航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究

航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究
通过引入区间型设计参数情形集，就可以强化航线整体的鲁棒性，但是如果网络过载或有意攻击情况下，或者航线网络设计参数发生变化，引起最优航线网络也出现变化，航线网络鲁棒性就会受到影响，为了解决这一问题，必须建立航线网络区间型相对鲁棒优化模型，对最短的路线算法进行了修正，在此基础上，相关技术人员还融入了模拟遗传算法，并最终研究出模拟混合求解算法，保证了航线网络的鲁棒性。

下面就对这些方面进行分析，希望给有关人士一些借鉴。

标签：航线网络；区间型鲁棒；优化设计
相关人员对我国的各大航空公司进行了调查，发现为了提高企业的经济效益，企业的规模在不断扩大，通航的城市也不断增多，因此各个城市的航线也增多，导致整个航线网络变得越来越复杂，航空企业想要有一个长远的发展，保持很强的竞争力，就必须科学的对航线网络进行布局，优化设计航线网络区间型相对的鲁棒性。

1 问题描述
对于民航运输航线网络可以分成两种，一种是城市对城市的航线网络，另一种是枢纽航线网络，在进行航线网络建设中，都是以城市自身需求出发，建立直达航线，提高航空运输的效率，最大程度上节约旅客的旅途时间，但是其存在一定的问题[1]，例如没有从网络总体层次上对网络内航线资源进行系统的有机配置，为了解决这一问题，下面就以某航空公司为例，其要在N个城市中建立航空网络，将城市集合设为N=（1，2，3，4，5，6，7，8，9，n）[2]，p为枢纽机场的个数，限制条件是p小于n，（j、i）代表有向边，（i、j）代表无向边，将这些项目全体记作E，这样节点和边就可以形成一个完整的图，将其记做G（N、E）[3]，在对其进行分析的过程中，在任何一个场景下，枢纽机场之间都是连通的，如果是非枢纽机场，就要在枢纽机场进行中转连接，但是要记住每一个OD 流的中转次数都要在两次范围内，现在假设OD（i、j），i，j=1，2，3，4，5，6，7，8，9，n，航空客流为Wij[4]，在此基础上设计网络，让其鲁棒性更强。

在预测过程中，为了描述问题更加方便，将流量和成本区间设定为（Wij-）（Wij+），（Cij-）（Cij+），就有Wij-小于等于Wij+，Cij-小于等于Cij+[5]，成本Cij和实际流量Wij包括了很多情境下取值情况，也就是在规定区间内进行任意取值，通常情况下，枢纽航线网络都是在旅客需求量和成本是确定的情况下进行设计及优化的。

然而在现实情况下经常会出现各种不确定的情况导致旅客需求和成本产生波动，在一定程度上减少网络使用风险，最大程度保证航空公司和旅客的利益[6]。

鲁棒优化方法，可以有效解决设计变量的波动，保证在偏差范围内的变动都是符合要求的。

按照情景集中元素的是否可数，又可以对应的分为离散情景集合、连续情景集。

鲁棒优化设计主要有绝对鲁棒优化、偏差鲁棒优化和相对鲁棒优化设计。

2 模型建立
2.1 模型相关符号
将属于的选择变量设置为yk，yk=1，这代表在第k个机场是枢纽机场，如果yk=0，就可以不选择第k个机场作为枢纽机场，将这一情况标记为xijkm，其中的m表示流量分配量，从变量的值中就可以得知，OD会经过枢纽机场的中转站，下角标表示流量流经的路径，如果k不等于m，说明在这一路径中OD流需要经过两次的中转[7]，如果k=m，那么经过一次中转就可以达到目的。

如果情境不同，需要先确定枢纽的最终选址，在此基础上才能确定OD的流量，从这一情况就可以设x（y，s），也就是x是有关s和y的函数，Y={yk/k∈N}，X=xijkm/yk/j，j，k，m∈N}，以及X=（Y，S）在这一情境下，相应的路径就为i-k-m-j，那么该流量的成本就应该计为Cijkm（s），其中i，k，m∈N，在研究过程中，存在一定的网络效应问题，因此这一所谓的成本问题，不仅仅是单纯各个航段对其成本的累加，其中有一定的折扣问题，因此在研究的过程中，可以引入折扣因子，这样就可以准确对该航段的成本进行计算，计算公式为Cijkm（s）=aCik（s）+rCkm （s）+bCmj（s）[8]。

