【免费下载】离散数学a答案

离散数学（A 卷）闭卷、70学时一、填空选择题 (每空1分，共26分)1、给定命题公式如下：。

该公式的成真赋值为A,成假赋值为)(r q p ⌝∧∨B,公式的类型为C 。

供选择的答案A ：①无；②全体赋值；③010，100，101，111；④010，100，101，110，111。

B ：①无；②全体赋值；③000，001，011；④000，010，110。

C ：①重言式；②矛盾式；③可满足式。

2、在公式中，的辖域是P(z)→Q(x,z)),()()),()()(y x R y y x Q y P x ∀∧→∃（x ∃，的辖域是 R(x,z) 。

y ∀ 3、设Z +={x∣x∈Z∧X>0},π1, π2,π3是Z +的3个划分。

π1={{x}∣x∈Z +},π2={S 1,S 2},S 1为素数集,S 2=Z +-S 1.π3＝{Z +},(1)3个划分块中最多的是A,最少的是B.(2)划分π1对应的是Z +上的C,π2对应的是Z +上的D ,π3对应的是Z +上的E.供选择的答案A:( ①),B:( ③ ) ①π1, ②π2,③π3.C:( ⑧),D:( ⑨ ),E:( ⑤ )④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。

4、设f ：R →R, g ：R →R,g(x)=x+2,则f °g(x)为323{)(2<-≥=x x xf x ，g °f(x)g °121{)()2(2<-≥=+x x x f x f ：R →R 是A ，f -1 B ,g -1 C.供选择的答案A ；①单射不满射；②满射不单射；③不单射也不满射；④双射；B ：（①），C ：（ ②）：①不是反函数；②是反函数；5、①设G={0，1，2，3}，若⊙为模4乘法，则<G ，⊙>构成A.②若⊕为模4加法，则<G ，⊕>是B 阶群，且是C 。

G 中的2阶元是D ，4阶元是E 。

供选择的答案A ；①群；②半群，不是群；B ：③有限；④无限。

C ：⑤Klein 四元群；⑥置换群；⑦循环群；D （⑩ ），E （ ⑨ ）：⑧0；⑨1和3；⑩2。

6、设（A,∨,∧）是代数系统，二元运算∨和∧对于A 是封闭的。

如果对于A 中任意的元素a ，b ，c 满足交换律、 结合律和 吸收律，则称（A ，∨，∧）是格。

7、6个顶点11条边的所以可能的非同构的连通的简单的非平面图有4 个，其中有 2 个含子图K 3,3,有 2 个含与K 5同胚子图。

二、计算题：（每题5分，任选6题，共30分）1、计算幂集P(A)。

}022{23=+--∧∈=x R x x A x x 答：P(A)={ф,{-1},{1},{2},{-1,1},{-1,2},{1,2},{-1,1,2}}2、设S ＝{1，2，3，4}，R 是S 上的二元关系，其关系矩阵为 求①R 的关系表达式。

②dom R=?,ran R=?③R°R 中有几个有序对？④R -1的关系图中有几个环？答：①关系表达示：{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}②dom R={1,2,3,4},ran R={1,4} ③ 7 ④ 13、S ＝Q ╳Q ，Q 为有理数集，*为S 上的二元运算，任意<a ，b>，<x ，y>，∈S 有 <a ，b>*<x ，y>＝<ax ，ay ＋b> ①*运算在S 上具有哪些主要性质；②*运算有无单位元，零元？如果有请指出，并求S 中所有可逆元素的逆元。

答： *运算不是可交换的；可结合的；在a=0且b ∈Q 或者〈1，0〉时满足幂等律。

〈1，0〉为*运算的单位元。

对任意〈a,b 〉∈Q ×Q ，只要a<>0都存在逆元<1/a,-b/a>；不存在零元。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000110001001R4、有向图D 如图1-1所示，求D 中长度为4的通路总数是多少？并指出其中有多少条是回路？其图1-1答： A 2= A 3= A 4=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1100100001000120A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100110010001200⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3200210011003100从A 4可看出，D 中长度为4的通路有23条，其中 7条为回路。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡53003200210043005、当n 和m 为何值时，完全二部图K n,m 是①欧拉图；②哈密顿图；③平面图；④非平面图。

答：①n 和m 都是正偶数；②n=m 且n>=2；③n<=2；④n>=3，m>=36、设无向树T 由7片树叶，其余顶点的度数均为3，求T 中3度顶点数，能画出几棵具有此种度数的非同构的无向树？答：T 中有5个3度顶点。

设T 中有x 个3度顶点，则T 中的顶点数n=7+x,边数m=n-1=6+x,由握手定理的方程2m=12+2x=3x+7,解出x=5,T 的度数列为1，1，1，1，1，1，1，3，3，3，3，3。

