基底接触压力与附加应力

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土力学

（2）土的非均质和非理想弹性的影响。土的各种结构构造使土呈现非均质性，且土体也不是理想的弹性体，而是一种具有弹塑性和粘滞性的介质。但实际工程中，土应力水平较低，土的应力－应变曲线关系呈线性关系。因此，当土层间的性质差异并不十分悬殊时，采用弹性理论计算土应力在实用上是允许的。
（3）地基土可视为半无限体。地基土在水平和深度方向上相对于建筑物基础的尺寸而言，可视为是无限延伸的，因此，地基土符合半无限体的假设。
pmax

2P 3Kb

3(L
2P 2 e)b
e>b/6: 出现拉应力区
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
例题：某矩形基础底面尺寸l=2.4m， b=1.6m，埋深2.0m，所受荷载设计值 m=100kN·m，F=450kN，其他条件见图。试求基底压力和基底附加压力。
z
3P
2

z3 R5
z

3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2

3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z

P z2
查表3.1
3.3.2 竖向分布荷载地基附加应力
若在半无限体表面作用一分布荷载p(x,y)，如图所示。计算土中某点M(x,y,z)的竖向应力σz。
在基底取微元面积dF=dξdη，则作用在dF上的集中力:
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa

第三章基底接触压力与附加应力

水不能承受剪应力，因此孔隙水压力对土体的抗剪强度没有任何贡献。
总结：
孔隙水压力对土体的变形和强
度没有直接影响，称为中性应力.
孔隙水压力的作用有效应力的作用讨论
会引起土颗粒移动，也会使土颗粒抵抗剪切、错动作用。
总结：
影响土体的强度和变形。
有效应力原理的讨论
17.2 17kN / m
3
H=50kN
0.8m
17.7 19kN / m3
1.2m
3.2m
地基中起建筑物沉降的主要原因
• 集中荷载作用下的附加应力基本解
• 矩形分布荷载作用下的附加应力
• 条形分布荷载作用下的附加应力 • 影响应力分布的因素
附加应力是引起土体压缩变形的主要外因
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：竖直向自重应力：地基中Z深度处的竖直向自重应力等于单位面积上Z深度范围内的土柱重量。
• 均质地基：
cz z
土体的自重应力
无地下水时自重应力的计算：
• 成层地基：
cz i zi m zi
A AS A w
P
sv
uA w
P A
sv

Aw u A
a
a
1 有效应力σ
'u
饱和土有效应力原理
有效应力原理的讨论
孔隙水压力的作用有效应力的作用讨论它在各个方向相等，使土颗粒本身受到等向压力，因此不会使土颗粒移动；由于颗粒本身不可压缩，故孔隙水压力也不会使土体产生压缩变形.
y
3dF z 3 3 p0 z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R

地基中应力的计算

地基中应力的计算考试内容：（大概方向）1．自重应力在地基土中的分布规律，均匀土、分层土和有地下水位时土中自重应力的计算方法。

2．基底接触压力的概念，基底附加压力的概念及计算方法。

3．基底附加压力的概念，基底附加压力在地基土中的分布规律。

应用角点法计算地基土中任意一点的竖向附加应力。

基地应力？自重应力？附加应力？这些概念书上都有不在叙述！中心荷载下的基底压力计算公式：A GF p +=式中 F—作用在基础上的竖向力设计值，kN，G—基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重，kN，G=AdGγ其中Gγ—为基础及回填土之平均重度，一般取20kN／m³，但在地下水位以下部分应扣去浮力为10kN／m³，d—为基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起，m；A—基底面积，m²，对矩形基础lbA=，l和b分别为矩形基底的长度和宽度。

对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则沿长度方向截取一单位长度的截条进行基底平均压力设计值P(kPa)的计算，此时式中A改为b(m)，而F及G 则为基础截条内的相应值(kN／m)。

剩余公式就不在重复，麻烦常见问题：1、常见问题简述影响土中应力分布的因素。

答案：（1）非线性材料的影响，土体实际是非线性材料的影响，对竖向应力计算值有影响；（2）成层地基的影响，天然土层的松密、软硬程度往往不相同，变形特性可能差别较大，如可压缩土层覆盖在刚性岩层上；（3）变形模量随深度增大的影响；（4）各向异性的影响，由于天然沉积土因沉积条件和应力状态不同，在水平方向和垂直方法的E就不同，土的各向异性也会影响土层中的附加应力分布。

2、常见问题“角点法”的含义？答案：利用矩形面积角点下的附加应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。

