江苏省南京市燕子矶中学2019-2020学年高一下学期五一假期作业数学试题(PDF版,答案解析)

10
对于 B，若 acosA＝bcosB，则由正弦定理得 2rsinAcosA＝2rsinBcosB，即 sin2A＝sin2B，则 2A＝2B 或 2A+2B ＝180，即 A＝B 或 A+B＝90°，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于 C，若 bcosC+ccosB＝b，sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA＝sinB，即 A＝B，则△ABC 是等 腰三角形，故正确； 对于 D，△ABC 中，∵a2+b2﹣c2＞0，∴角 C 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故错误； 故选：AC． 三．填空题（共 4 小题） 13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝ ﹣3 ，f（x）的最大值是 3 ．
A．△ABC 的内角 B．△ABC 的内角 C．四边形 ABCD 面积的最大值为 D．四边形 ABCD 面积无最大值 11．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下 列结论正确的是（ ） A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC 是钝角三角形 C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 D．若 c＝6，则△ABC 外接圆半径为
．
四．解答题（共 6 小题） 17．如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD⊥AC，
（1）求 sin∠BAC 的值； （2）求 BD 的长．
，AD＝3，△ABD 的面积为 ．
3
18．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知
．
（1）求 b 的值； （2）求△ABC 的面积．
D．300m
二．多选题（共 4 小题） 9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．5
B．6
C．7
10．如图，设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
D．8
，且
．若
点 D 是△ABC 外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ）
因为 A，B，C 是三角形内角，所以 B＝C． 所以三角形是等腰三角形．
故选：C．
5．已知
，那么
的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．2 或
【解答】∵sin2 +cos2 ＝1
∴
＝
＝
＝﹣
解得 tan ＝2 或
故选：D． 6．在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为边 AD 的中点，若
A．
B．
C．
【解答】∵函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 f（﹣x）＝f（x），
即 asin（﹣x+ ）+3sin（﹣x﹣ ）＝[asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）]，
即﹣asinxcos +acosxsin ﹣3（sinxcos +cosxsin ）＝asinxcos +acosxsin +3（sinxcos ﹣
，
∴ （sinAcosC+sinCcosA）＝2sinB•sinB，
∴sinB＝ ，
∴B＝ ．故 A 正确．
又∵
．
∴C＝ ，故 B 正确．
等边△ABC 中，设 AC＝x，x＞0， 在△ADC 中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cosD，
9
由于 AD＝3，DC＝1，代入上式可得：x2＝10﹣6cosD
二．多选题（共 4 小题） 10．如图，设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
，且
．若
点 D 是△ABC 外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是（ ） A．△ABC 的内角
B．△ABC 的内角
C．四边形 ABCD 面积的最大值为
D．四边形 ABCD 面积无最大值
【解答】∵
D．2sin
4．在△ABC 中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
5．已知
，那么
的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．2 或
6．在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为边 AD 的中点，若
，则 可用
表示为（ ）
A．150 m
B．150m
C．300 m
D．300m
【解答】由题意可得在直角三角形 DCA 中，∠DAC＝30°，DC⊥AC，
设 CD＝h，可得 AC＝htan60°＝ h， 在直角三角形 DCB 中，∠DBC＝45°，DC⊥BC， 可得 CB＝htan45°＝h， 又∠CBA＝120°，可得 AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos120°， 即为 3h2＝3002+h2+300h， 解得 h＝300（负的舍去）． 故选：D．
5
试题解析
一．选择题（共 8 小题） 1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】sin5°cos55°﹣cos175°sin125° ＝sin5°cos55°+cos5°sin55° ＝sin60°
＝．
故选：D． 2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 下列结论： ①若 a2＞b2+c2，则△ABC 为钝角三角形； ②若 a2＝b2+c2+bc，则 A 为 60°； ③若 a2+b2＞c2，则△ABC 为锐角三角形；
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
，则 可用 D．
表示为（ ）
【解答】由题意可得，
＝
＝
，
则＝
＝
＝
．
故选：B．
7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 下列结论： ①若 a2＞b2+c2，则△ABC 为钝角三角形； ②若 a2＝b2+c2+bc，则 A 为 60°； ③若 a2+b2＞c2，则△ABC 为锐角三角形；
D．若 c＝6，则△ABC 外接圆半径为
【解答】（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设 a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t， 解得 a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0， 可得 sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故 A 正确；
