2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理 教案(人教A版必修5)
1.1.2余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作A如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a第二张:余弦定理(记作1.1.2B余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.能利用计算器进行运算二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A∴a2=b2+c2-2ab c os A类似地可以证明b2=c2+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2ab c os C另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式形式一a2=b2+c2-2bcco s Ab2=c+a2-2caco s Bc2=a2+b2-2abco s C形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用 [合作探究2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造∙这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得+=∴,cos 2)1802)()(22a B ac c B BC AB +-=+-︒+=+∙+=+∙+=∙即B 2=C 2+A 2-2AC COB由向量减法的三角形法则，可得-=∴2222cos 22)()(c A bc b A AB AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即a 2=b 2+c 2-2bcco s A由向量加法的三角形法则,可得-=+=∴,cos 22)()(22222a C bab C AC BC AC +-=-=+∙-=-∙-=∙即c 2=a 2+b 2-2abco sC [方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A ;与是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;与是同终点,则夹角仍是角C [合作探究师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下 ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41c 由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好 解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s 82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦 【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的 下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2 ∴C 1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2 ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A (2)已知a =20,b B =29,c =21，求B (3)已知a =33,c =2,b =150°,求B(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A∴A由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题板书设计 1.余弦定理 2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题: (1)平面几何法已知三边求任意角;学生练习。
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5
余弦定理教材分析三维目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
教学建议课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.导入一提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形——直角.如图1.已知两边a,b 及夹角90C ∠=，能否求第三边？勾股定理222c a b =+提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？在△ABC 中，当90C ∠=时，有222c a b =+．实验：若a,b 边的长短不变，C ∠的大小变化,2c 与22a b +有怎样的大小关系呢？如图2，若90C ∠<时，由于b 边与a 边的长度不变，所以c 边的长度变短，即222c a b <+. 如图3，若90C ∠>时，由于b 边与a 边的长度不变，所以c 边的长度变长，即222c a b >+. 当90C ∠≠时，222c a b ≠+，那么2c 与22a b +到底相差多少呢？与怎样的角有关呢？显然应与∠C 的大小有关.导入新课二师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC 中,设BC =A ,AC =B ,AB =C ,试根据B 、C 、A 来表示A .师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD 垂直于AB 于D ，那么在Rt △BDC 中，边A 可利用勾股定理用CD 、DB 表示,而CD 可在Rt △ADC 中利用边角关系表示,DB 可利用AB -AD 转化为AD ,进而在Rt △ADC 内求解.解：过C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,则在Rt △CDB 中,根据勾股定理可得 A 2=CD 2+BD 2.∵在Rt △ADC 中,CD 2=B 2-AD 2,又∵BD 2=(C -AD )2=C 2-2C ·AD +AD 2,∴A 2=B 2-AD 2+C 2-2C ·AD +AD 2=B 2+C 2-2C ·AD .又∵在Rt △ADC 中,AD =B ·CO s A ,∴a 2=b 2+c 2-2ab c os A .类似地可以证明b 2=c 2+a 2-2caco s B .c 2=a 2+b 2-2ab c os C .图1 图2 图3另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.。
高中数学 1.1.2 余弦定理优秀教案 新人教A版必修5
备课资料 一、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC 中,设三内角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C . ∵AB CB AC =+, ∴AC AB CB AC AC •=+•)(. ∴AC AB CB AC AC AC •=•+•.∴A AC AB C CB AC AC cos )180cos(2=-︒+.∴.cos cos A AB C CB AC •=-.∴b -aco s C =ccos A ,即B =cco s A +aco s C .类似地有C =aco s B +bco s A ,a =bcos C +cco s B .上述三式称为三角形中的射影定理.二、解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:(1)已知两角及其中一个角的对边,如A 、B 、A ,解△ABC .解：①根据A +B +C =π,求出角C ;②根据Cc A a B b A a sin sin sin sin ==及,求B 、C . 如果已知的是两角和它们的夹边,如A 、B 、C ，那么先求出第三角C ,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角,如A 、B 、C ,解△ABC .解：①根据C 2=A 2+B 2-2abco s C ,求出边C ;②根据co s A =bca cb A 2cos 222-+,求出角A ; ③由B =180°-A -C ,求出角B .求出第三边C 后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A 、B 较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a 、b 、A ,解△ABC .解：①Bb A a sin sin =,经过讨论求出B ; ②求出B 后,由A +B +C =180°，求角C ;③再根据C c A a sin sin ,求出边C . (4)已知三边A 、B 、C ,解△ABC .解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A +B +C =180°,求出第三个角.另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角. (5)已知三角,解△ABC .解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.三、“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．。
2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理教学过程推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:2222cos a b c bc A ，2222cos b a c ac B ，2222cos c a b ab C . 形式二: bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. 师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CB CA 这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则，可得BC AB AC +=,∴222AC AC (AB BC )(AB BC )AB AB BC BC 222cos 180AB AB BC (B )BC 222cos c ac B a ，即2222cos b a c ac B由向量减法的三角形法则，可得BCAC AB ,∴222BC BC(AC AB )(AC AB )AC AC AB AB 222AC AC AB cos A AB 222b bccos Ac ， 即2222cos a b c bc A . 由向量加法的三角形法则,可得ABAC CB AC BC , ∴222AB AB (AC BC )(ACBC )AC AC BC BC 222222AC AC BC cosC BCb bacosC a ， 即2222cosc a b ab C [方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ；AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180B ；AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .[合作探究]师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）.解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°, B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°. 【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形.