柱坐标系与球坐标系简介
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302m，1 7 ，1.8m
12
7
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，1 7 ，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
8
思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐标
系，对于空间一点P，点P的柱坐标如何
系和柱坐标系，那么点P的直角坐标 (x，
y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的互化
公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
z＝z.
O
x θρ
P z
y Q
11
思考7：给定一个底面半径为r，高为h的 圆柱，建立柱坐标系，如何利用柱坐标 描述圆柱的侧面？
z
ρ＝r， θ∈[0，
2π)， z∈[0，
x 2 sin cos 2 44
3 3
2 （2
2
2 ） -1 2 2
y 2 sin sin 44
2
2
2
1
3
z 2 cos 4
2 (-
2 2
）
-
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
23
小结 数轴
坐标系
平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
4
柱坐标系与
5
探究（一）：柱坐标系 思考1：有一个圆形体育场，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十二个扇形区 域，顺次记为一区，二区……十二区， 那么每个座位票是如何设定的？
第几区，第几排，第几座.
6
思考2：设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m，前后相邻两排的间距都 为1m，每层看台的高度为0.6m，那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m？从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少？位置A距地面的 高度为多少m？
大家好
1
四. 柱坐标系与球坐标系简介
2
问题提出
t
p
1 2
5730
1.平面直角坐标系和极坐标系分别是 怎样建立的？
平面直角坐标系：由两条互相垂直的有 向直线建立的；
平面极坐标系：由一点引一条射线建立 的.
2.空间直角坐标系是怎样建立的？
由三条两两互相垂直的有向直线建立的.
3
3.通过平面直角坐标系或极坐标系， 使得平面上的点可以用直角坐标或极坐 标表示，对空间一点，可以用空间直角 坐标表示，但在某些实际问题中，用空 间直角坐标表示空间点的位置并不方便， 因此，我们还需要建立新的空间坐标系 来解决这些问题.
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法. 24
航天器到地表面的距离，航天器所处
位置的经度和纬度.
16
思考3：设航天器到地表面的距离为r，
航天器所处位置的经度为θ，纬度为φ，
如何建立空间坐标系，才能方便得出r，
θ，φ的值？
在赤道平面上，取
z
地球球心为极点，
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
表示？ z
P
z
ρ
Q
θ
O
x
设点P在水平面上的射影为Q，点Q的极坐标
为 (ρ，θ)，点Q与点P的有向距离为z，则 有序数组 (ρ，θ，z)为点P的柱坐标. 9
思考5：为了表示方便，柱坐标
(ρ，
θ，z)中三个坐标分量的取值范围分别
如何约定为宜？
z
P ρ≥0，θ∈[0，
2π)， z∈R.
z
ρ
Q
θ
O
x
10
思考6：若按如图所示建立空间直角坐标
θ
P
y Q
21
思考7：利用空间直角坐标系，柱坐标系 或球坐标系，研究空间图形的几何特征 时，应如何根据问题的特点选择坐标系？
涉及三个距离用空间直角坐标系； 涉及两个距离和一个角用柱坐标系； 涉及一个距离和两个角用球坐标系.
22
试一试
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
3 3
xθ
Q
一条极轴.
17
思考4：上述坐标系称为球坐标系或空间
极坐标系，因为极角是极径与极轴所成
的角，那么航天器的纬度角φ可换成哪
个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
Q
18
思考5：一般地，在球坐标系中，对空 间任意一点P，设|OP|＝r，射线OP与Oz 轴正向所夹的角为φ，Ox轴按逆时针方 向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过 的最小正角为θ，则点P的位置可以用 有序数组(r，φ，θ)表示，该有序数 组叫做点P的球坐标，其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么？
P
h].
O
Fra Baidu bibliotek
x
Q
y
12
试一试
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1
sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
探究（二）：球坐标系
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
19
z
P(r，φ，θ)
φr
O
xθ
Q
r≥0， φ∈[0，π]，
θ∈[0，2π).
20
思考6：若按如图所示建立空间直角坐标 系和球坐标系，那么点P的直角坐标 (x， y，z) 和球坐标(r，φ，θ)之间的互化 公式是什么？
x＝rsinφcosθ， y＝rsinφsinθ，
z＝rcosφ.
x
z
φr O
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
南极
P o
赤道 地轴
14
南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成的 角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
15
思考2：要确定航天器在天空中某一时刻 的位置，可通过哪些数据来确定？
12
7
思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，1 7 ，1.8)表示点A的准确位置，那
12
么这个空间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系Ox， 过极点O作水平面的垂线 Oz.