有两棵非同构的树。

7、在图1-2所示的无向图G 中，黑线边所示的子图为G 的一棵生成树T,求G 的对应于T 的基本回路系统。

对应生成树的弦分别为e 6,e 7,e 8,e 10,e 11。

设它们对应的基本回路分别为C 1,C 2,C 3,C 4,C 5，从对应的弦开始，按逆时针（也可都按顺时针）的顺序写出它们，分别为C 1＝e 6e 4e 5 C 2＝e 7e 2e 1C 3＝e 8e 9e 2e 1C 4＝e 10e 3e 5e 2C 5＝e 11e 3e 5e 2e 9此图的圈秩为5，基本回路系统为{C 1,C 2,C 3,C 4,C 5}。

三、证明题（每题6分，任选4题，共24分）1、设H1和H2是群<G，*>的两个互不包含的子群，证明G中存在一个元素，它既不属于H1，也不属于H2。

⊄∉⊄证明：因为H1H2,所以存在a∈H1,且a H2，又因为H2H1，所以存在∉b∈H2,且b H1，显然a*b∈G，因为a∈H1,<H1,*>是<G,*>的∉∉子群，可推出b∈H1,这与b H1矛盾。

同理可证，a*b H22、证明欧拉图中必没有割边。

证明：主要利用“无向图中，奇度顶点的个数为偶数”这一结论用反证法，设欧拉图中含有割边。

由于欧拉图中每一个顶点的度数为偶数，所以割边的两个端点也是偶数度顶点。

删去割边后，构成两个连通分支，每个连通分支都含有割边的一个端点；此时每一个连通分支中仅有一个奇数度顶点，这与已知矛盾。

所以，欧拉图中没有割边。

3、设<L，≤>是格，任取a∈L,令S＝{x∣x∈L∧x≤a}证明<S，≤>是L的子格。

≤≤≤≤证明：对于任意的x,y∈S，必有x a和y a,所以x∨y a,x∧y a，故x∨y∈S, x∧y∈S,因此<S,≤>是<L,≤>的子格。

4、设G是6阶无向简单图，证明G或它的补图中存在3个顶点彼此相邻。

证明：设6个顶点的简单图为G,考察G中的任意一个顶点a，那么，另外5个顶点中的任何一个顶点，要么在图G中与a邻接，要么在图G’中与a邻接。

这样，就把5个结点分成两类，将会必有一类至少含有三个顶点。

不妨假设其中的3个顶点为b，c，d。

该图必是图G*的子图（这里图G*可能是G或者是G’）。

如果边(b,c),(c,d),(b,d)中有一条边在G*择优3个顶点邻接。

如果边(b,c),(c,d),(b,d)都不在G*中，那么必在G*的补图（或是图G’或者是G）中，因此，必有3个顶点邻接。

5、设n阶m条边的平面图是自对偶图，证明m=2n-2.证明；设G*图是G的对偶图，所以G必为连通的平面图，且n*=r,m*=m,r*=n于是n=n*=r，由欧拉公式可知，n-m+r=2=n-m+n得m=2n-26、验证K5和K3,3都是极小非平面图。

答：画图举例。

四、应用题（每题10分，共20分）1、在自然推理系统F中，证明下面推理：每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。

每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。

有的人不喜欢乘汽车。

所以有的人不喜欢步行。

（个体域为人类集合）。

解：设P(x)：x喜欢步行；Q(x)：x喜欢乘汽车；R(x)：x喜欢骑自行车；本题符号化为前题：∀x(P(x)→┐R(x)),∀x(R(x)∨Q(x))，∃x ┐Q(x)2006年下半年《离散数学》（闭卷）70学时结论：∃x ┐P(x)①∃x ┐Q(x)前提引入②∀x(R(x)∨Q(x)) 前提引入③┐Q(c)① EI规则④ R(c)∨ Q(c)② UI规则⑤∀x(P(x)→┐R(x)) 前提引入⑥ P(c)→┐R(c)⑤UI规则⑦R(c)③④析取三段论⑧┐P(c) ⑥⑦拒取式⑨∃x ┐P(x)⑧EG规则2、今有n个人，已知他们中的任何二人和起来认识其余的n-2个人。

证明：当n≥3时，这n个人能排成一列，使得中间的任何人都认识两旁的人，而两旁的人认识左边（或右边）的人。

而当n≥4时，这n个人能排成一个圆圈，使得每个人都认识两旁的人。

解：设n个人分别为V1,V2,V3,…,Vn,…V={V1,V2,V3,…,Vn}为顶点集。

若V i与V j认识，就在代表它们的顶点间连一条无向边，得边集E，于是的无向简单图G=<V,E>。

对于任意V i,V j∈V，假设V i与V j不相邻，则对任意V k∈V，（k<>i,k<>j）必与V i或V j相邻。

否则与已知条件矛盾。

不妨假设，V K与V i相邻，与V j不相邻。

那么V k与V i所代表的两个人都不认识V j所代表的人，这与已知矛盾。

所以V K与V i相邻，也与V j相邻。

因此，V i与V j都与其余的n-2个顶点相邻，从而deg(V i)+deg(V j)=n-2+n-2=2n-4,由于n3,则2n-4n-≥≥≥≥1。

由定理15.7可知，G中存在哈密顿通路。

当n4由于2n-4n由定理15.7的推论可知，G是哈密顿图。

图1-2。