解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′; C =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展]补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1, ∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7, ∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 1=81.8°,A 2=98.2°,∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Cc sin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5, ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B ,∴72=c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +15=0,解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A ;(2)已知a =20,b B =29,c =21，求B ;(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B ;(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A .解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°. (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a =31,b =42,c =27;(2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°. 由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°. ∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3, ∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0, ∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形4.学生练习教学反思１．注重过程与方法，提升探究能力数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程．本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动．余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。
高中数学 1.1.2余弦定理(二)教案 新人教A版必修5
1.1.2余弦定理（二）一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
四、教学设想[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]1。
教材P8面第2题2．在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 ︒===120,5,12A b a （先由正弦定理求B ，由三角形内角和求C ，再由正、余弦定理求C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 10,50,70=︒=︒=a B A （先由三角形内角和求角C ，正弦定理求a 、b ）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 ︒===50,13,12C b a（先由余弦定理求C 边，再由正、余弦定理求角A 、B ）（4）已知三角形的三条边。
新人教A版必修5高中数学第一章1.1.2余弦定理(二)导学案
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝a b，则∠C的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案 D解析∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案 A解析在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度确定答案 A解析设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，∴c＋x所对的最大角变为锐角．二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c＝________.答案19解析由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．答案2<a<8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin Asin C·cos B －sin Bsin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且·＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 （1）∵·＝－21，∴·=21.∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB = 54.∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54 = 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设· = 23，求a+c 的值.解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由· = 23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.。
高中数学必修五教案：1.1.2 余弦定理
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角． 由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ， 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形． 【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋32＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理
当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.
高中数学新人教A版必修5教案1.1.2余弦定理
余弦定理教学分析 一、教学导图二、教学目标1．通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。
2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
4．在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
三、教学重难点教学重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。
教学难点：理解余弦定理的作用及适用范围。
突破关键：将余弦定理的三个公式视为三个方程组成的方程组。
教学设计一、温故引新 特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。
正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b c R A B C===，其中2R 为三角形外接圆的直径。
说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R ，使2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===。
2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？ 由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。
”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。
”等解三角形问题。
3，思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC c AC b BAC A ∆==∠=，求a 即BC 。
本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
”的解三角形的问题。
本题能否用正弦定理求解？困难：因为角B C 、未知, 较难求a 。
二、类比探究 理性演绎 （一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A 的对边随着角A 的变化而变化。
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
人教A版必修五1.1.2余弦定理应用教案
课题:§1．1．2余弦定理应用授课类型：习题课【教学目标】1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】 重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】【知识梳理】1．余弦定理：(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆4.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 【典例应用】题型一 根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0)则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1) ＝－12∴C ＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.2(二)余弦定理(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
探究 在△ABC中，有(1)a＝bcos C＋ccos B； (2)b＝ccos A＋acos C； (3)c＝acos B＋bcos A； 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
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1.1.2（二）
证明 方法一 (1)由正弦定理得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
当C为锐角时，C＝60° ，A＝90° . 1 根据三角形面积公式，得S＝2AB· AC· sin A＝2 3. 当C为钝角时，C＝120° ，A＝30° . 1 1 ∴S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2sin 30° ＝ 3.
∴△ABC的面积是2 3或 3.
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研一研·问题探究、课堂更高效
小结
本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝
180° ，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练3
1.1.2（二）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 3 b、c，且a＝2，cos B＝ . 5 (1)若b＝4，求sin A的值；
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3 1 即p ＝2＋2cos B.
2
因为0<cos B<1，所以p
2
3 ∈2，2，
6 由题设知p>0，所以 2 <p< 2.
研一研·问题探究、课堂更高效
【典型例题】
1.1.2（二）
例1 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，已 知(a＋b－c)(a－b＋c)＝bc，求A.
