江苏省海安市2021届高三数学上学期教学质量调研试题一
江苏省海安市2021-2022学年高三上学期学业质量监测(期末)数学试卷
2021~2022学年度第一学期学业质量监测高三数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i(i 为虚数单位)，则z ＝A ．－12＋52iB ．12＋52iC ．12－52i D ．－12－52i 2．设集合A ，B 均为U 的子集，如图，表示区域A ．ⅠB ．IIC ．IIID ．IV3．某校高三年级的700名学生中，男生有385名，女生有315名．从中抽取一个容量为60的样本，则抽取男生和女生的人数分别为A ．31，29B ．32，28C ．33，27D ．34，264．通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)．将地球看作是一个球(球心为O ，半径为r km)，地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角)，若点A 的纬度为北纬30°，则tan θ＝A ．3－2r r ＋hB ．3＋2r r ＋hC ．3－2hr ＋h D ．3＋2hr ＋h 5．(1＋2x2)(1＋x )6展开式中x 3的系数为A ．26B ．32C ．46D ．506．设数列{a n }为等比数列，若a 2＋a 3＋a 4＝2，a 3＋a 4＋a 5＝4，则数列{a n }的前6项和为A ．18B ．16C ．9D ．77．函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是A ．x ＝7π24B ．x ＝3π8C ．x ＝5π12D ．x ＝11π248．已知a ln2＋2ln a ＝0，b ln3＋3ln b ＝0，c ln x ＋x ln c ＝0，则A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
江苏省南通市海安县2021届高三上学期期中调研考试 数学
江苏省南通市海安县2021届高三期中调研考试数学注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(2+i)z=1-2i,其中i为虚数单位,则z等于()A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|x2-x>0},则∁R A等于()A. {x|0<x<1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|x<0或x>1}D. {x|x≤0或x≥1}3.在1,2,3,…,2 020这2 020个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{a n},则a50= ()A. 289B. 295C. 301D. 3074.重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是()A. 35B. 40C. 50D. 70的图象大致为()5.函数y=2xx2+x-2A BC D6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是()A. 15B. 17C. 21D. 26(第7题)7. 克罗狄斯·托勒密(Ptolemy )所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料,完成下题:如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,OA =2,B 为半圆上一点 ,以AB 为一边作等边三角形ABC ,则当线段OC 的长取最大值时,∠AOC 等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2,其渐近线上横坐标为12的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则a 等于 ( ) A. 14B. 12C. 2D. 4二、 多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分. 9. 下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π2,3π4)上单调递减的是 ( )A. y =|sin x |B. y =cos2xC. y =-tan xD. y =sin|2x |10. 若(2x √x )n的展开式中第6项的二项式系数最大,则n 的可能取值为( )A. 9B. 10C. 11D. 1211. 已知a >0,b >0,且a 2+b 2=1,则 ( ) A. a +b ≤√2 B. 12<2a -b<2 C. log 2√a +log 2√b ≥-12D. a 2-b 2>-112. 我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成N =a ×10n(1≤a <10,n ∈Z ).定义:W (N )={N 的整数部分的位数,n ≥0,N 的非有效数字0的个数,n <0,如:W (1.2×102)=3,W (1.23×10)=2,W (3×10-2)=2,W (3.001×10-1)=1,则下列说法中正确的是 ( )A. 当n >0,M >1,N >1时,W (M ·N )=W (M )+W (N )B. 当n <0时,W (M )=-nC. 若N =2100,lg2≈0.301,则W (N )=31D. 当k ∈N *时,W (2k)=W (2-k)三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知抛物线y 2=2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为52,则p = .14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x (单位:年)与维护费用y (单位:千元)之间有如下数据:使用年限x (单位:年) 2 4 5 6 8 维护费用y (单位:千元)34.56.57.59x 与y 之间具有线性相关关系,且y 关于x 的线性回归方程为y =1.05x +a (a 为常数).据此估计,当使用年限为7年时,维护费用约为 千元.(参考公式:线性回归方程y =bx +a 中的系数b =∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2,a =y -bx)(第15题)15. 如图,水平广场上有一盏路灯挂在10 m 长的电线杆上,记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源,身高1.5 m 的女孩站在离点A 5 m 的点B 处.若女孩向点A 前行4 m 到达点D ,然后从点D 出发,沿着以BD 为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m 2.16. 已知在三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA =PB =PC =1,以P 为球心,√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 .四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2=4.(1) 求{a n }的通项公式;(2) 设b n = ,求数列{b n }的前n 项和S n .请在①n ·a n ;②|2log 2a n -9|;③a n(2n+1)(2n+1+1)这三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.18. (本小题满分12分)在△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(c -b )sin C =(a -b )(sin A +sin B ).(1) 求角A 的大小;(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的面积S的取值范围.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=1,CD=2,PD⊥平面ABCD.(1)求证:BC⊥平面PBD;(2)已知PD=2,点E为棱PB的中点,求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.(第19题)20.(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望;(2)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点A(1,√2).(1)求椭圆C的方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限),过原点O作直线l 的平行线与直线PF相交于点Q,问:线段PQ的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a e x+1,g(x)=ln x a-1,其中a>0.(1)若a=1,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1,l2,求l1,l2的斜率之积;(2)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.。
江苏省海安县2021届高三上学期第一次学业质量测试数学试题
设 均为正数，且 ，求证： .
22．如图，在长方体 中， ， .
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 所成角的正弦值.
23．某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为 ，二等品的概率为 ，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失.
21．（选做题）A．[选修来自-1：几何证明选讲]如图，四边形 是圆的内接四边形， ， 的延长线交 的延长线于点 .
求证： 平分 .
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知变换 ： ，试写出变换 对应的矩阵 ，并求出其逆矩阵 .
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）.若直线 与曲线 相交于 两点，求线段 的长.
求建筑物CD的高度；
一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物 已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳 问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果 不计人的高度 ？
18．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左顶点为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图， 是圆 ： 的直径（点 在 轴上方）， 交椭圆 于点 ， ，设 与 的面积分别为 ，求 .
19．已知函数 ，其中 ， 是自然对数的底数.
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求函数 的单调减区间；
（3）若 在 恒成立，求 的取值范围.