3、常见问题基底压力、基底附加压力的含义及它们之间的关系？答案：基底压力：基础底面传给地基表面的压力。

由于基底压力作用于基础与地基的接触面上故也称基底接触应力。

土的自重应力、基底压力和地基附加应力

arctan
lb
2 l2 z2 b2 z2 l2 b2 z2
z l 2 b2 z2
角点下的地基附加应力：
取 m=l/b,n=z/b（注意其中b为荷载面的短边宽度），令：
Kc
1
2
mn m2 2n2 1 m2 n2 12 n2 m2 n2
12
arctan n
剪应力：
xy
yx
3P
2
xyz
R5
1 2
3
xy(2R z)
R3
(
R
z
)2
yz
zy
3P
2
yz2 R5
3Py
2R3
cos2
xz
zx
3P
2
xz2 R5
3Px
2R3
cos2
x、y、z — 剪应力，其中前一脚标表示与它作用的微
面的法线方向平行的座标轴，后一脚标表示与它作用方向平行的座标轴；
解:
cz1 1h1 19 2.0 38kPa cz 2 1h1 1'h2
38 (19.4 10) 2.5 61.5kPa
cz3
1h1
1'h2
' 2
h3
61.5 (17.4 10) 4.5 96.6kPa
w 2 (h2 h3 ) 10 7.0 70.0kPa
• 在深基坑开挖中，需大量抽取地下水，以致地下水位大幅度下降，引起土的重度改变，从而造成地表大面积下沉的严重后果。 • 若地下水位长期上升，会引起地基承载力的减小、湿陷性土的陷塌现象等，必须引起注意。
【例4-1】
试计算下图所示土层的自重应力及作用在基岩顶面的土自重应力和静水压力之和，并绘制自重应力分布图。

地基中的应力

土的应力应变曲线
3.2 地基中自重应力
基本假定：地基是均质半无限空间弹性体。一、均质地基情况 1、竖向自重应力：
cz z
2、侧向自重应力和剪应力：
cx cy K0 cz xy yz zx 0
K0—土的侧压力系数（静止土压力系数） K0=μ/（1- μ）， μ—土的泊松比。
（一）布辛奈斯克（Boussinesq）解答
半空间任意点M（x、y、z）处的六个应力分量和三个位移分量：
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
4.4 地基中的附加应力
(二)等代荷载法
3P z 3P z z 5 2 2 2 R 2 r z 3 1 P 2 52 2 r z 2 1 z
2
2 - sin 1 K sxz p0
2
( K sz , K sx , K sxz 都是z/b和x/b的函数)
4.4 地基中的附加应力
M点的大小主应力 1 , 3 :
1方向与0的角平分线一致.
4.4 地基中的附加应力
[例题2-4] 某条形基础底面宽度b=1.4m,作用于基底的平均附加压力 p0=200kPa,要求确定(1) 均布条形荷载中点o下的地基附加应力z分布;(2) 深度z=1.4m和2.8m处水平面上的z分布;(3)在均布条形荷载边缘以外条形 z 矩形 1.4m处o1点下的z分布。 z
第三章
地基中的应力
3.1 概述 3.2 地基中自重应力
3.3 基础底面接触压力 3.4 地基中的附加应力
3.1 概述
地基变形的原因是由于土体具有可压缩性的内在因素和地基受到附加压力的作用的外在因素。为了计算地基沉降以及对地基进行强度与稳定性分析,必须知道土中应力分布。土中应力包括土的自

土力学-第三章-土中应力计算详解

基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体地基土在深度和水平方向都是无限的
地表临空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向自重应力。由于土柱体在重力作用下无侧向变形和剪切变形，因此可以证明侧向自重应力与竖向自重应力成正比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n

均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构

土力学-知识单元三(土中应力计算)

土体的自重应力
仁者乐山智者乐水
1、均质土的自重应力 • 土体中任意深度处的竖向自重应力
天然地面
利用土柱竖向受力的平衡
cz
注意：无剪应力
cz
cx
cz z
σcz= z
z
cy
1
1
z
仁者乐山智者乐水
•水平向自重应力
天然地面
cz
z
cx
cz z
cx cy K0 cz
基底压力的影响因素
基底压力计算
仁者乐山智者乐水
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0
基础变形能完全适应地基表面的变形基础上下压力分布必须完全相同，若不同将会产生弯矩
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0
基础只能保持平面下沉不能弯曲分布: 中间小, 两端无穷大
《土力学》之知识单元三
土体中的应力计算
徐亚利
皖西学院建工学院
强度问题变形问题
应力状态及应力应变关系
建筑物修建以前，地基中由土体本身重量所产生的应力
建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力增量
自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理
土体中的应力计算
知识单元三：土体中的应力计算
知识点一、自重应力、基底压力、基底附加应力知识点二、地基附加应力
静止侧压力系数
cy
仁者乐山智者乐水
例题1：均质土层没有水位的情况
天然地面
18.5kN / m3
B
h=5m 求B点的自重应力
仁者乐山智者乐水

