大一高数课件第一章 1-2-1

第二节
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初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数、初等函数 三、双曲函数与反双曲函数 四、小结
一、基本初等函数
1、幂函数
y x ( 是常数)
y
y x2
1
(1,wenku.baidu.com)
y x
y x
o
1 y x
1
x
2、指数函数
ya (a 0, a 1)
x
1 x y( ) a
y ax
(1)
( 2)
y f (u) u,
y f ( u) ln u,
u g( x ) x x 2
u g( x ) sin x 1
思考题解答
(1)
y f [ g( x )]
x x
2
1 x D { x | 0 x 1}, f ( D ) [0, ] 2 ( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
练习题答案
一、1、基本初等函数； 2、[e , e 3 ]； x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ], 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2
g ( x )的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
练 习 题
一、填空题: 1、幂函数，指数函数， 对数函数，三角函数和
反三角函数统称_________. 2、函数 f ( x ) 的定义域为[ 1 ， ] ，则函数 f (ln x ) 3 的定义域为__________.
3、由函数 y e u，u x 2 复合而成的函数为______ .
统称为基本初等函数.
二、复合函数 1、复合函数
定义:
设函数 y
初等函数
2
设 y u, u 1 x ,
y 1 x
2
f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x ) f [( x )]为 x 的
的值域为 Z , 若 Z D f , 则称函数 y 复合函数.
4、函数 y sin ln 2 x 由 __________ 复合而成 .
5、若 f ( x ) 的定义域为[ 0 ， ] ，则 f（x 2 1 ）的定义域 为__________ ，f (sin x ) 的定义域为__________ ， f ( x a )(a 0) 的定义域为__________ _， f ( x a ) f ( x a ) (a 0) 的定义域为_________ .
y cos x
sin x 正切函数 y tan x cos x
y tan x
余切函数 y cot x
cos x sin x
y cot x
正割函数 y sec x
1 cos x
y sec x
余割函数 y csc x 1 sin x
y csc x
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 千克以下不计费， 20 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.
x 自变量,
u 中间变量,
y 因变量,
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsinu,
u 2 x ;
2
y arcsin( 2 x )
2
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
ye
x

(0,1)
(a 1)
e 2.71828
3、对数函数
y log a x ( a 0, a 1)

(1,0)
y log a x
(a 1)
y ln x
y log 1 x
a
4、三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
2、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次 的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初 等函数.
三、双曲函数与反双曲函数
1、双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 D : ( , ), 奇函数.
e x e x 双曲余弦 chx 2
y chx
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arc cot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数
1 x y e 2 1 x y e 2
y shx
D : ( , ), 偶函数.
shx e x e x 双曲正切 thx x chx e e x D : ( , ) 奇函数, 有界函数,
思考题 下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )]，若 能，写出其解析式、定义域、值域．
三、
1, x 0 ； f [ g( x )] 0, x 0 1, x 0
e , x 1 g[ f ( x )] 1, x 1 1 , x 1 e
x 20 0 y 0.2 x ,20 x 50 四、 10 0.3( x 50), x 50 .