三向应力状态简介

1 式中：
E 1 体积弹性模量 K 3 (12 2 ) 2 （ 3 1 ） E 1 2 3 m 1 3 3 （ 1 2 ） 3 E 当 05 . 时， 0
1 1引起的应变为 1 E 2 、 3 引起的应变为
2 1 E 3 1 E 当三个主应力同时作用时： 1 1 1 （ 2 3 ） E
2
1 3
CL10TU30
广义胡克定律：
1 （ ） 1 1 2 3 E 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E


3(1 2 ) 2 1 2 2 m ( 1 2 3 ) uv 2E 6E
u f u uv
12 2 2 2 m ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
2
单位体积的体积改变为:
V1 V0 1 2 3 V0
b
3 a
c
1
也称为体积应变。
CL10TU30
1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E 3(1 2 ) 1 2 3 m 3 K E 1
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。 σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
2
3 1 3 1 1 3
2
3
2

3
2
1
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
对于二向应力状态：
1 1 ( 1 2 ) E 1 2 ( 2 1 ) E
2
1
3

E
( 1 2 )
CL10TU30
下面考虑体积变化：
V0 a b c V1 a(1 1 ) b(1 2 ) c(1 3 ) a b c (1 1 2 3 )
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa 3 50MPa max 1 3
2 50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
120 40 2 2
1 E 1 （ 2 3 ） 1 2 2 （ 3 1 ） E 1 3 3 （ 1 2 ） E


2
1 3
m
m m
2 m
1 m
3 m

3
2
1
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。

3
2
1
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1 min 3 1 3 max
2
1 3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45° 角的平面上，以τ1，3表示
1
130 120 40 2 MPa 30 2 30
2
3 30MPa 30MPa
max 1 3
2 80MPa
§10-5 广义胡克定律
纵向应变： E


横向应变：


E
CL10TU35
下面计算沿 1方向的应变：
2
3 1
1 3
2

Leabharlann Baidu3
2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2
3 1
1 3
2

3
2
1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。

变形比能： 1 u 2

2

1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 3
变形比能： 1 1 1 u 1 1 2 2 3 3 2 2 2
1 2 2 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E 1
CL10TU31
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力
（应力单位为MPa）。
CL10TU32
解：
1
52 . 2 30 20 30 20 2 MPa 40 2 2 3 42.2
2
2 50MPa 50MPa
max 1 3
2 47.2MPa
E
1
（ 2 3 ）
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
拉压变形能：
1 1 Pl P l U P l P 2 2 EA 2 EA
2
P P
l l
变形比能：
U P l 1 u V 2 EA Al 2 E 2
2 2



CL10TU40
m
1 2 3
3
3 ( 1 2 ) 1 2 3 m 变形比能 = 体积改变比能 + 形状改变比能 E 3 K u = u + u
v
f CL10TU41
1 2 2 u 1 2 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E