应力计算

§4.3 地基中附加应力的计算一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z

3P 2
z3 R5
zy

3P 2
yz 2 R5
zx
Ph
分解为竖直向和水平向荷载，水平荷载引起的基底水平应力视为均匀分布。
根据上述概念，基底平均附加压力p0 可按下式计算
p0 p cd p md （1-19）
式中 p—基底平均压力，kPa；
cd—基底处土中自重应力，kPa； m—基底标高以上天然土层的加权平均重
度，kN/m3； d—从天然地面算起的基础埋深，m。

P A
1
6e B
pmin

P 1 A
6e B
pmax
min

P A
1
6e B

P
矩形面积单向偏心荷载
P
P
土不能承受拉应力
B
B
e
e
x
Lx
L
y
y
pmax
pmin 0 pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
B
压力调整
Ke
基底
x
L
压力
K=B/2-e
合力
与总
3K y pmin 0
荷载相等
pmax
2P
2P
pmax 3KL 3(B 2 e)L
e>B/6: 出现拉应力区
条形基础竖直偏心荷载
e P
B
p(x) P Mx BI
pmax
min

P 1 B

3下土的压缩性与地基沉降计算例题

7448
0.9
s
(mm)
54.7 55.6
根据计算表所示△z=0.6m, △sn =0.9mm ＜0.025Σ si =1.39mm
6.沉降修正系数 s
满足规范要求
根据Es =6.0MPa，当fak=p0 ，查表得到ys =1.1
7.基础最终沉降量
s= ys s =61.2mm
24
【例9】已知某工程为饱和粘土层，厚度为8.0m，顶部为薄砂层
2.计算地基土的自重应力自重应力从天然地面起算，z的取值从基底面起算
3.4m d=1m
b=4m
z(m) 0 1.2 2.4 4.0 5.6 7.2
σc(kPa) 16 35.2 54.4 65.9 77.4 89.0
3.计算基底压力
4.计算基底附加压力
G G Ad 320 kN p0 p d 94kPa
p=P/(l×b)+ γm d=1440/(4×4)+20×1＝110.0kPa
（4）基底附加应力
p0=p-γd=110-16 ×1＝94kPa
2
（5）计算地基中的附加应力并绘分布曲线见图 (a)。该基础为矩形，属空间问题，故应用“角点法”求解。为此，通过中心点将基底划分为四块相等的计算面积，每块的长度 l1=2m，宽度b1=2m。中心点正好在四块计算面积的公共角点上，该点下任意深度zi处的附加应力为任一分块在该点引起的附加应力的4倍。计算结果如下表所示。
（题目同例5、例6）
15
解：（1）地基受压层计算深度Zn，按下式计算：
Zn b(2.5 0.4 ln b) 4 (2.5 0.4 ln 4) 7.8m
（2）柱基中点沉降量s，按下式计算：

4土中应力(自重-地基附加应力)解析

F
实际情况
F
基底附加压力在数值上等于基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应力
d
p0
p
0
d
基底附加压力
p0 p 0 d
自重应力
基底压力呈梯形分布时，基底附加压力
p0 m a x p0 m in
pm a x pm in
0d
注意
❖因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ❖ 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
若基础底面的形状或分布荷载都是有规律时，用积分法。
dA dd dF p(x, y)dd
（ 3 ）圆形面积上作用均布荷载时，土中附加应力的计算
z r p0
r f (z / r0 )
additional stress induced by uniform circular load
条形均布荷载下地基中的应力分布规律
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
xy
x
o
∞
y yz
x
∞
y z
∞
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正顺时针为正压为负逆时针为负
压为正逆时针为正拉为负顺时针为负
e>l/6
e=l/6
pmin=0
基底ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力重分布

土中基底应力与附加应力计算[详细]