20．设数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期中学业质量监测数学试卷(解析版)
2022届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝A．－2B．－1C．0D．22．已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为A．2i＋3B．－2i－3C．2i－3D．－2i＋33．已知实数a，b满足a2＋b2为定值，则abA．有最大值，没有最小值B．有最小值，没有最大值C．既有最大值，又有最小值D．既没有最大值，也没有最小值4．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k (0≤k ≤6，k ∈N )个隐藏款的概率最大，则k 的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x －1)为偶函数，则A ．f (－3)＝0B ．f (－1)＝0C ．f (0)＝0D ．f (3)＝06．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．12a ＋bB ．－12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，B 1B ，C 1D 1的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】8．已知lnπ＞π－2，设a＝eπ,b＝π°，c＝3πc，其中e为自然对数的底数，则A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三上学期教学质量调研(一)数学(理)试题含答案
2021年高三上学期教学质量调研（一）数学（理）试题含答案一、填空题1.已知复数z=，则该复数的虚部为______2.已知集合A={1,3，m+1}，B={1，m}，AB=A，则m=______3.已知=（3,3），=（1，-1），若（+λ）（-），则实数λ=______4.已知角α的终边经过点P（x，-6），且cosα=-，则x=______5.已知幂函数y=x是偶函数，且在（0，+）上是减函数，则整数a的值是______6.若命题“xR，使得x+4x+m<0”是假命题，则实数m的取值范围是______7.若实数x，y满足，则z= x+ y的取值范围是______8.已知函数f（x）=2sin（x+）（>0），函数的图象与x轴两个相邻交点的距离为，则的单调递增区间是______9.已知奇函数= ，则g(-3)的值为______10.曲线y=x+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，cR，则m+n+c=______11.已知=log（x-2），若实数m，n满足f（m）+ f（2n）=1，则m+n的最小值是______12.若点P是ABC的外心，且，C=60°，则实数λ=______13.已知定义在（0，）上的函数的导函数为f ’（x），且对任意x（0，），都有sinx cosx，则不等式2f（）sinx的解集为______14，已知函数的定义在R上的奇函数，当x>0时，=+—4a.若对任意xR，，则实数a的取值范围为______二、解答题15.若ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A-）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值。
16.在ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3.（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2,且=-9，求与的夹角。
17．已知关于x的不等式（ax-1）（x+1）> 0.（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若aR，解这个关于x的不等式.18.设是偶函数，且x0时，=（1）当x<0时，求的解析式.（2）设函数在区间[-4,4]上的最大值为的表达式.19.某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）.则BE 多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）.则BE多长时灯带最短？20.已知函数=lnx，g（x）=x+a.（1）当a=0时，求函数y= g（x）的单调区间；（2）当aR且|a|1时，讨论函数F（x）=的极值点个数.理科答案1.12.33.94.-85.16.[4，+)7.[，25]8.[ —+2k，+2k]，kZ9.-7 10.5 11.2+312. — 13.（，） 14.[ —，]15. —16.x=，y= 60°17.a=-2 当a<-1时，解集为{x|-1<x<};当a=-1时，解集为∅；当-1<a<0时，解集为{x|<x<-1}；当a=0时，解集为{x|x<-1}；当a>0时，解集为{x|x<-1或x>}18. = g（a）=19.按方法（1），BE=10米时，钢丝绳最短；按方法（2），BE=16米时，钢丝绳最短。
2021年高三上学期1月教学质量调研数学(文)试题word版含答案
2021年高三上学期1月教学质量调研数学（文）试题word版含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数（）A． B． C． D．2、已知集合{|320},{|(1)(3)0}=+>=+->，( )A x xB x x xA． B． C． D．3、设，则（）A．1 B．2 C．4 D．84、已知数列的前n项和为，且，则（）A．-10 B．6 C．10 D．145、在中，若，则（）A． B． C． D．6、如图在程序框图中，若输入，则输出的值是（）A．2 B．3C．4 D．57、设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8、把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（）A． B． C． D．9、已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A ．6B ．3C ．D ．110、若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知函数，则函数的图象可能是（ ）12、已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、某单位青年、中年、老年职工的人数之比为从中抽取200名职工作为样本，则应抽取青年职工的人数为14、若，且，则15、圆心在原点，并与直线相切的圆的方程为16、定义在R 上的函数满足，且时，，则三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知向量()31(sin ,),(,cos ),22a xb x f x a b ===⋅ （1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间。
江苏省海安高级中学2021届高三上学期12月数学模拟试卷
江苏省海安高级中学2021届高三上学期12月模拟试卷数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合M ＝{}42x x -<<，N ＝{}2560x x x --<，则MN ＝A ．{}12x x -<<B ．{}42x x -<<C ．{}46x x -<<D ．{}26x x << 2．若2i z =+，则22z z -＝A ．0B ．5C ．2D ．13 3．已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a ＜b 成立的充分不必要的条件是A ．1a b <-B ．1a b <+C ．22a b <D ．33a b <4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为A ．34 B ．2425 C ．127 D ．247第4题 5．函数ln ()xf x x x=-的图像大致为A B C D 6X ﹣1a1P16 13 12当a 在(﹣1，1)内增大时，方差D(X)的变化为A ．增大B ．减小C ．先增大再减小D ．先减小再增大7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P ，已知1AP AC 3=且3AM AB 4=，若AN AD λ=，则实数λ的值为A ．12 B ．35C ．23D ．34 8．三棱锥A —BCD 中，∠ABC ＝∠CBD ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ＝2，△ACD 的面积为A ．16πB ．4πC ．163π D ．323π 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34，35]内B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多10．已知F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点F l 交抛物线于A 、B两点（点A 在第一象限），交抛物线的准线于点C ，则下列结论正确的是 A ．AF FC = B ．AF 2BF =C ．AB 3p =D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切 11．下列命题正确的有A ．若a ＞b ＞c ，ac ＞0，则bc (a ﹣c )＞0B ．若x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则22x y +的最大值为4C ．若x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，则2x y xy ++的最小值为5+D ．若实数a ≥2，则12log (2)1a a a a +++<+ 12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x 使得00()f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是 A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()f x ax bx c =++(a ≠0)至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点,则不动点个数是奇数D ．若函数()x f x e x a =+-在区间[0，1]上存在不动点，则实数a 满足1≤a ≤e(e 为自然对数的底数)三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知数列{}n a ，{}n b 满足2log n n b a =，n N *∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b +++＝ ．14．双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆M ：(x ﹣3)2 ＋y 2＝8相交于A 、B 两点，AB 22=，则双曲线的离心率等于 ． 15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四面体P—ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且PA ＝AB ＝1，BC ＝2，则二面角A—PC—B 的正弦值为 ．第15题 16．函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，ϕ≤2π )，已知(6π-，0)为()f x 图象的一个对称中心，直线x ＝1312π为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在[1312π，1912π]上单调递减，记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①cos2B ＋2cos 2B2＝1；②2b sinA ＝a tanB ；③(a ﹣c )sinA ＋c sin(A ＋B)＝b sinB 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 ．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝4，求△ABC 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221nn n S a S =-(n ≥2)．