5.基本不等式练习(学生版)

一、选择题

1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )

A ．y ＝x ＋1x

B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0

x －2

2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y

＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4

C ．－2

D ．－4

3．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x

≥1”的( ) A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件

4．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不是充分条件也不是必要条件

5．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b

，则α＋β的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

6．(文)若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，

则1a ＋1b

的最小值是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．(文)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a

的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(2，＋∞)

C ．(1，2)

D ．(1，2]

8．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．已知全集R ，集合E ＝{x |b

}，F ＝{x |ab b >0，

则集合M 等于( )

A ．E ∩F

B ．E ∪F

C ．E ∩(∁R F )

D ．(∁R

E )∩F

10．(文)已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F

两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ

的最小值是( ) A ．9 B.72

C ．5 D.92

二、填空题

11．已知b >0，直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值为

________．

12．(文)(2010·重庆文，12)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t

的最小值为________．

13．(文)(2010·南充市)已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c

的最小值为________．

14．(文)(2010·重庆一中)设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义

f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，x ，y ，则1x ＋4y

的最小值是________．

三、解答题

15．已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)．

(1)当α＋β＝π4

，求tan β的值； (2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值．

16．(文)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30米，AD ＝20米．记三角形花园APQ 的面积为S .

(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值．

(2)要使S 不小于1600平方米，则DQ 的长应在什么范围内？

17．(文)(2010·广州市调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过

点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.

(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)已知圆M 过定点D (0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA |＝l 1，|DB |＝l 2，求l 1l 2＋l 2l 1的最大值．