土中应力计算1 土中自重应力地基中的应力分:自重应力——地基中的自重应力是指由土体本身的有效重力产生的应力.附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的应力,在附加应力的作用下,地基土将产生压缩变形,引起基础沉降.计算土中应力时所用的假定条件:假定地基土为连续、匀质、各向同性的半无限弹性体、按弹性理论计算.地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外,在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力.由于沿任一水平面上均匀地无限分布,所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形,而不能有侧向变形和剪切变形.3.1.1均质土的自重应力a 、假定:在计算土中自重应力时,假设天然地面是一个无限大的水平面,因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在.可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算.b 、均质土层Z 深度处单位面积上的自重应力为:应力图形为直线形.z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加;沿水平面则为均匀分布.必须指出,只有通过土粒接触点传递的粒间应力,才能使土粒彼此挤紧,从而引起土体的变形,而且粒间应力又是影响土体强度的 —个重要因素,所以粒间应力又称为有效应力.因此,土中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引起的应力.土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力.并用符号σcz 表示 .3.1.2成层土的自重应力地基土往往是成层的 ,成层土自重应力的计算公式:∑==n i i i cz z 1γσ结论:土的自重应力随深度Z ↑而↑.其应力图形为折线形.自然界中的天然土层,一般形成至今已有很长的地质年代,它在自重作用下的变形早巳稳定.但对于近期沉积或堆积的土层,应考虑它在自重应力作用下的变形.此外,地下水位的升降会引起土中自重应力的变化(图2—4).3.1.31、地下水对自重应力的影响地下水位以下的土,受到水的浮力作用,使土的重度减轻.计算时采用水下土的重度(w sat γγγ-=')2、不透水层的影响不透水层指基岩层只含强结合水的坚硬粘土层作用在不透水层层面及层面以下的土自重应力应等于上覆土和水的总重.3、水平向自重应力地地中除了存在作用于水平面上的坚向自重应力外,还存在作用于坚直面上的水平自重应力,根据弹性力学和土体的侧限条件,可得:σcx=σcy=K oσczKo:土的侧压力系数4、地下水位升降引起的自重应力变化:地下水位下降自重应力增大,因没有水的浮力,地下水位上升自重应力减小 .[例题2—7] 某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于例图2·1中.试计算地面下深度为2.5米、5米和9米处的自重应力,并绘出分布图.[解] 本例天然地面下第一层粉土厚6米,其中地下水位以上和以下的厚度分别为3.6米和2.4米,第二层为粉质粘土层.依次计算2.5米、3.6米、5米、6米、9米各深度处的土中竖向自重应力,计算过程及自重应力分布图一并列于例图2—1中.2 基底压力建筑物荷载通过基础传递给地基,在基础底面与地基之间便产生了接触应力.它既是基础作用于地基的基底压力,同时又是地基反用于基础的基底反力.对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等,其基底压力可近似地按直线分布的图形计算,即按下述材料力学公式进行简化计算.1．基底压力的概念:在基础与地基之间接触面上作用着建筑物荷载通过基础传来的压力称为基底压力.(方向向下)↓单位面积土体所受到的压力称为基底压力.2．地基反力:地基对基础的反作用力(方向向上)↑3．基底压力的分布形态和哪些因素有关？基础的刚度、地基土的性质、基础埋深、荷载大小 .4．基底压力的分布形态:1)柔性基础地基反力分布与上部荷载分布基本相同,而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小.图3-2 柔性基础基底压力分布2)刚性基础在外荷载作用下,基础底面基本保持平面,即基础各点的沉降几乎是相同的,但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况.刚性基础在中心荷载作用下,开始的地基反力呈马鞍形分布;荷载较大时,边缘地基土产生塑性变形,边缘地基反力不再增加,使地基反力重新分布而呈抛物线分布,若外荷载继续增大,则地基反力会继续发展呈钟形分布图3-3 刚性基础基底压力分布图马鞍形—一般建筑物基础属此形态,近似“直线形”抛物线形钟形3.2.2基底压力的简化计算1、中心荷载作用下的基底压力中心荷载下的基础,其所受荷载的合力通过基底形心.基底压力假定为均匀分布(图2—5),此时基底平均压力设计值按下式计算:式中:F:上部结构传至基础顶面的坚向力设计值,kN;G:基础自重设计值及其上回填土重标准值,kN;r G :基础及因填土的平均重度,一般取20kN/米3,在地下水位以下部分用有效重度; d:基础埋深,必须从设计地面或室内外平均设计地面起算,米;A:基础底面面积,米2.如基础长度大于宽度5倍时,可将基础视为条形基础进行计算.即可沿长度方向取1米计算.2、偏心荷载下的基底压力对于单向偏心荷载下的矩形基础如图2·6所示.设计时,通常基底长边方向取与偏心方向一致,此时两短边边缘最大压力设计值与最小压力设计值按材料力学短柱偏心受压公式计算:F G p A +=AdG G γ=min maxp p WM lb G F ±+米:作用于基础底面的力矩设计,kN.米;W:基础底面的抵抗矩,米3,对于矩形截面W=bL 2/6;P 米ax 、p 米in:分别为基础底面边缘的最大、最小压力设计值.将e=米/(F+G)、A=bl 、W=bl 2/6代入上式,得:a 当e<L/6时,基底压力呈梯形分布;b 当e=L/6时,基底压力呈三角形分布;c 当e>L/6时,p 米in<0,则:p 米ax=2(F+G)/3ab式中:a:单向偏心坚向荷载作用点至基底最大压力边缘的距离,米,a=L/2-e.b:基础底面宽度.3.2.3基底附加压力建筑物建造前,土中早巳存在着自重应力.