2.2 数字模型
Z（x，y，s）是总成本的表达方式，在情境s中的最优解是Z*（s）[11]，其中第一个公式是在鲁棒优化的要求，在任何一个s情境之下，实际成本和这一情境下的成本最优情况，但是相关人员要注意，最优成本差值占这一情景中的最优成本比例，这一数值可以准确衡量实际情况，在这一情景下网络设计和最优网络的最接近情况，如果该函数中的目标值越小，就表明该模型和实际的网络越接近，除此之外，上述还有枢纽总数约束，枢纽共选择了p个，在第三个公式中，每一对OD流都要从起点运送到终点，所有的OD流都要从枢纽机场进行中转运输，除此之外，为了保证数值的准确性，还必须约束枢纽流量和枢纽选择变量[12]。

2.3 算法设计
在具体计算过程中，假设网络是一种无容量限制的状态，那么在任何一种情形下，任意选择一个枢纽[13]，要求OD流要沿着最短路径进行运输，记为xijkm=0，或者记为xijkm=1，如果OD对（i，j）的单位客流成本不和距离成正比，OD对（i，j）的转换次数会大于2，为了保证这一算法的适应性更强，对这一算法必须进行修正，具体操作情况如步骤1所示。

如果枢纽候选集是A={h 1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8，h9…，hq，p≤q≤n}[14]，构造网络为G=（E，V），E属于边集合，V属于机场集合。

枢纽的选取对网络设计成本具有重要影响，枢纽节点选取得合理，无论是在悲观最优目标值还是乐观最优目标值下，其鲁棒解均可使总成本较低，下一步工作将深入研究不确定情形下有容量限制的中枢辐射航线网络设计及网络评价问题。

3 模型具体求解步骤
步骤1：在候选集中选择p个机场，将其都作为研究的枢纽[5]，整个机场的集合可以用B表，记做B={h1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8，h9…，hp，其中p≤q≤n}，就有Cpq种方案进行选择，研究中将k=1。

在情景s中枢纽集B={h1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8，h9…，hp}，G中边e（i，j）长度可以设置为ls （i，j）。

如果i，j∈B，而ls（i，j）=+∞，当i∈B，j∈B，就有lS（i，j）=αCij （s），如果i，j∈B，那么就有ls（i，j）=γCij（s），如果i∈B，就有ls（i，j）=βCij（s）。

如果继续按照这一方法就可以得到任何一个OD（i，j）的最优路径长度。

步骤2：建立问题目标函数，也就是单位流成本和流量的乘积，得到共识为Z（Y，X（Y，s），s）=∑ni=1∑nj=1Wij（s）ds（i，j）。

使用模拟退火算法，对这一目标函数进行求解，就可以得到B={h1，h2，h3，h4，h5，h6，h7，h8，h9…，hp}枢纽集，在该集合中通过计算得到最小、最大运输费用，除此之外，还可以得到路径组合和相对的枢纽组合，在模拟退火算法中，可以设置中退火因子为π，π=0.8，最大的迭代次数M=1000。

步骤3：重新返回到步骤2中，要求k=k+1。

步骤4：如果k=Cpq，就停止进行计算，输出最优路径和鲁棒解.通过算法流程可以看出，使用最短路径算法是为了确定OD对（i，j）的路径，根据模拟退火算法可求得任一枢纽组合在情景集S中的最小值，进而可确定模型的鲁棒解。

4 算例分析
4.1 确定最优枢纽解
计算出455种枢纽组合，相应的模型目标值是0.9962，其线性相关性非常强，这就说明选择枢纽组合的时候，和最优成本有很大的联系，当选择的枢纽地址正确，使实际问题在悲观、乐观准则下总成本都很小。

图1是各个机场之间的连接图，可以参考进行分析。

从图中可以清楚的看出，其中4、7、12 都是枢纽机场，而e（7、12），e（4、7），e（4、12）都是枢纽的边界，从图1中可以明显看出，其中的三个枢纽机场设置的位置都非常合理，而且分布比较分散，不是集中模式，这样在进行航运过程中，这一枢纽机场的辐射面较会非常大，对其优化路径有很大的好处，从图中也可以得出，第四个枢纽机场与城市连接的最多，而第7个枢纽机场连接的城市第二多，由图中可以看出枢纽机场12连接的城市是最少的，从CAB数据中发现，各个机场实际的旅客运输量不同，其中机场4的转运量最多，是其他机场不能相比的，而第12机场运输旅客的流量排名第二，通过调查发展主要是由于机场12位置距离比较偏远的问题，但是第12机场的实际转运量非常大，这也是选择第12机场作为枢纽机场的根本原因，其中的第七机场运转旅客的流量处于第六的位置，但是其在网络运输方面所形成的总成本最小。

