∠CAD．
在△BAD 和△CAD 中， ∠BAD=∠CAD，
还有其他证法吗？ 也可以过点A作高
∠B=∠C，
AD=AD ∴ △BAD ≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
猜想与证明
等腰三角形的判定
知识回顾 等腰三角形的性质1： 简称为“等边对等角” 等腰三角形的两个底角相等
知识回顾 等腰三角形的性质2：
简称为“三线合一”
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合．
这“三线”所在的直线也 是等腰三角形的对称轴
思考 如图，位于在海上A、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的 报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时 出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
提示：角平分线+平行→等腰．
练习
1．如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1， ∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
练习
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一 个等腰三角形吗？为什么？ 思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？ 所有的对应边相等， 所有的对应角相等． 看到折叠，就可以把等量关系标在图中． 提示：平行+角平分线→等腰．
答案：3．
练习 如图，∠A =36°，AB=AC，BD 平分∠ ABC， CE平分∠ ACB 交BD 于点O，则图中一共有________个等腰三角形．
答案：8．
练习 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向 正北航行，中午12时到达B 处，从A、B 望灯塔C，∠NAC=40° ，∠NBC=80°．求从B 处到灯塔C 的距离．
猜想与证明
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：取BC 中点D，连结AD，
∴ BD=CD．
在△BAD 和△CAD中，
AD=AD， 这是边边角，
BD=CD， 能判定全等吗？
∠B=∠C
不能
作中线不能证明这个结论
结论
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等， 简称为“等角对等边” 那么这两个角所对的边也相等．
答案：50°，等腰．
练习 在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角 形的是C( )
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=40°，∠B=80°
练习 如图，∠A =36°，AB=AC，BD平分∠ ABC，则图中一共 有________个等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC 的外角，AD平分∠CAE AD∥BC． 求证：AB=AC．
证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵AD平分∠CAE ， ∴∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴ △ABC是等腰三角形．
练习 已知一个三角形的两个内角为50°和80°，则第三个角为_______ ，它是________三角形．
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：作AD⊥BC 于点D，
∴ ∠ ADB=∠ADC =90°． 在△BAD 和△CAD中，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC，
作角平分线和高 都可以证明，作 中线行吗？
AD=AD ∴ △BAD ≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
提示：先证明∠B=∠C．
角平分线+平行→等腰三角形 已知：如图，AD ∥BC，BD 平分∠ABC． 求证：AB=AD．
提示：先把相等的边标在图中． 总结：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形 如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O，过点O 作DE//BC，分别交AB、AC 于点D、E，求证：BD+EC=DE ．
练习 3．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 ，那么这个三角形是直角三角形．
练习
4．如图，AC 和BD 相交于点O，且AB∥DC，OA =OB ．求证：OC =OD．
例题
已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这 个等腰三角形． 作法： （1）作线段AB =a；
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =h；
角平分线+平行→等腰三角形 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交 AB于点E． 判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
提示：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形 如图，△ABC 中，BI，CI 平分 ∠ABC，∠ACF，过点I 作ID∥BC 分 别交AC，AB 于点E，D．若 BD=9cm，CE=4cm，则DE 等于 （B ）
提示：等角对等边．
练习 已知：如图，△ABC中， ∠ A=∠B=∠C． 求证：AB=AC=BC．
提示：等角对等边．
练习 如图△ABC 中，AB=AC，∠B=36°，D、E 分别是BC 边上两 点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有____个 ．
答案：6．
练习 已知：如图，△ABC 的 BC 边上有 D，E 两点，∠1=∠2，∠3=∠4 ．求证：△ABC 是等腰三角形 .
换而言之，如果∠A=∠B，会有AO=BO 吗？
Leabharlann Baidu
猜想与证明
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等．
你知道怎么证明吗？ 已知：△ABC 中，∠B=∠C．
先变成符号形式 求证：AB=AC．
怎么证明边相等呢？ 可以证三角形全等
没有全等怎么办呢？ 可以构造
怎么构造呢？
可以作出顶角的平分线
猜想与证明
注意：“等角对等边” 指的是都是同一个三角 形中的边角关系．
等腰三角形的判定 在证明中怎么写过程呢？
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C （ 已知） ∴ AC=AB （等边对等角）
性质和判定的区别
等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？
性质
判定
等边
等角
等角
等边
例题
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那 么这个三角形是等腰三角形．
（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等 腰三角形.
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：作∠BAC 的平分线AD，
∴ ∠ BAD=∠CAD．
在△BAD 和△CAD 中， ∠BAD=∠CAD，
还有其他证法吗？ 也可以过点A作高
∠B=∠C，
AD=AD ∴ △BAD ≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
猜想与证明
等腰三角形的判定
知识回顾 等腰三角形的性质1： 简称为“等边对等角” 等腰三角形的两个底角相等
知识回顾 等腰三角形的性质2：
简称为“三线合一”
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相 互重合．
这“三线”所在的直线也 是等腰三角形的对称轴
思考 如图，位于在海上A、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的 报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时 出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
提示：角平分线+平行→等腰．
练习
1．如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，分别计算∠1， ∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
练习
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一 个等腰三角形吗？为什么？ 思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？ 所有的对应边相等， 所有的对应角相等． 看到折叠，就可以把等量关系标在图中． 提示：平行+角平分线→等腰．
答案：3．
练习 如图，∠A =36°，AB=AC，BD 平分∠ ABC， CE平分∠ ACB 交BD 于点O，则图中一共有________个等腰三角形．
答案：8．
练习 如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向 正北航行，中午12时到达B 处，从A、B 望灯塔C，∠NAC=40° ，∠NBC=80°．求从B 处到灯塔C 的距离．
猜想与证明
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：取BC 中点D，连结AD，
∴ BD=CD．
在△BAD 和△CAD中，
AD=AD， 这是边边角，
BD=CD， 能判定全等吗？
∠B=∠C
不能
作中线不能证明这个结论
结论
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等， 简称为“等角对等边” 那么这两个角所对的边也相等．
答案：50°，等腰．
练习 在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角 形的是C( )
A.∠A=40°，∠B=50° B.∠A=40°，∠B=60° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=40°，∠B=80°
练习 如图，∠A =36°，AB=AC，BD平分∠ ABC，则图中一共 有________个等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC 的外角，AD平分∠CAE AD∥BC． 求证：AB=AC．
证明： ∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵AD平分∠CAE ， ∴∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴ △ABC是等腰三角形．
练习 已知一个三角形的两个内角为50°和80°，则第三个角为_______ ，它是________三角形．
已知：△ABC 中，∠B=∠C．求证：AB=AC．
证明：作AD⊥BC 于点D，
∴ ∠ ADB=∠ADC =90°． 在△BAD 和△CAD中，
∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC，
作角平分线和高 都可以证明，作 中线行吗？
AD=AD ∴ △BAD ≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
提示：先证明∠B=∠C．
角平分线+平行→等腰三角形 已知：如图，AD ∥BC，BD 平分∠ABC． 求证：AB=AD．
提示：先把相等的边标在图中． 总结：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形 如图，△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O，过点O 作DE//BC，分别交AB、AC 于点D、E，求证：BD+EC=DE ．
练习 3．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 ，那么这个三角形是直角三角形．
练习
4．如图，AC 和BD 相交于点O，且AB∥DC，OA =OB ．求证：OC =OD．
例题
已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这 个等腰三角形． 作法： （1）作线段AB =a；
（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D； （3）在MN上取一点C，使DC =h；