如果基础砌置在天然地面上,那末全部基底压力就是新增加于地基表面的基底附加压力.一般天然土层在自重作用下的变形早巳结束,因此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形.实际上,一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处,该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除.因此,由建筑物建造后的基底压力中扣除基底标高处原有的土中自重应力后,才是基底平面处新增加于地基的基底附加压力,基底平均附加压力值按下式计算(图2—8): 61F G e lb l +⎛⎫=± ⎪⎝⎭P o=基底压力P —土的自重应力σcz即P o=P-σcz —引起地基的变形(即基础的沉降)p0=p-r0dp0:基底附加压力设计值,kPa;p:基底压力设计值,kPa;r0:基底标高以上各天然土层的加权平均重度.其中地下水位以下部分取有效重度,kN/米3;d:从天然地面起算的基础埋深,米.有了基底附加压力,即可把它作为作用在弹性半空间表面上的局部荷载,由此根据弹性力学求算地基中的附加应力.3 地基附加应力地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力.其计算方法一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体,而且在深度和水平方向上都是无限延伸的 ,即把地基看成是均质的线性变形半空间,这样就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答.计算地基附加应力时,都把基底压力看成是柔性荷载,而不考虑基础刚度的影响. 3.3.1 集中力作用下土中应力计算1、单个竖向集中力作用在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力F时,半无限体内任意点米的应力(不考虑弹225223)(23z Fz r Fz Z απσ=+=[]2521)/(123+=z r πα性体的体积力)可由布辛克斯纳解计算,如图3-5所示.工程中常用的竖向正应力s z 及地表上距集中力为R 处的竖向位移w (沉降)可表示成如下形式:图3-5 竖向集中力作用下的附加应力E －土的弹性模量;μ －泊松比. 工程上对上述应力公式加以改造为: ( α称为集中力作用下的地基竖向力系数,可由表查得)2、多个集中力及不规则分布荷载作用θππσ353cos 2323R F R Fz Z ==()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=R R z E F w 1)1(12132μπμθcos 222z z y x R =++=oc z p ασ=3.3.2 分布荷载下地基附加应力对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算,通常可采用如下方法处理:当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时,可以把分布荷载分割为许多集中力,然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力.当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时,则可以通过积分求解得相应的土中应力.如图3-6所示,在半无限土体表面作用一分布荷载p (x ,y ),为了计算土中某点米(x ,y ,z )的竖向正应力σz 值,可以在基底范围内取单元面积d F =d ξd η,作用在单元面积上的分布荷载可以用集中力d Q 表示,d Q =p (x ,y ) d ξd η.这时土中米点的竖向正应力σz 值可用下式在基底面积范围内积分求得,即:图3-6(右图)分布荷载作用下土中应力计算1、空间问题的附加应力计算常见的空间问题有:均布矩形荷载、三角形分布的矩形荷载及均布的圆形荷载.(1) 均布矩形荷载图3-7(右图)矩形面积均布荷载作用下土中应力计算① 矩形面积角点下土中竖向应力计算在图3-7所示均布荷载作用下,计算矩形面积角点c 下深度z 处N 点的竖向应力s z 时,同样可其将表示成如[]⎰⎰⎰+-+-==A A z z z y x d d y x p z d 252223)()(),(23ηξηξπσσpz d d z o l l bb z αηξξηπσ=++=⎰⎰--222252223)(23⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222320412arctan 41)4)(41()81(22m n m nm n m n m m n mn a π下形式:角点应力系数:在矩形面积上作用均布荷载时,若要求计算非角点下的土中竖向应力,可先将矩形面积按计算点位置分成若干小矩形,如图3-8所示.在计算出小矩形面积角点下土中竖向应力后,再采用叠加原理求出计算点的竖向应力s z 值.这种计算方法一般称为角点法.图3-8 角点法计算土中任意点的竖向应力② 矩形面积中点O 下土中竖向应力计算图3-7表示在地基表面作用一分布于矩形面积(l ×b )上的均布荷载p ,计算矩形面积中点下深度z 处米点的竖向应力s z 值.式中n =l /b 和米=z /b .⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++++++=2222222222222arctan ))(()2(21z b l z lbz b l z b z l z b l lbz a c π⎰⎰=++=l o boz p z y x dxdy b xpz 011252223)(23απσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=222222231)(21b l zz b l z b z b a t π⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰⎰23202000202522301111)(23r z p z r drd rz p z ππθσ(2) 矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算图3-9(右图) 矩形面积三角形荷载作用下土中应力计算当地基表面作用矩形面积(l ×b )三角形分布荷载时,为计算荷载为零的角点下的竖向应力值,可将坐标原点取在荷载为零的角点上,相应的竖向应力值σz 可用下式计算:(3) 圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的计算为了计算圆形面积上作用均布荷载p 时土中任一点米(r,z )的竖向正应力,可采用原点设在圆心O 的极坐标(如图3-10),由以下公式在圆面积范围内积分求得.