O
x
8
思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐标
系，对于空间一点P，点P的柱坐标如何
系和柱坐标系，那么点P的直角坐标 (x，
y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的互化
公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
z＝z.
O
x θρ
P z
y Q
11
思考7：给定一个底面半径为r，高为h的 圆柱，建立柱坐标系，如何利用柱坐标 描述圆柱的侧面？
z
ρ＝r， θ∈[0，
2π)， z∈[0，
x 2 sin cos 2 44
3 3
2 （2
2
2 ） -1 2 2
y 2 sin sin 44
2
2
2
1
3
z 2 cos 4
2 (-
2 2
）
-
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
23
小结 数轴
坐标系
平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
4
柱坐标系与
5
探究（一）：柱坐标系 思考1：有一个圆形体育场，自正东方向 起，按逆时针方向等分为十二个扇形区 域，顺次记为一区，二区……十二区， 那么每个座位票是如何设定的？
第几区，第几排，第几座.
6
思考2：设体育场第一排与体育场中心O 的距离为300m，前后相邻两排的间距都 为1m，每层看台的高度为0.6m，那么第 九区第三排正中的位置A与体育场中心O 的水平距离为多少m？从正东方向到位置 A的水平旋转角是多少？位置A距地面的 高度为多少m？
大家好
1
四. 柱坐标系与球坐标系简介
2
问题提出
t
p
1 2
5730
1.平面直角坐标系和极坐标系分别是 怎样建立的？
平面直角坐标系：由两条互相垂直的有 向直线建立的；
平面极坐标系：由一点引一条射线建立 的.
2.空间直角坐标系是怎样建立的？
由三条两两互相垂直的有向直线建立的.
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3.通过平面直角坐标系或极坐标系， 使得平面上的点可以用直角坐标或极坐 标表示，对空间一点，可以用空间直角 坐标表示，但在某些实际问题中，用空 间直角坐标表示空间点的位置并不方便， 因此，我们还需要建立新的空间坐标系 来解决这些问题.
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法. 24
航天器到地表面的距离，航天器所处
位置的经度和纬度.
16
思考3：设航天器到地表面的距离为r，
航天器所处位置的经度为θ，纬度为φ，
如何建立空间坐标系，才能方便得出r，
θ，φ的值？
在赤道平面上，取
z
地球球心为极点，
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
表示？ z
P
z
ρ
Q
θ
O
x
设点P在水平面上的射影为Q，点Q的极坐标
为 (ρ，θ)，点Q与点P的有向距离为z，则 有序数组 (ρ，θ，z)为点P的柱坐标. 9
思考5：为了表示方便，柱坐标
(ρ，
θ，z)中三个坐标分量的取值范围分别
如何约定为宜？
z
P ρ≥0，θ∈[0，
2π)， z∈R.
z
ρ
Q
θ
O
x
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思考6：若按如图所示建立空间直角坐标
θ
P
y Q
21
思考7：利用空间直角坐标系，柱坐标系 或球坐标系，研究空间图形的几何特征 时，应如何根据问题的特点选择坐标系？
涉及三个距离用空间直角坐标系； 涉及两个距离和一个角用柱坐标系； 涉及一个距离和两个角用球坐标系.
22
试一试
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
3 3
xθ
Q
一条极轴.
17
思考4：上述坐标系称为球坐标系或空间
极坐标系，因为极角是极径与极轴所成
的角，那么航天器的纬度角φ可换成哪
个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
Q
18
思考5：一般地，在球坐标系中，对空 间任意一点P，设|OP|＝r，射线OP与Oz 轴正向所夹的角为φ，Ox轴按逆时针方 向旋转到OP在水平面上的射影OQ所转过 的最小正角为θ，则点P的位置可以用 有序数组(r，φ，θ)表示，该有序数 组叫做点P的球坐标，其中三个坐标分 量的取值范围分别是什么？
P
h].
O
Fra Baidu bibliotek
x
Q
y
12
试一试
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1
sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
探究（二）：球坐标系
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
19
z
P(r，φ，θ)
φr
O
xθ
Q
r≥0， φ∈[0，π]，
θ∈[0，2π).
20
思考6：若按如图所示建立空间直角坐标 系和球坐标系，那么点P的直角坐标 (x， y，z) 和球坐标(r，φ，θ)之间的互化 公式是什么？
x＝rsinφcosθ， y＝rsinφsinθ，
z＝rcosφ.
x
z
φr O
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
南极
P o
赤道 地轴
14
南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与子 午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成的 角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
15
思考2：要确定航天器在天空中某一时刻 的位置，可通过哪些数据来确定？