填一填·知识要点、记下疑难点
1.1.2（二）
1．余弦定理及其变形形式：
人教高中数学 (A版)必修五 1.1.2余弦定理教学设计
余弦定理教学设计一、教学目标： （1）由已有的知识直角三角形、正弦定理进一步研究三角形中其他的边角关系。
（2）学生合作探究通过直角三角形等已有知识，经历余弦定理的证明过程。
（3）注重公式结构及变形，掌握公式的内在联系 （4）公式的顺用与逆用二、教学重点：余弦定理的发现及证明过程 教学难点：余弦定理的发现及证明三、信息化设备：电子白板，录播室，几何画板 四、教学过程 知识回顾; ：(1)在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sin sin sin a b cR A B C=== (2) 运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sin sin sin sin a b b cA B B C==，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。
”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。
”等解三角形问题余弦定理的教学过程：1）创设情境，激发学生兴趣我们已经解决了两边及一边对角，以及两角一边解三角形----------正弦定理。
问题1：思考：如图，在ABC ∆中，已知,,ABC BC a AC b BCA C ∆==∠=中，求c 即AB 。
我们发现用正弦定理已无法解决这个问题，这就需要我们继续研究三角形中其他的边角关系。
问题2：我们研究问题的途径是什么？（由特殊到一般）问题3：怎样把一般三角形化为特殊三角形呢？（分割、辅助线化为直角三角形）问题:4、怎样表示出三角形的边c 呢？让学生遇到问题，激发兴趣，尝试解决 2）余弦定理的得出及推导：先让学生尝试具体问题：①已知三角形ABC 中，a=5，b=1，C= 60，求第三边c进而，改为字母：②已知三角形ABC 中，BC=a ，AC=b ，∠ACB=C ，试用a ，b 及C 表示第三边c设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。
小组合作探讨：证明：学生可能想法有方法（1）化归为直角三角形，作BD ⊥AC 于D ，教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想C ab b a C a b C a CD AC BD AD BD AB cos 2)cos ()sin ()(222222222-+=-+=-+=+=方法（2）教师引导：在证明正弦定理时BC BA AC =+两边同时乘以AD 推出正弦定理那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）向量法AB AC CB =+)cos(2)(222222C CB AC -⋅++=⋅++=+=∴πC ab b a c cos 2222-+=∴方法（3）教师引导：向量是二维空间的数，能否转化到二维空间推导呢？（建系） 请学生尝试坐标法以C 为原点，CB 为x 轴建立直角坐标系，则A （bcosC ，bsinC ）,,B （a ，0）,C ab a b C b a C b AB cos 2)sin ()cos (22222-+=+-=同理可得，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+= 教师可以借助用几何画板形象直观的反映出数量关系。
高二人教A版必修5系列教案：1.1.2余弦定理
1.2余弦定理（教学设计）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学过程：一、创设情景 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、新课讲解：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
高中数学《1.1.2 余弦定理》教案2 新人教A版必修5
课题: §1.1.2余弦定理●教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
●教学过程Ⅰ.课题导入 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)Ⅱ.讲授新课[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
高中数学 余弦定理教案 新人教A版必修5
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
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1.1.2 余弦定理教学过程 推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍在幻灯片1.1.2B 中我们可以看到它的两种表示形式 形式一2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C=+-形式二bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CB CA 这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提(2)向量法证明余弦定理过程如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b由向量加法的三角形法则，可得+=∴222AC AC (AB BC )(AB BC )AB AB BC BC =++=++222cos 180AB AB BC (B )BC =+?+222cos c ac B a =-+，即2222cos b a c ac B =+-由向量减法的三角形法则，可得BC AC AB=-∴222BCBC (AC AB )(AC AB )AC AC AB AB =--=-+222AC AC AB cos A AB =-+222b bccos A c =-+，即2222cos a b c bc A=+-由向量加法的三角形法则,可得AB AC CB AC BC=+=-∴222AB AB (AC BC )(AC BC )AC AC BC BC =--=-+222222AC AC BC cosC BC b bacosC a =-+=-+，即2222cos c a b ab C =+-[方法引导(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ；AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180B ?；AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C[合作探究师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C =90°，则co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边,求三个角这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题接下来,我们通过例题来进一步体会一下［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-所以A ≈41 c 由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得CB =180°-A -C =180°-41°-【例2】在△ABC 中，已知a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,Aco s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,BC =180°-(A +B )=180°-[知识拓展补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A∴A∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a∴C∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°. [教师精讲(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算【例2】在△ABC 中,已知a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′)分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C =2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得c∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b∴A∴B =180°-(A +C )=180°- [教师精讲通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦【例3】在△ABC 中,已知A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的下面给出两种解法解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A∴A 1=81.8°,A 2∴C 1=38.2°,C 2由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B∴72=c +82-2×8×cco整理得c 2-8c 解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac[教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习 1.在△ABC 中(1)已知c =8,b =3,b =60°,求A (2)已知a =20,b B =29,c =21，求B(3)已知a =33,c =2,b =150°,求B(4)已知a =2,b =2，c =3+1,求A解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B(3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a =31,b =42,c (2)a =9,b =10,c解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A∴A由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B∴C =180°-(A +B )=180°-评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形． 布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题1.余弦定理2.证明方法余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法已知三边求任意角;4.学生练习教学反思１．注重过程与方法，提升探究能力数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程．本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动．余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。