图3-10(右图) 圆形面积均布荷载作用下土中应力计算2、平面问题的附加应力设在地基表面上作用有无限长的条形荷载,且荷载沿宽度可按任何形式分布,但沿长度方向则不变,此时地基中产生的应力状态属于平面问题.在工程建筑中,当然没有无限长的受荷面积,不过,当荷载面积的长宽比l/b≥10时,计算的地基附加应力值与按L/b=∝时的解相比误差甚少.因此,对于条形基础,如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等,常可按平面问题考虑.(1)线荷载(2)均布条形分布荷载下土中应力计算:条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题,对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理.图3-11(右图)均布条形荷载作用下的土中应力计算米(x,y)点的三个附加应力分量为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpozπσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---++-=22222216)144()144(4221arctan221arctanmmnmnmmnmnpoxπσ等值线图3.3.3 非均质和各项异性地基中的附加应力在柔性荷载作用下,将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关.但是,地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成,其变形特性在竖直方向差异较大,应属于双层地基的应力分布问题. 1、双层地基对双层地基的应力分布问题,有两种情况值得研究:一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况;另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=2222216)144(32m m n nm p o xzπτ当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时(薄压缩层情况),即E 1＜E 2时,则土中附加应力分布将发生应力集中的现象.当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时(即硬壳层情况),即E 1＞E 2,则土中附加应力将发生扩散现象,如图3-12所示.在实际地基中,下卧刚性岩层将引起应力集中的现象,若岩层埋藏越浅,应力集中愈显著.在坚硬土层下存在软弱下卧层时,土中应力扩散的现象将随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著.因土的泊松比变化不大,其对应力集中和应力扩散现象的影响可忽略.图3-12 双层地基中界面上附加应力的分布规律双层地基中应力集中和扩散的概念有着重要工程意义,特别是在软土地区,表面有一层硬壳层,由于应力扩散作用,可以减少地基的沉降,故在设计中基础应尽量浅埋,并在施工中采取保护措施,以免浅层土的结构遭受破坏. 2、变形模量随深度增大的地基在地基中,土的变形模量E o 常随着地基深度增大而增大,这种现象在砂土中尤其显著.与均质地基相比,这种地基沿荷载中心线下,地基附加应力将产生应力集中. 可用以下半经验公式修正:v －为应力集中因素,对粘性、完全弹性体v ＝3;硬土v ＝6;砂土与粘土之间的土v ＝3～6.θπσvz RvF cos 22=3、各项异性地基天然沉积形成的水平薄交互层地基,其水平向变形模量E oh 大于竖向变形模量E ov假定地基竖直和水平方向的泊松比相同,但变形模量不同条件下,均布线荷载下各项异性地基的附加应力为:z σ －线荷载作用下,均质地基的附加应力.当非均质地基的 E oh >E ov 时,地基中出现应力扩散现象;当E oh <E ov 时,出现应力集中现象.3.4 有效应力原理1、土中二种应力试验在直径和高度完全相同的甲、乙两个量筒底部,放置一层松散砂土,其质量与密度完全一样.在甲量筒中放置若干钢球,使松砂承受σ的压力;在乙量筒中小心缓慢地注水,在砂面以上高度h 正好使砂层表面也增加σ的压力.结论:甲、乙两个量筒中的松砂顶面都作用了相同的压力σ,但产生两种不同的效果,反映土体中存在两种不同性质的力:(1)由钢球施加的应力,通过砂土的骨架传递的应力(有效应力σ’),能使土层发生压缩变形,从而使土的强度发生变化;(2)由水施加的应力通过孔隙水来传递(孔隙水压力u),不能使土层发生压缩变形.ovoh zz E E /σσ='AA W=χ现象:甲中砂面下降,砂土发生压缩.乙中砂面并不下降,砂土未发生压缩. 总应力:在土中某点截取一水平截面,其面积为A,截面上作用应力 σ,它是由上面的土体的重力、静水压力及外荷载P 所产生的应力,称为总应力.有效应力:总应力的一部分是由土颗粒间的接触承担的称为有效应力. 饱和土有效应力公式:u +'=σσσ' －有效应力;σ －总应力;u －孔隙水压力.公式表明总应力为有效应力与孔隙水压力之和. 部分饱和土有效应力公式:()w a a u u u -+-='χσσa u －气体压力; w u －孔隙水压力.χ －由试验确定的参数, .3.4.1 毛细水上升时土中有效自重应力的计算图3-13 毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力在毛细水上升区,由于表面张力的作用使孔隙水压力为负值.使有效应力增加,在地下水位以下,由于水对土颗粒的浮力作用,使土的有效应力减少.3.4.2 土中水渗流时(一维渗流)有效应力计算(a)静水时(b)水自上向下渗流(c)水自下向上渗流图3-14 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力分布当土中水渗流时,水对土颗粒有着动水力,必然影响土中有效应力的分布.表3-1 土中水渗流时总应力、孔隙水压力及有效应力的计算。

