人教版高中数学必修五教材用书 word

1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1 正 弦 定 理正弦定理[提出问题]如图，在Rt △ABC 中，A ＝30°，斜边c ＝2.问题1：求△ABC 的其他边和角． 提示：B ＝60°，C ＝90°，a ＝1，b ＝ 3. 问题2：试计算a sin A ，b sin B ，c sin C的值，三者有何关系？ 提示：a sin A ＝2，b sin B ＝3sin 60°＝2，c sin C＝2，三者的值相等． 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 提示：是．如图，∵sin A ＝ac ， ∴a sin A＝c . ∵sin B ＝b c ，∴bsin B＝c .∵sin C ＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.问题4：在钝角△ABC 中，B ＝C ＝30°，b ＝3，试求其他边和角． 提示：如图，△ACD 为直角三角形，C ＝30°，AC ＝3，则AD ＝32，CD ＝32， BC ＝3·AB ＝3，∠BAC ＝120°.问题5：问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ 提示：满足．问题6：若是锐角三角形，上述结论还成立吗？ 提示：成立． [导入新知] 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C. 2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形．[化解疑难] 对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.已知两角及一边解三角形[例1] 在△[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由b sin B ＝a sin A 得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46， 由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．[类题通法]已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角； (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 解：∵A ＝45°，C ＝30°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. 由b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64，∴b ＝20×2＋64＝52＋5 6.∴B ＝105°，a ＝102，b ＝52＋5 6.已知两边及一边的对角解三角形[例2] 根据下列条件解三角形．(1)△ABC 中，已知b ＝3，B ＝60°，c ＝1； (2)△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2. [解] (1)由正弦定理知sin C ＝c sin B b ＝1×sin 60°3＝12，故C ＝30°或C ＝150°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝150°不符合题意，舍去． ∴A ＝90°，a ＝b 2＋c 2＝2.故a ＝2，A ＝90°，C ＝30°.(2)由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32.故C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1.当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.故b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°， C ＝120°. [类题通法]已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .解：由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝π4或A ＝3π4.又∵c ＞a ， ∴C ＞A ， ∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin B sin C＝6·sin5π12sin π3＝3＋1. 判断三角形的形状[例3] 在△C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(R 为△ABC 外接圆半径)∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°. ∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B.∴2sin B cos C ＝2sin 2 B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形． [类题通法]1．判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[活学活用]在△ABC 中，若b ＝a cos C ，试判断该三角形的形状． 解：∵b ＝a cos C ，a sin A ＝bsin B ＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)∴sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0，∵A ，C ∈(0，π)，∴cos A ＝0， ∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．1.警惕三角形中大边对大角[典例] 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________.[解析] 由正弦定理，得sin B ＝b ×sin A a ＝2×sin 60°23＝12.∵0°＜B ＜180°，∴B ＝30°，或B ＝150°.∵b ＜a ，根据三角形中大边对大角可知B ＜A ，∴B ＝150°不符合条件，应舍去，∴B ＝30°.[答案] 30° [易错防范]1．由sin B ＝12得B ＝30°或150°，而忽视b ＝2＜a ＝23，从而易出错．2．在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍． [成功破障]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对应的边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求ac 的值.解：由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32.由条件b ＝6，a ＝23，b ＞a 知B ＞A . ∴B ＝60°或120°.①当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°.在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6，c ＝43， ∴ac ＝23×43＝24.②当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－120°＝30°， ∴A ＝C ，则有a ＝c ＝2 3.∴ac ＝23×23＝12.[随堂即时演练]1．(广东高考)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B， 即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.2．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 的值为( ) A ．－223 B.223 C ．－63D.63解析：选D 根据正弦定理a sin A ＝b sin B 可得15sin 60°＝10sin B， 解得sin B ＝33， 又因为b <a ，所以B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2 C ，则△ABC 是________三角形． 解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知 sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2. 所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角4．(全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝______.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：21135．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°； (2)a ＝7，b ＝14，A ＝150°； (3)a ＝9，b ＝10，A ＝60°.解：(1)sin B ＝b sin 120°a ＝45×32＜32，所以△ABC 有一解．(2)sin B ＝b sin 150°a＝1，所以△ABC 无解． (3)sin B ＝b sin 60°a ＝109×32＝539，而32＜539＜1，所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的B 的取值范围为60°＜B ＜90°；当B 为钝角时有90°＜B ＜120°，也满足A ＋B ＜180°， 所以△ABC 有两解．[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin Bsin A C.sin C cD.c sin C解析：选C 由正弦定理得a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c.2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不确定解析：选A ∵sin A >sin B ， ∴2R sin A >2R sin B ， 即a >b ，故A >B .3．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是46，那么120°角所对边长是( )A ．4B ．12 3C ．4 3D ．12 解析：选D 若设120°角所对的边长为x ， 则由正弦定理可得x sin 120°＝46sin 45°，于是x ＝46·sin 120°sin 45°＝46×3222＝12，故选D.4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：选B 由正弦定理易知A ，C ，D 正确． 对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ， 可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误. 二、填空题6．(北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________. 解析：在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22. 因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.答案：π47．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120° ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶ 38．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin A BC ＝5sin 120°7＝5314.可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：3314三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∴0°<A <120°，0°<C <120°且 A ＝120°－C . ∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ， ∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ， 即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62. ∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°， ∴C －30°＝45°，C ＝75°. sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24.10．(天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(1)由a sin 2B ＝3b sin A 及正弦定理得 2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 所以cos B ＝32，所以B ＝π6. (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin [π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．在△ABC 中，已知a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A ，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin Acos A.又∵sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．12．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，A ，B 为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B .∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角， ∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π. ∴A －B ＝0，即A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．