二次函数与二次不等式的关系

_X_<_-_2_;_X_>_4_;
y
3）不等式ax2+bx+c<2的解集是
__-_2_<_X_<_4__;
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二 次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
-3
是_ X<-1或x>_4_
-4
-5
⊿=b2-4ac
y=ax2+bx+c （a>0）图像
⊿>0
y
⊿＝0
y
⊿＜ y0
X1 0 X2 x
O X1= X2 x O
x x
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
x1 ,x2
x1 =x2 没有实数根 ＝－b/2a
y
y x2 4x 4
③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0;
y
O2
x
②-x2+x-2>0;
0
X
③-x2+x-2<0.
y x2 x 2
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
1）方程ax2+bx+c=2的根是 _X_1_=_-_2_; _X_2_=_4;
2）不等式ax2+bx+c>2的解集是
与x轴有两个交点——相交。
2、 b2-4ac =0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、 b2-4ac ＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴没有公共点——相离。
作函数 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
回顾与练习
1. 求二次函数y＝x2＋4x－5与x轴的交点坐标？
结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（X1，0 ）， B（X2，0 ）
2. 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况
（1）y＝－2x2＋3x－9；
（2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常 数，a≠0）
• 当 x 取何值时，y＜0？
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
y
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x_=_4_
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3 2
是__-1<x<4__
ax2+bx+c>0 （a>0）解集
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数ห้องสมุดไป่ตู้
ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
<1>①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
<2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0;