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n nb S =，21(1)n n n n bc b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，AB ＝BCPA ＝PB ＝PC ＝AC ＝2． （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM，求BM ．20．（本小题满分12分）某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成．比赛中每人投篮n 次(n N *∈)，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）当n ＝2时，求小组共投中4次的概率；（2）当n ＝1时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴长为4，离心率为，左右顶点为A ，B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2k ＝31k ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．22．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x =-，()sin g x x =．（1）判断()()()F x f x g x =-在x ∈[0，+∞)上零点的个数；（2）当x ∈[0，π]时，()()f x ag x ≥(a ∈R)恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．B 8．D 9．ABD 10．AD 11．ACD 12．BCD13．1010 141516．12 517．18．19．20．21．22．。
江苏省南通海安市2021届高三数学初学业质量检测试题(含解析)
江苏省南通海安市2021届高三数学初学业质量检测试题（含解析）参考公式： 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高. 一、填空题：请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-，则A B =______.【答案】{}6 【解析】 【分析】利用集合交集的定义可求出集合AB .【详解】因为集合{}0,2,6,8A =，{}2,4,6B =-， 所以{}6AB =，故答案为：{}6.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数()12z i i =-⋅，其中i 为虚数单位，则z 的模为______.【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的求模公式可计算出复数z 的模.【详解】()21222z i i i i i =-⋅=-=+，因此，复数z 的模为z ==，故答案【点睛】本题考查复数模的计算，对于复数问题，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式，再结合相关公式或知识求解，考查计算能力，属于基础题.3.某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有18件，则n 的值为_____.【答案】90 【解析】 【分析】根据分层抽样总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等列等式求出n 的值. 【详解】由于在总体和样本中，A 型号的产品所占的比例相等，则有182235n =++，解得90n =，故答案为：90.【点睛】本题考查分层抽样中的计算，解题时要根据分层抽样的特点列等式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.4.函数y =的定义域是_____________ 【答案】[]2,3 【解析】 【分析】根据偶次方根被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意2560x x -+-≥，即()()256320x x x x -+=--≤，解得[]2,3x ∈.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为72，则三棱锥1A BCD -的体积为______. 【答案】12 【解析】 【分析】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ，可得出72Sh =，则三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥1A BCD -的体积. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的底面积为S ，高为h ， 则长方体1111ABCD A B C D -的体积为72Sh =，由题意可知，三棱锥1A BCD -的底面积为12S ，高为h ， 因此，三棱锥1A BCD -的体积为1111172123266A BCDV S h Sh -=⨯⨯==⨯=，故答案为：12. 【点睛】本题考查锥体体积的计算，解题的关键就是弄清楚锥体和长方体底面积以及高之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.6.如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为______.【答案】9 【解析】 【分析】根据框图列出算法步骤，可得出输出结果. 【详解】由题意可得1024n =为偶数，则10245122n ==，922log 512log 29n ===，输出n 的值为9，故答案为：9.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查条件结构框图的应用，一般根据算法框图列举出算法步骤，即可计算出输出结果，考查计算能力，属于中等题.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点的坐标为)3,0，则该双曲线的两条渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】 【分析】根据题意求出a 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可得2212a =-=，则双曲线的方程为2212x y -=，因此，双曲线的渐近线方程为2y x x ==±，故答案为：2y x =±.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是求出双曲线的方程，考查运算求解能力，属于基础题.8.某饮品店提供A 、B 两种口味的饮料，且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种容量.甲、乙二人各随机点一杯饮料，且甲只点大杯，乙点中杯或小杯，则甲、乙所点饮料的口味相同的概率为______. 【答案】12【解析】 【分析】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，用列举法列出所有的基本事件，并确定事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】记A 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1A 、2A 、3A ，B 种口味饮料大杯、中杯、小杯分别记为1B 、2B 、3B ，事件“甲只点大杯，乙点中杯或小杯”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,A B 、()13,A B 、()12,B A 、()13,B A 、()12,B B 、()13,B B ，共8个，其中事件“甲、乙所点饮料的口味相同”所包含的基本事件有：()12,A A 、()13,A A 、()12,B B 、()13,B B ，共4个，因此，所求事件的概率为4182=，故答案为：12. 【点睛】本题考查利用古典概型概率公式计算事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，并确定基本事件数目，考查计算能力，属于中等题.9.已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为6x π=，则ϕ的值为______. 【答案】6π【解析】 【分析】 由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，求出ϕ的表达式，再结合ϕ的取值范围，可得出ϕ的值.【详解】由题意得出()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，02πϕ<<，0k ∴=且6π=ϕ，故答案为：6π.【点睛】本题考查利用正弦型函数对称轴方程求参数的值，解题时要结合正弦型函数的对称轴方程得出参数的表达式，并结合参数的取值范围得出参数的值，考查运算求解能力，属于中等题.10.设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S .若存在m N *∈，使得2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，则正整数m 的值为______. 【答案】3 【解析】 分析】先利用条件2152m m m a a a +++=求出公比q 的值，然后利用等比数列求和公式以及29m m S S =可求出正整数m 的值. 【详解】2152m m m a a a +++=，252m m m a a q a q ∴+=，得25102q q -+=，1q >，解得2q .由29m m S S =，可得()()211121291212m m a a --=⨯--，所以，()212912mm -=-，即()()()1212912mmm-+=-，m N *∈，120m ∴-≠，129m ∴+=，解得3m =，故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比数列求和公式，对于等比数列问题，通常利用首项和公比将等比数列中相关量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形OABC ，其中()1OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，则当AQ CP +最小时，a 的值为______.3【解析】 【分析】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，求出点P 、Q 的坐标，可得出AQ 、CP 关于a 的表达式，然后利用基本不等式求出AQ CP +的最小值，并利用等号成立的条件求出对应的a 的值.【详解】由题意得出直线AB 的方程为x a =，直线BC 的方程为y a =，联立直线AB 的方程与函数12y x -=的解析式12x a y x -=⎧⎪⎨⎪=⎩，得1x a y a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以点Q 的坐标为a a ⎛ ⎝，则AQ a =联立直线BC 的方程与函数23y x =的解析式()230y a y x x =⎧⎨=>⎩，得3ax y a⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以点P 的坐标为,3a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则3aCP =. 由基本不等式得412333aa AQ CP a a +=+≥⋅=， 当且仅当3aa =，即当3a =时，等号成立，因此，3a =，故答案为：3. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是结合条件建立关于a 的代数式，并结合基本不等式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，3AB =，1AD =，CB CD =，2ADB BCD π∠=∠=，则AC BD ⋅的值为______.【答案】4- 【解析】 【分析】以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，写出A 、B 、C 、D 四点的坐标，并求出向量AC 、BD 的坐标，利用坐标法来计算出AC BD ⋅的值.