4.2 最优枢纽解对比及对应最优网络
当模型基本确定之后，在固定的情形下，就可以将这一模型的流量、成本等设为原来的值，W是流量矩阵，要对其进行归一化处理，在求解中遵循相关原则，枢纽组合必须有很小的成本。

在航线网络区间型相对鲁棒优化设计研究中，
暂时只分析节点数n=15的结果，和相关文献对比分析，求得的最优目标函数值和最优枢纽的相关数据完全一致，由此可见，在参考的文献中得到的结论相符，当流量取确定值时，这种情况只存在于特殊情形中。

如果在不确定情形下，流量就会表现为一种区间形式，同样对其参数进行设置，当其实际的节点数n=15时，应该提前将枢纽数进行确定，一般都会设置枢纽p=3，而其中的折扣系数α=β=1，其中的γ=0.6，在整个枢纽集合当中，最优的鲁棒解是4、7、12，与之相对应的最小目标值是784.47，在这一情形之下，目标值都是量纲是1的量，如果条件相同，在相同条件下，相对鲁棒优化模型最优目标值是1106.02，确定型模型最优目标值是941.21，其和最小目标值对比，分别减少了16.65%和29.07%。

如果枢纽的折扣系数和个数不相同时，在这一条件中所有的可能组合，两种不同求解策略下所对应模型目标值都是有很高度的相关性，从数据中也可以看出，在不同的情形之下，鲁棒最终的解都是不同的，因此相关工作人员要针对实际情况，对这些问题进行综合的考虑分析，一定要在两个鲁棒解中选取一个更符合实际的解，达到对航线网络区间型相对鲁棒优化设计。

在求解的过程中，如果成本和流量取值都是初始值，也就是在所有情景中只涵盖一个情景时，模型的最优目标值要比与之对应的乐观准则最优目标值大，那么也就间接的说明所确定的模型最优目标值不是实际的最优目标值。

例如如果p=3、α=0.6，p=5，α=0.6时，在最优的枢纽集合中没有A地，但是从实际情况出发，A地是一个绝对的核心地位，由此可见，使用该方法得到的最优结果和实际有很大的差距。

4.3 案例分析
以2010、2011和2012年？酌=？茁=1，0<？琢<1每年的OD流量和各个节点城市的容量作为一种情景，为了计算方便，取折扣系数，枢纽节点城市的选择同第四章（确定型）。

考虑从15个节点中，选择3个作为枢纽城市。

容量限制设计，如果容量限制太小，无法求出可行解，如果容量限制太大，可能变成无容量限制问题。

所以，根据近2010-2012年机场的平均高峰小时容量限制进行估计，结合各个机场的实际统计数据，15个城市国内节点的高峰小时容量限制如表1（单位：架/小时）。

根据表1数据，可以发现，枢纽节点的容量还没有完全被利用，但是，在2010年，当节点14（西安）被选为枢纽时，经过西安的中转的OD流很大，枢纽点西安已接近于满负荷运作。

但是，随着网络总OD流量的增大，当枢纽1，4，9即北京、上海和广州作为枢纽时，三个枢纽点的OD流与容量的比值相对比较均衡，还有充裕的容量空间，网络流趋向于均衡。

因此，北京、上海、广州作为枢纽城市，不仅运输总成本的偏差是最小的，而且，整改运输网络的OD流是均衡的，符合我国的实际国情。

5 结束语
通过以上对航线网络区间型相对鲁棒优化设计分析，其环境比较复杂，为了保证优化设计结果，必须对其相关参数进行约束，这样计算结果和实际情况有很大偏差，距离最优解较远，但是通过建立区间型网络模型，在连续的情景集中，就可以综合分析到很多复杂的问题，通过对这些问题的描述，有效的建立模型，
再建立数字模型，合理的设计算法，这样才能得到最优枢纽解，实际的求解结果令人满意，以后沿着这一方向努力，可以进一步推动航线网络鲁棒优化设计的实用化。

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作者简介：刘雷（1990，03-），男，汉族，江苏，硕士研究生，南京航空航天大学-民航学院，研究方向：交通运输规划与管理。