土力学课程讲解第4章

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土木系
29
P 解：（1） σ Z = α ⋅ 2 Z
z=2, r=0，1，2，3，4m，α 查表可知，求σz后绘出图（2）同理，r=0, z=0，1， 2，3，4m，求出σz后绘出图（3）反算
【例4－3】解答
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30
二、矩形面积受竖向均布荷载的地基附加应力
1 矩形均布荷载角点下的应力积分法求矩形荷载面角点下的地基附加应力。
一、基底压力
1 中心荷载作用下基底压力 2 偏心荷载作用下基底压力
二、基底附加应力
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16
二、基底附加压力
作用在基础底面的压力与基地处建前土自重应力之差。
p 0 = p − σ ch = p − γ m h
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17
二、基底附加压力
卸荷应力、变形：卸荷理论涉及岩土介质的本构关系、卸荷原理、卸荷过程，分析计算方法等，目前在理论上还很不完善，工程应用不广泛，只在大型工程中由大的科研机构承担一些探索性的研究。
（3）O点在荷载面边缘外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ＋αCⅢ﹣αCⅣ）po e Ⅳ o h Ⅱ a g d c abcd可看Ⅰ由（ofbg）与Ⅱ （ofah）之差和Ⅲ（oecg）与Ⅳ（oedh）之差合成
f
b 厦门大学土木系
34
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二、矩形面积受竖向均布荷载的地基附加应力
（4）O点在荷载面角点外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ﹣αCⅢ﹢αCⅣ）po e d c 荷载面由Ⅰ（ohce）,Ⅳ （ogaf）两个面积中扣除 Ⅱ（ohbf）和Ⅲ（ogde）
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第三章基底压力计算

它是引起土体变形和地基变形的主要原因（土中的自重应力一般不引起地基变形），也是导致土体强度破坏和失稳的重要原因。
13
基底压力中减去基底标高处原有土的自重应力，剩余部分才是建造建筑物后新增的应力，即基底附加应力。
建造建筑物之前： p1 =σcz
前
建造建筑物之后： p2 p
后
新增的应力： p0 p2 p1 p cz
3.当z一定时，即在同一水平面上，附加应力随着r的增大而减小。
21
（3）应力泡
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
将半空间内σz相同的点连接起来就得到σz的等值线，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。
离集中力作用点越远，附加应力越小。
集中力作用下σz的等值线
22
（4）叠加原理
地基中的附加应力—空间问题的解及其应用
0.5m 0.5m
D
I
P0=100KPa
CH
J
O
KF
A
1.0m
E
1.0m
B
0.5m
G
31
0.5m 0.5m
【解】
D
I
CH
J
O
KF
（1）求A点下1m深处地基附加应力σzA
A
1.0m
E
1.0m
A点是矩形面积ABCD的角点。根据l，b，z的值可得
B
0.5m
E
l／b=2／1=2 z／b=1／1=1
查表2-2得 c =0.1999，所以
n2
1 1 n2
c
p0
c = f(m, n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系数。c可从教材P91表3.5.2查得。
ml b nz b

基底压力与基底附加压力的计算

基底压力与基底附加压力的计算
上部结构建筑物设计基础地基
基础结构的外荷载
上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的
基底反力
基底压力附加应力
基底压力：基础底面传递给地基表面的压力，也称基底接触压力。
地基沉降变形
影响因素计算方法分布规律
一. 基底压力的影响因素
•大小、方向、分布
Nv
p max
min
N 6e 1 B B
分解为竖直向和水平向荷载，水平荷载引起的基底水平应力视为均匀分布。
思考：在倾斜荷载作用下，基底压力的分布形式是怎样的？
总结:
• 1、基底压力：是建筑物荷载通过基础传给地基的压力，也是地基作用于基础底面的反力。 • 2、影响基底压力分布特性的因素： • 基础刚度、平面形状、尺寸大小、埋置深度、上部荷载的分布、地基土特性
基底反力
基底压力附加应力
地基沉降变形
• 基底压力的分布规影响因素律主要是取决于上计算方法分布规律部结构、基础的刚度和地基的变形条暂不考虑上部结构的影件，是三者共同工响，使问题得以简化；作的结果。用荷载代替上部结构。
三. 实用简化计算
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
土不能承受拉力
p max
3K
pmin 0
1 3K p max B N 2
2N 3KB
压力调整
p max
p max
L K e 2
2N L 3 B ( e) 2