【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，3AB =，1AD =，2ADB π∠=，2222BD AB AD ∴=-=又CB CD =，且2BCD π∠=，BCD ∴∆是等腰直角三角形，则点()0,1A -、()22,0B 、2,2C 、()0,0D ，()2,21AC =，()22,0BD =-，因此，(()2222104AC BD ⋅=⨯-+⨯=-，故答案为：4-.【点睛】本题考查图形中向量数量积的计算，常利用基底向量法与坐标法来进行求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13.在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________. 23【解析】 【分析】 先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果.【详解】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab =++⋅=，解3c =.即AB 的长为3.【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用，熟记正弦定理与余弦定理，以及向量数量积的运算即可，属于常考题型.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:20l x y -+=与x 轴交于点A ，点B 在直线1l 上，直线2:310l x y +-=上有且仅有一点C 满足：AC BC ⊥（A 、B 、C 两两互不相同），则点B 的横坐标的所有可能值之积为______.【答案】19 【解析】 【分析】设点B 的坐标为(),2t t +，设点(),C x y ，根据AC BC ⊥转化为0AC BC ⋅=，可得出点C 的轨迹为圆，由题意得出点C 的轨迹圆与直线2l 相切，将直线2l 的方程与点C 的轨迹方程联立，利用0∆=得出关于t 的二次方程，利用韦达定理求出两根之积12t t 可得出结果. 【详解】设点B 的坐标为(),2t t +，直线1l 与x 轴的交点为点()2,0A -， 设点(),C x y ，()2,AC x y =+，(),2BC x t y t =---，AC BC ⊥，()()()220AC BC x x t y y t ∴⋅=+-+--=，联立()()()310220x y x x t y y t +-=⎧⎨+-+--=⎩，消去x 得()210214330y t y t +-+-=，()()2214410330t t ∆=--⨯⨯-=，化简得216190t t ++=，由韦达定理得1219t t =.当点B 为直线1l 与2l 的交点时5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，要使0AC BC ⋅=，点C 与点B 重合，不合题意.因此，点B 的横坐标的所有可能值之积为1219t t =，故答案为：19.【点睛】本题考查两直线垂直、直线与圆的位置关系的综合应用，解题的关键在于将点的个数问题转化为直线与圆的位置关系，并利用韦达定理进行求解，考查转化与化归思想以及方程思想，考查运算求解能力，属于难题.二、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在ABC ∆中，已知3BC =，2AC AB -=，1cos 2B =-. （1）求AB 、AC 的值； （2）求()sin B C -的值.【答案】（1）5AB =，7AC =；（2. 【解析】 【分析】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由2b c -=，可得出2b c =+，利用余弦定理结合条件1cos 2B =-可解出c ，从而可得出AB 、AC 的值； （2）求出23B π=，利用余弦定理求出cos C 的值，再利用同角三角函数可求出sin C 的值，然后利用两角差的正弦公式可求出()sin B C -的值.【详解】（1）设角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，由余弦定理得222cos 2a c bB ac+-=，又因为1cos 2B =-，3a =，2b c -=，所以()222321232c c c +-+=-⨯，解得5c =.因此，5AB =，7AC =；（2）在ABC ∆中，0B π<<，又1cos 2B =-，故23B π=. 由余弦定理得222cos 2a b cC ab +-=，结合（1）知，22237511cos 23714C +-==⨯⨯，又0C π<<，故221153sin 1cos 11414C C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()22231115343sin sin sin cos cos sin 3332142147B C C C C πππ⎛⎫-=-=-=⨯+⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，以及利用两角差的正弦公式求值，在求解三角形的问题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证明出//AB 平面11A B D ，然后利用直线与平面平行的性质定理可得出//AB EF ； （2）由题意得出1111A B B C ⊥，由1BB ⊥平面111A B C ，可得出111A B BB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明出11A B ⊥平面11BB C C ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面11A B D ⊥平面11B BCC .【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，又AB ⊄平面11A B D ，11A B ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D . 又AB平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF ；（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥ 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥. 又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .【点睛】本题考查直线与直线平行以及平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的性质定理以及平面与平面垂直判定定理的应用，考查推理能力，属于中等题.17.现有一张半径为1m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为hm 的圆锥筒，如图2.（1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为23rad π，求圆锥筒的容积； （2）当h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的最大值. 【答案】（1）32281m π；（2）当3h 时，圆锥筒的容积的最大值为32327m π. 【解析】 【分析】（1）计算出扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理计算出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可计算出圆锥的容积；（201h <<，利用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积V 关于h 的函数，再利用导数可求出V 的最大值，并求出对应的h 的值. 【详解】设圆锥筒的半径为r ，容积为V .（1）由223r ππ=，得13r =，从而3h ==，所以()23111333381V Sh m π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭.答：圆锥筒的容积为381m ；（2）因为r 01h <<. 所以()()223111113333V Sh r h h h h h πππ===-⋅=-，即()313V h h π=-，01h <<.因为()21133V h π'=-，令0V '=得，3h =±（舍负值），列表如下：所以，当h 时，V 取极大值即最大值，且V .答：当h 3. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查利用导数求函数的最值，解题的关键就是要结合题意求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ，连结2B F 并延长交椭圆于点P ，连结2PA ，12A B ，记椭圆C 的离心率为e .（1）若12e =，127A B =①求椭圆C 的标准方程；②求21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比. （2）若直线2PB 和直线2PA 的斜率之积为92-，求e 的值.【答案】（1）①22143x y +=.②5 ；（2）12e =. 【解析】 【分析】（1）①设椭圆的焦距为2c ，根据题意列出有关a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，可得出椭圆的标准方程；②求出直线2B F 的方程，将该直线方程与椭圆C 的标准方程联立，求出点P 的坐标，再利用三角形的面积公式可求出21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比； （2）先利用截距式得出直线2PB 的方程为1x y c b+=-，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，求出点P 的坐标，利用斜率公式计算出直线2PA 和2PB 的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为92-，得出关于a 、c 的齐次方程，由此可解出椭圆C 的离心率e 的值.【详解】（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得22212c e a a b c ⎧==⎪==+⎪⎪⎩2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为22143x y +=；②由①知，()12,0A -、()22,0A ，()1,0F，(20,B ， 所以直线2B F的方程为)1y x =-，将其代入椭圆的方程，得()22114x x +-=，即2580x x ，所以0x =或85x =，所以点P的坐标为8,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 从而21B A F ∆和2PA F ∆的面积之比：212135B A F PA FS S ∆∆⨯==； （2）因为2B 、F 在直线2PB 上，所以直线2PB 的方程为1x yc b+=-. 解方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，得()2122221222a c x a c b a c y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩或220x y b =⎧⎨=-⎩， 所以点P 的坐标为()22222222,b a c a c a c a c ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭. 因为直线2PB 的斜率()200PB b bk c c--==-，直线2PA 的斜率()()()()()222222222222222PA b a c b a c b a c a c k a c a a c a c a a c a a c ---++===---+-+， 又因为直线2PB 和直线2PA 斜率之积为92-，所以()()()()()()()()222292a c a cb ac b a c a c b a a c c ac a c ac a c ac -++++-⨯=-=-=-=----，即1922e e ++=，化简得22520e e -+=，01e <<，解得12e =. 因此，椭圆C 的离心率为12e =.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、三角形面积的比值，以及椭圆离心率的求解，同时也考查了直线与椭圆交点坐标的求解，考查方程思想的应用，属于中等题.19.已知函数()2xx bx c f x e++=（e为自然对数的底数），()f x '为()f x 的导函数，且()10f '=.