由 c 为最大边，可得 cosC＝
2
12．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若
，则△ABC 一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC 一定是等腰三角形 C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC 一定是等腰三角形 D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形
9．三角形两边之差为 2，夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么，这个三角形的此两边长分别是（ ）
A．3 和 5 【解答】如图所示，
B．4 和 6
C．6 和 8
D．5 和 7
8
假设已知 a﹣c＝2，
，S△ABC＝14．
∵0＜B＜π，∴
＝．
又 14＝
，∴ac＝35．
联立
，∵a，c＞0，解得
∴这个三角形的此两边长分别是 5 和 7． 故选：D．
4
21．如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA＝2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作 等边三角形 ABC，设∠AOB＝α（0＜α＜π）． （1）当α为何值时，四边形 OACB 面积最大，最大值为多少； （2）当α为何值时，OC 长最大，最大值为多少．
22．已知函数 （1）若 m＝1，n＝0．求 y＝f（x）的最小值； （2）若 m＝1，f（x）＝0 在[0，π]内有解．求实数 n 的取值范围： （3）若 n＝0．求 y＝f（x）的最大值 g（m）．
＝
＝ ＞0，即 C 为锐角，故 B 错误；
由 cosA＝
＝
＝ ，由 cos2A＝2cos2A﹣1＝2× ﹣1＝ ＝cosC，
由 2A，C∈（0，π），可得 2A＝C，故 C 正确；
若 c＝6，可得 2R＝
＝
＝ ，△ABC 外接圆半径为 ，故 D 正确．
故选：ACD． 12．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列四个命题中正确的命题是（ ）
高一数学阶段性练习（五一假期）
一．选择题（共 8 小题） 1．计算 sin5°cos55°﹣cos175°sin125°的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若 tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若 π≤α≤ π，则
+
等于（ ）
A．﹣2cos
B．2cos
C．﹣2sin
A．若
，则△ABC 一定是等边三角形
B．若 acosA＝bcosB，则△ABC 一定是等腰三角形
C．若 bcosC+ccosB＝b，则△ABC 一定是等腰三角形 D．若 a2+b2﹣c2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形
【解答】对于 A，若
，则
，即 tanA＝tanB＝tanC，即 A＝B＝
C，即△ABC 是等边三角形，故正确；
A．
B．
C．
D．
【解答】∵tanα＝ ，tan（α+β）＝ ，则 tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝
＝
＝，
故选：A．
3．若 π≤α≤ π，则
+
等Fra Baidu bibliotek（ ）
A．﹣2cos
B．2cos
C．﹣2sin
D．2sin
【解答】∵ π≤α≤ π，∴ ∈[ ， ]，∴sin ≤cos ＜0，
则
+
＝
+
＝|cos +sin |+|cos ﹣sin |＝﹣cos ﹣sin +cos ﹣sin ＝﹣2sin ，
③若 a2+b2＞c2，则 cosC＝
＞0，则角 C 是锐角，无法判断角 A，B 的取值，故△ABC 为锐
角三角形不正确，故③错误； ④若 A：B：C＝1：2：3，则 A＝30°，B＝60°，C＝90°， 则 a：b：c＝sinA：sinB：sinC＝ ： ：1＝1： ：2，故④正确， 故正确是①④， 故选：B． 8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A 点测得公路北侧山顶 D 的仰角为 30°， 汽车行驶 300m 后到达 B 点测得山顶 D 在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD 为（ ）
故选：C．
4．在△ABC 中，已知 sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
6
【解答】因为 sinA＝2sinBcosc，所以 sin（B+C）＝2sinBcosC，
所以 sinBcosC﹣sinCcosB＝0，即 sin（B﹣C）＝0，
∴S 四边形 ABCD＝S△ABC+S△ACD＝
+
＝
+
＝
+
＝3sin（D﹣ ）+ ，
∴四边形 ABCD 面积的最大值为
，故 C 正确．
故选：ABC． 11．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下
列结论正确的是（ ） A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC 是钝角三角形 C．△ABC 的最大内角是最小内角的 2 倍
19．已知函数
（1）当 m＝0 时，求 f（x）在区间
上的取值范围；
（2）当 tanα＝2 时，
，求 m 的值．
20．已知函数
在 R 上的最大值为 3
（1）求 m 的值及函数 f（x）的单调递增区间 （2）若锐角△ABC 中角 A、B，C 所对的边分别为 a、b、c，且 f（A）＝0，求 的取值范围
④若 A：B：C＝1：2：3，则：a：b：c＝1： ：2．
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】①若 a2＞b2+c2，则 cosA＝
＜0，则角 A 是钝角，则△ABC 为钝角三角形，故①正
确，
7
②若 a2＝b2+c2+bc，则 b2+c2﹣a2＝﹣bc，则 cosA＝ 误，
＝
，则 A 为 120°，故②错
三．填空题（共 4 小题）
13．函数 f（x）＝asin（x+ ）+3sin（x﹣ ）是偶函数，则 a＝
，f（x）的最大值是
．
14．若
，其中θ∈[0，π]，则 |的最大值为
．
15．
＝
．
16．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足
，则称△A1B1C1 是△ABC 的一个“对
偶”三角形，若等腰△ABC 存在“对偶”三角形，则其底角的弧度数为
其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 A 点测得公路北侧山顶 D 的仰角为 30°，
汽车行驶 300m 后到达 B 点测得山顶 D 在北偏西 30°方向上，且仰角为 45°，则山的高度 CD 为（ ）
1
A．150 m
B．150m
C．300 m