基底附加应力

基底附加应力地基中附加应力是指建筑物建造后，基底接触压力与基底处土自重应力之差，一般将其作为作用于弹性半空间表面上的局部荷载，并根据弹性理论来求算地基中的附加应力。

地基中的附加应力是使地基发生变形，引起建筑物沉降的主要原因。

1、简介地基附加应力是地基基础设计计算的重要内容，与建筑结构设计的安全可靠程度密切相关。

基底附加应力是指由于修建建筑物而在地基表面处增加的应力。

基底附加应力是引起土体压缩变形的主要外因。

基底附加应力计算方法是基于计算成果表的查表插值法，该方法计算量大且容易出现错误。

有限元分析方法兼有数值分析法与经典极限分析法两者的优点[1]。

插值法又称“内插法”，是利用函数f(x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值，这种方法称为插值法。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

2、特点及假定基底附加应力具有以下特点：在地面下同一深度的水平面上的附加应力不同，沿力的作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减小。

距地面愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直线上的附加应力不同，愈深则愈小。

计算地基附加应力，一般假定地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的，即把地基看成是均质的线性变形半空间，就可以直接采用弹性力学中关于弹性半空间的理论解答。

附加应力计算的假定有地基土是均质、各向同性的半无限空间线弹性体。

直接采用弹性力学理论解答。

基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的影响。

叠加原理建立在弹性理论基础之上，当地基表面同时作用有几个力时，可分别计算每一个力在地基中引起的附加应力，然后对每一个力在地基中引起的附加应力累加求出附加应力的总和。

3、建筑物沉降土在荷载作用下的体积缩小和形状改变。

它是土力学的研究内容。

土变形的性质和大小决定于荷载的性质和大小、加荷速率和作用持续时间，也决定于土的性质、初始固结情况和应力历史等因素。

3-5地基中的应力分布

P
o
x
r
y
z
x
zx
Rzy来自xyxM
y yz
z
（一）竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本解法国学者布辛尼斯克（Boussinesq）
x
3P
2
x2 z
R5
1 2
3
1
R
R
z
2R z x2 R z R5
z R3
y
3P
2
y2z R5
1 2
3
1
R
R
z
2R z y2 R z R5
▪自重应力分布线的斜率是容重；
▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；
▪自重应力在成层地基中呈折线分布；
▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。
• 例题3 某地基的地质剖面如图所示，求地基各层土的自重应力。
耕土
3
r=16.0kN/cm
3 r=17.5kN/cm
粘土
3
rsat=19.5kN/cm
淤泥
3-5 地基中的应力分布
建筑物的设计：
地基(ground)－承受建筑物荷载的地层。基础(foundation)－建筑物最下面的结构部分。上部结构(upside structure)
整体工作系统
一、土层自重应力
在未修建建筑物之前，由土体本身自重引起的应力称为自重应力。
地面
z
cz
cz
W A
zA
pmax pmin
Fv lb
1
6e l
e M Fv
Fv＝P＋G
d
yc
x
e
xb
a ly
b

土力学-第三章-地基自重应力计算1、基底压力计算、地基附加应力计算张丙印

竖直集中力－布辛内斯克课题
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年
推出了该问题的理论解，包括六个应力分量和三
个方向位移的表达式
其中，竖向应力z：
教材P98~99页
σz
P π
z R
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
集中力作用下的应力分布系数查图3－23
集中荷载的附加应力
19
§3.5 附加应力计算– 集中荷载
竖直集中力－布辛内斯克课题
智者乐水仁者乐山
σz
π [ (r / z) ]/
P z
K
P Z2
垂直应力分布规律
σz与α无关，呈轴对称分布 P
P作用线上在某一水平面上在r﹥0的竖直线上
z等值线-应力泡
集中荷载的附加应力
20
基底压力是地基和基础在上部荷载作用下相互作用的结果，受荷载条件、基础条件和地基条件的影响
暂不考虑上部结构的影响，用荷载代替上部结构，使问题得以简化
智者乐水仁者乐山
•大小
荷载条件： •方向
•分布
基础条件:
• 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深
• 土类
地基条件： • 密度
• 土层结构等
简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基底压力的简化计算
10
§3.4 基底压力计算 – 计算方法
竖直中心
竖直偏心
矩
P
形
l
b
pP A
P
x y
o
l
b
p( x, y) P M x y M y x
A Ix
Iy