（1）求实数c 的值；（2）若函数()f x 在0x =处的切线经过点()1,0-，求函数()f x 的极值；（3）若关于x 的不等式()2f x ≤对于任意的[]0,2x ∈恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）函数()y f x =的极小值为0，极大值为4e；（3）(],22e -∞-. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()10f '=，可求出实数c 的值；（2）利用导数求出函数()y f x =在0x =处的切线方程，将点()1,0-代入切线方程，可求出实数b 的值，然后利用导数求出函数()y f x =的极值点，并列表分析函数()y f x =的单调性，由此可得出函数()y f x =的极小值和极大值；（3）方法1：由()2f x ≤，得()221xbx e x ≤-+，[]0,2x ∈，然后分0x =和02x <≤两种情况讨论，在0x =时可验证不等式成立，在(]0,2x ∈时，由参变量分离法得21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，并构造函数()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，并利用导数求出函数()y g x =在区间(]0,2上的最小值，由此可得出实数b 的取值范围；方法2：解导数方程()0f x '=，得出11x b =-，21x =，然后分11b -=，10b -≤，011b <-<，12b -≥和112b <-<五种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,2上的单调性，求出函数()y f x =的最大值()max f x ，再解不等式()max 2f x ≤可得出实数b 的取值范围.【详解】（1）因为()2x x bx cf x e ++=，所以()()22xx b x b c f x e -+-+-'=，又因为()10f '=，所以()120b b ce-+-+-=，解得1c =.（2）因为()2xx bx cf x e ++=，所以()01f =. 因为()()22xx b x b cf x e-+-+-'=，所以()01f b '=-. 因为，函数()y f x =在0x =处的切线方程为()11y b x -=-且过点()1,0-， 即()11b -=--，解得2b =. 因为()()()11xx x f x e -+'=-，令()0f x '=，得1x =±，列表如下：所以当1x =-时，函数()y f x =取得极小值()10f -=， 当1x =时，函数()y f x =取得极大值为()41f e=； （3）方法1：因为()212xx bx f x e++=≤在[]0,2x ∈上恒成立，所以()221xbx e x ≤-+在[]0,2x ∈上恒成立. 当0x =时，01≤成立；当(]0,2x ∈时，21x e b x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，记()21x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(]0,2x ∈， 则()()()()221212111xx x e x e x g x x x x ----⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭. 令()21x h x e x =--，(]0,2x ∈，则()0212110xh x e e '=->-=>，所以函数()y h x =在区间(]0,2上单调递增，所以()()0020110h x h e >=--=>，即210x e x -->在区间(]0,2上恒成立.当(]0,2x ∈，令()0g x '=，得1x =，所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递减，在区间()1,2上单调递增， 所以()()min 122g x g e ==-，所以，22b e ≤-， 因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-；方法2：由（1）知，()21xx bx f x e++=， 所以()()()()22111x xx b x b x x b f x e e -+-+--+-'==-.令()0f x '=，得11x b =-，21x =.①当11b =-时，即0b =时，函数()y f x =在区间[]0,2上单调递减， 由题意可知()012f =≤，满足条件；②当10b -≤时，即1b ≥时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，由题意可知()212b f e+=≤，解得122b e ≤≤-； ③当011b <-<时，即01b <<时，函数()y f x =在[]0,1b -上单调递减，在[]1,1b -上单调递增，在[]1,2上单调递减，由题意可知()212b f e+=≤，解得22b e ≤-，所以01b <<； ④当12b -≥时，即1b ≤-时，函数()y f x =在区间[]0,1上单调递减，在区间[]1,2上单调递增，由题意可知()22522b f e +=≤，解得252b e ≤-. 又因为1b ≤-，所以1b ≤-； ⑤当112b <-<时，即10b -<<时，函数()y f x =在[]0,1上单调递减，[]1,1b -上单调递增，在[]1,2b -上单调递减， 由题意可知()1212bbf b e---=≤，即()12110b e b ---+≥. 令1t b =-，则12t <<，设()2121tty e t e t =-+=--，则210ty e '=->，所以，函数21ty e t =--在区间()1,2上单调递增，又因为1t =时，220y e =->，所以0y ≥在区间()1,2上恒成立，所以10b -<<. 综上，22b e ≤-，因此，实数b 的取值范围是(],22e -∞-.【点睛】本题考查导数的计算、导数的几何意义、利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，对于不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，也可以采用分类讨论法，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.20.若无穷数列{}n a 满足：只要p q a a =（p 、q N *∈），必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比大于1的等比数列，15b c =，51b c =，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知()1sin n n n a b a n N *+=+∈，求证：“对任意的1a ，{}na 具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.【答案】（1）316a =；（2）不具有性质P ，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据题中条件得出25a a =，结合性质P 可得出36a a =，47a a =，58a a =，再利用条件67821a a a ++=，可得出3a 的值；（2）假设数列{}n a 是具有性质P ，根据题中条件得出15a a =，根据性质P 得出26a a =，将两等式作差得出关于q 的方程，解出q 的值，不满足1q >，说明数列{}n a 不具备性质P ； （3）充分性：由数列{}n b 是常数列，可得1n b b =，通过11sin n n a b a +=+，证明11p q a a ++=，可得出数列{}n a 具有性质P ；必要性：对任意的1a ，{}n a 具有性质P ，得到211sin a b a =+，构造函数()1f x x b =-，()sin g x x =，证明出1n n b b +=，可证明出数列{}n b 是常数项.【详解】（1）因为22a =，52a =，所以25a a =.因为数列{}n a 具有性质P ，所以36a a =，47a a =，58a a =，从而34567821a a a a a a ++=++=，又43a =，52a =，所以316a =； （2）假设{}n a 是具有性质P ，等比数列{}n c 的公比为()1q q >. 因为n n n a b c =+，所以111a b c =+，555a b c =+.因为15b c =，51b c =，所以1155b c b c +=+①，从而15a a =. 又因为{}n a 具有性质P ，所以26a a =，即2266b c b c +=+②. ②-①，得21216565b b c c b b c c -+-=-+-.因为{}n b 是等差数列，所以2165b b b b -=-，从而2165c c c c -=-.因为数列{}n c 是等比数列，所以10c ≠，从而541q q q -=-，而()()4110q q --=.因为1q >，所以不存在这样的q ，所以假设不成立. 所以{}n a 不具有性质P ；（3）1︒充分性：若{}n b 是常数列，则1n b b =，从而11sin sin n n n n a b a b a +=+=+.若存在p 、q N *∈，使得p q a a =，则由11sin p p a b a +=+，11sin q q a b a +=+得，11p q a a ++=，所以对任意的1a ，{}n a 具有性质P ；2︒必要性：若对任意的1a ，{}n a 具有性质P .先证明：对于给定的1b ，存在t R ∈，使得1sin 0t t b --=. 证明：记函数()1sin f t t t b =--，则()()1122sin 20f b b +=-+>，()()1122sin 20f b b -=---<， 又函数()y f t =的图象不间断，所以存在()112,2t b b ∈-+，使得()0f t =. 取1a t =，则111sin 0a a b --=，即111sin a b a =+， 又由1sin n n n a b a +=+得，211sin a b a =+，所以12a a =. 由{}n a 具有性质P ，得23a a =，34a a =，，1n n a a +=，所以{}n a 为常数列，从而1sin n n n b a a +=-为常数，所以{}n b 是常数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，同时也考查了充分必要条件的证明，本题的难点在于构造新函数，利用函数的零点存在定理来证明常数列，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.21.已知矩阵32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，且94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求实数x 、y 的值； （2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）3x =，4y =；（2）特征值为1、6. 【解析】 【分析】（1）根据题中矩阵运算列出关于x 、y 的方程组，可解出x 、y 的值； （2）求出矩阵A特征方程，解出该方程可得出矩阵A 的特征值.【详解】（1）因为32x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，41α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，94A α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以349214x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.所以43984x y -=⎧⎨-=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则矩阵A 的特征多项式()()()()()333461624fλλλλλλλ--==---=----，令()0f λ=，得1λ=，6λ=，因此，矩阵A 的特征值为1、6.【点睛】本题以矩阵计算以及矩阵特征值的计算，解题的关键在于写出矩阵的特征方程，并进行求和，考查方程思想的应用，属于中等题.22.在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，若03πθ=，求0ρ及l 的极坐标方程.【答案】0ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】 将点0,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 的极坐标方程可得出0ρ的值，求出直线OM 的斜率，根据l OM ⊥求出直线l 的斜率，利用点斜式写出直线l 的方程，再将直线l 的普通方程化为极坐标方程.【详解】因为点()00,M ρθ在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin ρθ=.又03πθ=，故04sin3πρ==OM 的斜率为tan3π=l OM ⊥，设直线l 的斜率为k 1=-，解得k =.所以，直线l 的方程为)4y x =-，即40x +-=，所以，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ+-=，即2sin 46πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此，直线l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极径的计算以及直线的极坐标方程的求解，一般要结合题意先写出直线的普通方程，再转化为极坐标方程，考查运算求解能力，属于中等题.23.对于正实数x 、y 满足11x -≤，21y -≤，求证：12x y -+≤. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将代数式表示为()()112x y x y -+=---，再利用绝对值三角不等式可证出所证不等式成立.【详解】由绝对值三角不等式得()()112122x y x y x y -+=---≤-+-≤， 因此，原不等式成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式证明不等式成立，证明的关键在于对代数式进行配凑，考查推理能力，属于中等题.24.如图，在空间之间坐标系O xyz -中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （2）设E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 【答案】（1）45；（26.【解析】 【分析】（1）列出A 、B 、C 、D 、P 的坐标，计算出平面PCD 的一个法向量u ，利用空间向量法计算出直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值，即可得出直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （2）求出点E 、F 的坐标，计算出平面AEF 和AEP 的法向量m 、n ，利用空间向量法求出二面角F AE P --的余弦值的绝对值，由此可得出二面角F AE P --的正弦值. 【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上， 其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ， 顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =， 所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D，()002P ,,.（1）()2,1,2PB =--，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-， 设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u PC u PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1z =，则0x =，1y =，得()0,1,1u =.所以cos ,23u PB u PB u PB⋅===-⨯⋅.所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为45； （2）因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-. 又平面AEP的一个法向量为()1,0,0n =，所以cos ,3m nm n m n⋅===⨯⋅. 所以二面角F AE P --的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成的角和二面角，解题的关键就是要列出问题所涉及的点的坐标，并计算出平面的法向量，考查运算求解能力，属于中等题.25.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A、B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A、B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】（1）X的分布列见解析，数学期望为1；（2）无法确定是否有变化，理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据确定仅使用A支付方法或B支付方法中，金额不大于1000和大于1000的人所占的频率，由题意得出随机变量X的可能取值有0、1、2，再利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X在对应取值的概率，可列出随机变量X的分布列，并利用数学期望公式可求出其数学期望；（2）计算出事件“从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元”的概率，根据概率的意义得出结论.【详解】（1）仅使用A支付方法的30名学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 的所有可能值为0、1、2.则()32605525P X ==⨯=，()22321315525P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，所以X 分布列为：数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=； （2）无法确定是否有变化，理由如下：记事件:E “从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.”假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月数据得，()3333014060C P E C ==.我们知道“小概率事件”的概率虽小，但还是有可能发生的，因此无法确定是否有变化. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望，考查古典概型概率的计算以及概率的意义，解时要弄清事件的基本类型，结合相关公式计算事件的概率，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。
江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期末数学试题 附解析
【解析】
【分析】将已知椭圆方程化为标准形式为 ，由题意可得 ， ，结合 以及 、 即可求解.
【详解】由 可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得 ， ， ，
由题意可得 ，所以 ， ，
可得 ，离心率 ，
故答案为： .
15.已知函数 若 ，则 最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，作出函数 以及 的图象，不妨设 ，则 ， ，由 表示 ，再利用二次函数的性质计算 的最大值即可求解.
2021~2022学年度第一学期学业质量监测
高三数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卷交回.
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
对于B： 的定义域为 ，将 的图象向右平移一个单位可得 ，因为 在 上单调递增，向右平移一个单位可得 在 上单调递增，所以 在区间 上单调递增，故选项B正确；
对于C： ，所以 在区间 上单调递增，故选项C正确；
对于D： 是由 和 复合而成，因为 单调递减， 在区间 上单调递增，所以 在区间 上单调递减，故选项D不正确；
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集与补集的定义可得结果.
【详解】由题意可知， 表示区域II.
故选：B.
3.某校高三年级的 名学生中，男生有 名，女生有 名．从中抽取一个容量为 的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）
A. 、 利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.
江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题与答案
江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的）1. 设集合 A={xeN|2<x<6}, B={x|log 2（x-1）<2},则 ApB=2. 已知2+i 是关于％的方程疋+似+ 5 = 0的根，则实数&=3. 哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1, 2, 3, 4, 5, 6.图 2的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A. 11B. 13C. 15D. 170 1/1 1十.3一2—0 1410 12 17■ s► 1 1 1 1 1 1---------5 —4. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排岀的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进 行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间上（单位：h ）近似满 足函数关系式x = ^.（l-e^），其中心，&分别称为给药速率和药物消除速率（单位：k mg/h ）.经测试发现，当±=23时，*仏，则该药物的消除速率*的值约为（ln2^0. 69） 2k A. AB. 2C. 12D •型10010335. （I-2A T 的二项展开式中，奇数项的系数和为«■*甲：PA + PB + PC = 0： 乙：PA (PA-PB) = PC (PA-PB):A. {珅3<x<5} B ・{.v|2<x<5} C ・{3, 4}D. {3, 4, 5}A ・ 2-i C. 2D. 46. A. TD•叮函数尸 sin 7rx的图象大致为丙：|PA |=|PB | = |PC |：T ： PA PB = PB PC = PC PA.7.已知点P 是AABC 所在平而内点，有下列四个等式:yD如果只有一个等式不成立，则该等式为A.甲B.乙C.丙D. T8.已知曲线y = lnx在AC*】，儿）朋（心，儿）两点处的切线分别与曲线y = 1相切于C（x 「儿），D（x4,儿），则x｛x2 + y3y4的值为A. 1 B・2 C・? D・卩2 4二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知加刀是两条不重合的直线，a. 0是两个不重合的平而，则A.若mH a、n// a.则m//n B・若血〃 a ,加丄0 ,则a丄0C・若a // p功丄a ,刀丄0 ,则m//n D・若a丄0, mH a、n// /? >则加丄力10・已知函数/（x） = sin（2x-—）,贝ij6A./（x）的最小正周期为龙B.将y = sin2x的图象上所有的点向右平移兰个单位长度，可得到/（x）的图象6C./（x）在（-彳，巴）上单调递增6 3D.点（一辽 0）是/（兀）图象的一个对称中心11.若函数厲・）」」一"2 +加*1的值域为⑵+OC）,则x +1 — In 兀x> 1A. f⑶ A/（2）B.也22C. f （芈）> /（-）D・log”（加 +1） > log IWI+I）（/n + 2）2 e12.冬末春初，乍暧还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，贝IJ会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规泄：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C,则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37. 3°C人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A.中位数为3,众数为2B.均值小于1,中位数为1C.均值为3,众数为4D.均值为2,标准差为©三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分，共计20分）13. ____________________________________________________ 在正项等比数列｛©｝中，若仔g=27,则乞砲©= ______________________________________14. _________________________________________________________________ 已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x.写出双曲线C的一个标准方程：____________________15•“康威圆左理”是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，AABC的三条边长分别为BC = a, AC=b, AB=c.延长线段CA至点扎，使得AA：以此类推得到点扎，B. B：, C,和G,那么这六个点共圆,这个圆称为康威圆.已知a=4, Z>=3, c=5,则由ZkABC生成的康威圆的半径为 .16.已知在圆柱0,0=内有一个球0,该球与圆柱的上、下底而及母线均相切.过直线0Q：的平而截圆柱得到四边形ABCD,其而积为8.若P为圆柱底而圆弧CD的中点，则平面PAB与球0的交线长为______ .四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指泄区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知等差数列｛©｝满足+2%严3“ + 5 .（1）求数列｛“”｝的通项公式；（2）记数列的前力项和为S「若VneN\（久为偶数），求兄的值.18.（本小题满分12分）A + R ^±.（A）（b +a — c）（b-a + c） = ac:②cos （A+B） =sin（A - B）；③tan --- =sinC 这三个条2件中任选两个，补充在下而问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在•说明理由.问题：是否存^hAABC,它的内角A, B, C的对边分别为a, b. 6且a= 2^2, 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答讣分.19.（本小题满分12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3 + 1+2”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800 名学生的选科情况，部分数据如下表：性别男主女生合计科目物理300历史150合计400 800（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99. 9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关：（2）该校为了提髙选择历史科目学生的数学学习兴.趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记 3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望E（X）・20.（本小题满分12分）如图，在正六边形ABCDEF中，将Z\ABF沿宜线BF翻折至ZXA' BF,使得平面A' BF丄平而BCDEF, 0, H分别为BF和A' C的中点.（1）证明：0H〃平而A' EF21.（本小题满分12分）已知函数/（x） = x2- —-a・ x（1）若/（x）>0,求实数a的取值范用;（2）若函数f（x）有两个零点旺，x2,证明：< 1.22.（本小题满分12分）已知点A, B在椭圆4 + 4 = 1（a>^>0）±,点A在第一象限，0为坐标原点，且0A a"丄AB・（1）若*1,直线0A的方程为x-3y=0,求直线0B的斜率：（2）若AOAB是等腰三角形（点0, A, B按顺时针排列），求◎的最大值.a参考答案1. C2. B 3・C 4・A 5. C 6. D 7・B 8・B9. BC 10. ACD ]1・ ABD 12. BD13. 9 14. x2-4 15. >/37 16.4>/10---- 只5P（K T）0.050 0.0100.001 k 3.841 663510.828n(ad -hcY(a +b)(c + d)(a + c)(方4>d)（2）求平而A' BC与平而A' DE所成锐二而角的余弦值.17.【解】（1〉设等筮数列｛%｝的公差为因为毎+如严3刃+5・所以片严1：[a. + 2^ = 11 ・3©+加仝.3q * 5d = 11 ・解？* a、= 2 • d = l・所Ul。
2021年高三上学期期末教学质量监测数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期期末教学质量监测数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥22．若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则的最小值为（）A．4 B．2 C．8 D．166，b=1+，c=则a，b，c的大小关系为（）4．已知a=log3A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b5．执行下面的程序框图，则输出的k值为（）A．﹣1 B．4 C． D．6．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，数列{a n a n+1}是公比为2的等比数列，则S10=（）A．1364 B． C．118 D．1247．已知||=2，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=1时，z=ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9．球O与棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个面均相切，如图，用平平行于底面的平面截去长方体A2B2C2D2﹣A1B1C1D1，得到截面A2B2C2D2，且A2A=a，现随机向截面A2B2C2D2上撒一粒黄豆，则黄豆落在截面中的圆内的概率为（）A． B． C． D．10．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．6 C．2 D．311．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x，且f（2）=1，则不等式f（x）＜x2﹣1的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）12．如图，双曲线的中心在坐标原点O，M、N分别为双曲线虚轴的上、下端点，A是双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，直线AM与FN相交于点P，若∠APF是锐角，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1+，+∞）C．（0，）D．（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算sin=．14．已知函数f（x）=﹣log2x的零点在区间（n，n+1）（n∈N）内，则n的值为．15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=4，a7﹣a4=6，则数列{}的前n项和S n=．16．我国唐代诗人王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”，这里明月和清泉，都是自然景物，没有变，形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变，其余各词均如此．变化中的不变性质，在文学和数学中都广泛存在．比如我们利用几何画板软件作出抛物线C：x2=y的图象（如图），过交点F作直线l交C于A、B 两点，过A、B分别作C的切线，两切线交于点P，过点P作x轴的垂线交C于点N，拖动点B在C上运动，会发现是一个定值，该定值是．三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=2cosx•cos（x﹣）﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，c=2，且△ABC的面积为2，求△ABC的周长．18．（12分）近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：年龄价格5000元及以上3000元﹣4999元1000元﹣2999元1000元以下45岁及以下122866445岁以上3174624（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从样本手机价格在5000元及以上的人群中选择5人调查他的收入状况，再从这5人中选3人，求3人的年龄都在45岁及以下的概率．附K2=P（K2≥k）0.050.0250.0100.001k 3.841 5.024 6.63510.82819．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；（Ⅱ）求三棱锥S﹣BDM的体积．20．（12分）若F1，F2是椭圆C： +=1（0＜m＜9）的两个焦点，圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，）的直线l与椭圆C交于两点A、B，以AB为直径的圆经过点（0，﹣），求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．选修题【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： +=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6．（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．【选修4-5：不等式选讲】23．（10分）已知函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证： ++≥1．廊坊市xx年高三年级教学质量监测数学文科答案1～12.CDCDC DBABB DA13. 14. 2 15.16. 117．解：（Ⅰ）由题意知…………………2分…………………4分所以…………………5分（2）由即. …………………7分又因为的面积为, ………9分由余弦定理得：所以………11分所以的周长为（其他解法酌情给分）…………………12分18.解：（Ⅰ）完成列联表如下：年龄价格3000元及以上3000以下合计45岁及以下40 70 11045岁以上20 70 90合计60 140 200…………………3分由表可知………………5分所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，不能认为人们使用手机的价格和年龄有关。
江苏省南通市海安市2021届高三上学期期末学业质量监测数学试题
南通市海安市2020~2021学年度第一学期末学业质量监测高三数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共6页，共150分.考试时间120分钟.考试结束后，只要将答题纸交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B 铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写.3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.4. 所有试题的答案全部在答题纸（卡）上作答.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合102x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}2,1,0,1B =--，则A B =（ ） A. {}1,1-B. {}2,1,0--C. {}1,0,1-D. {}2,1,0,1-- 2. 若复数z 满足112z i i -+=-，其中i 为虚数单位，则z 对应的点(),x y 满足方程（ ）A. ()()22115x y -+-=B. ()()22115x y -++= C. ()()22115x y ++-= D. ()()22115x y +++= 3. 圭表（圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆）是中国古代用来确定节令的仪器，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时，太阳光线与地面所成角分别为α，β，表影长之差为l ，那么表高为（ ）A. (tan tan )tan tan I αβαβ-B. tan tan tan tan l αβαβ-C. (tan tan )tan tan l βαβα-D. tan tan tan tan l βαβα- 4. 已知0.20.3a =，0.30.2b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. c a b <<5. 若ABC △的内角A ，B ，C 依次成等差数列，则函数()sin 22sin()cos f x x x B x =-+的图象的一条对称轴方程为（ ） A. 512x π= B. 3x π= C. 6x π= D. 12x π=6. 某校学生到学校农场参加劳动实践，在剥黄豆、翻土、喷农药、捉鱼、喂马5个劳动项目中自主选择3个参加.已知某班41名学生中选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合的人数最多，那么选该项目组合的人数至少是（ ）A. 4B. 5C. 9D. 107. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时检测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足：()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，0X 为DNA 的初始数量.已知某被测标本DNA 扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率p 约为（ ）（参考数据：0.2101.585≈，0.2100.631-≈） A. 0.369 B. 0.415C. 0.585D. 0.6318. 设函数2sin 2()121x a x f x b x =-+++（a ，b 为常数，且a R ∈，b Z ∈），则()1f ，()1f -的值不可能．．．是（ ） A. -3，0 B. 2，8 C. 1，-5D.，2二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的通项公式为2n n a =，*,i j N ∀∈，下列仍是数列{}n a 中的项的是（ ） A. i j i a a ++ B. i j i a a +- C. i j i a a +⋅ D. i ji a a +10. 在棱长为2的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，DA 的中点，则（ ）A. //AC 平面EFGB. 过点E ，F ，G 的截面的面积为12C. AD 与BCD. CD 与平面GBC 所成角的大小小于．．二面角G BC D --的大小 11. 嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（ ）A. 圆形轨道的周长为()2km vt πB. 月球半径为km 2vt n π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D. 椭圆轨道的离心率为m n m n-+ 12. 设随机变量X 表示从1到n 这n 个整数中随机抽取的一个整数，Y 表示从1到X 这X 个整数中随机抽取的一个整数，则（ ）A. 当3n =时，()12,13P X Y ===B. 当4n =时，()5424P X Y +== C. 当n k =（2k ≥且*k N ∈）时，()21,1P X k Y k ===D. 当2n =时，Y 的数学期望为54三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量a ，b 的夹角为120︒，ka b +与2a b -垂直，则实数k =________.14. 已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .15. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>及其渐近线在第一象限的交点分别为P ，A ，抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合，AF x ⊥轴，则b a=________；若PF =p =________. 16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出一个同时满足条件①②的等差数列{}n a 的通项公式n a =________.①n S 存在最小值且最小值不等于．．．1a ；②不存在．．．正整数k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++<. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 4a C c A +=.（1）求b ；（2）若2a =，3sin 4sin B C =，求ABC △的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，35a =，636S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n b 为2log k 在区间(]()*0,m a m N ∈中正整数k 的个数，求数列{}m b 的前m 项和.19. 如图，在四棱锥A BCDE -中，//BC DE ，22BC DE ==，BC CD ⊥，F 为AB 的中点，BC EF ⊥.（1）求证：AC BC ⊥；（2）若AD CD =，2AC =，求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值的最大值.20. 2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离1ξ服从()6.9,0.25N ，女生投掷实心球的距离2ξ服从()6.2,0.16N （1ξ，2ξ的单位：米）.（1）请你通过计算，说明该方案是否需要调整；（2）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练.以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同.问：女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使达标率不低于99%.2.15=；②若()~ 6.516,0.16X N ，则()6.8320.785P X ≤=.21. 已知函数()ln f x a x x =-，a R ∈.（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的最大值；（2）若函数2()()F x f x x =+存在两个极值点1x ，2x .①求a 的取值范围；②设曲线()y F x =在x =()y G x =.当0x >时，试比较()F x 与()G x 的大小，并说明理由. 22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M 为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMB AMNS S △△为定值.。
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江苏省海安市2021届高三数学上学期教学质量调研试题（一）
一、选择题：(共8小题，每题5分，共40分)
1.i 为虚数单位，512i i
+，则的共轭复数为 A.2－i B.2＋i C.－ 2－i D.－ 2＋ i 2.函数f(x)＝lnx －2x
＋1的零点所在的大致区间是 A.(2，e) B.(1，2) C.( e ，3) D.(3，＋∞) 3.已知集合A ＝{x|lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于
A.(2，12)
B.(－l ，3)
C.(－l ，12)
D.(2，3)
4.指数函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在上是减函数，则函数2
2()a g x x -=在其定义域上的单调性为
A.单调递增
B.单调递减
C.在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减
D.在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增
5.已知函数f(x)＝22,0ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是
A.(－∞，0]
B.(－∞，1]
C.[－2，1]
D.[－2，0]
6.设函数f(x)＝xln ，则函数的图像可能为
7.对于给定的复数z ，若满足|z －4i|＝42的复数对应的点的轨迹是椭圆，则|z －1|的取值范围是
17－21717－117＋1]
3－233－131]
8.平面向量a ＝(2，1)，|b|＝2，a ·b ＝4，则向量a ，b 夹角的余弦值为
25 B.45515
二、多项选择题(共4小题，每题5分，选对不全得3分)
9.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有
A.y
＝xcosx B.y＝e x＋x2 C.lg22
x- D.y＝xsinx
10.给出四个选项能推出11
a b
<的有
A.b>0>a
B.0>a>b
C.a>0>b
D.a>b>0
11.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是
A.EF与BB1垂直
B.EF⊥平面BDD1B1
C.EF与C1D所成的角为45°
D.EF∥平面A1B1C1D1
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝e x(x＋1)，则下列命题正确的是
A.当x>0时，f(x)＝－e x (x－1)
B.函数f(x)有3个零点
C.f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
D.∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2
三、填空题：(共4小题，每题5分，计20分)
13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为。
14.函数y＝－e x－mx在区间(0，3]上有两个零点，则m的取值范围是。
15.已知函数f(x)＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函数F(x)＝
()()()
()()()
f x f x
g x
g x f x g x
≥
⎧⎪
⎨
⎪⎩
，
，＜
，有三个
零点，则实数a的取值范围是。
16.在△ABC中，若tanA tanA
+
tanB tanC
＝3，则sinA的最大值为。
四、计算题：
17.已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1
－x 2|＝2。
(I)求f(x)的解析式；
(I)若x>0，求g(x)＝()
x f x 的最大值。
18.已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x>0时，
f(x)＝37,02|5|1,2
x x x x ⎧-<≤⎨-->⎩()()g x f x a =-。
(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和。
当－1<a<1时，求h(a)的取值范围。
19.有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元。
现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；
(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (i)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
(ii)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由。
20.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA ＝FC ，且∠DAB ＝∠DBF ＝60°。
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值。