1.1.2 余 弦 定 理余弦定理[提出问题]在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC 吗？ 提示：不能．问题3：能否利用平面向量求边BC ？如何求得？ 提示：能．∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴|BC ―→|2＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2AB ―→·AC ―→ ＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2|AB ―→||AC ―→|cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60° ＝7. ∴|BC ―→|＝7.问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b ，c ，A 表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．已知三角形的三边解三角形[例1](1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角；(2)a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C的大小．[解](1)由c>b>a，知C最大，∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)∵a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，∴设a ＝x ，则b ＝3x ，c ＝2x (x >0)． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 223x ·2x ＝32，∴A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0，∴B ＝60°，C ＝90°. [类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和另外两角的余弦值． 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°<A <180°，∴A ＝120°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋52－322×7×5＝1314；cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32＋72－522×7×3＝1114.已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． [解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝96＋16(3＋1)2－642×46×4(3＋1) ＝22， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22.∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形． 解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－4 3 ＝(6－2) 2， ∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(23)2＋(6－2)2－(22)22×23×(6－2)＝22.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°， 从而B ＝120°.法二：由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝22×6－246－2＝22.∵a ＜b ，∴A ＜B ， 又∵0°＜A ＜180°，∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形[例3] 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C ，a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4] 在△＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .代入sin C ＝2sin B cos A ， 得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc .整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.故C ＝π3.又因为a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形． [类题通法]判断三角形的形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．[活学活用]在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C，试判断其形状． 解：由cos A ＝sin Bsin C 得cos A ＝bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解题流程][规范解答][活学活用]如图所示，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解：在△ADC 中，cos C ＝ AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°＜C ＜180°， ∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314·2·7＝562.[随堂即时演练]1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．10解析：选A 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋(53)2－2×5×53×cos 30°＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab ＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab ＞0得－cos C ＞0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角， 因此△ABC 一定是钝角三角形．3．(天津高考改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________. 解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°， 化简得AC 2＋3AC －4＝0， 解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)． 答案：14．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则 c ＝________；sin A ＝________.解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2. 因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， 于是，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A＝22＋22－122×2×2＝78，于是sin A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 答案：21585．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径为( ) A.823B.143C.73D.733解析：选D 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×12＝49，∴a ＝7.由正弦定理，得asin A＝2R ，∴R ＝733.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 是等边三角形．4．(全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析：选D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π 解析：选C ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3.二、填空题6．(福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝90°， 所以AB ＝22－(3)2＝1.答案：17．(北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________. 解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴bc ＝1.答案：18．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则C ＝________. 解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝5k ，c ＝7k ，由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝120°. 答案：120° 三、解答题9．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴c 2＋b 2＝a 2.∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·ca .∴b ＝c .∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．10．(天津高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，求cos A 的值．解：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解：(1)根据正弦定理得 2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0°＜A ＜180°， ∴A ＝60°. (2)由余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22. 所以B ＝45°.1.2应_用_举_例1．2.1正、余弦定理在实际中的应用测量中的基本术语[提出问题]李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中．问题1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向．问题2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东45°或东偏南45°.[导入新知]实际测量中的有关名称、术语称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[化解疑难]解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节.测量高度问题[例1]一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB为200米．[类题通法]测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰(俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．[活学活用](湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：1006测量角度问题[例2] 如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解] 设缉私船用t h 在D 处追上走私船， 则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120° ＝6， ∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°. ∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin 120°103t ＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船． [类题通法]解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去． [活学活用]某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 解：设护航舰靠近货船所用时间为t 小时．在△ABC 中，根据余弦定理，有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．所以护航舰靠近货船需要1小时．此时AB＝103，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.1.探究距离测量问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．【角度一】两点间不相通的距离[例1]如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长度．[解]在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600×cos 60°＝280 000.∴AB＝2007 m.即A，B两点间的距离为2007 m.【角度二】两点间可视但有一点不可到达[例2]如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.[解析] ∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. [答案] 20 6【角度三】 两点都不可到达[例3] 如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．[解] ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得 BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km.[随堂即时演练]1．若P 在Q 的北偏东44°50′方向上，则Q 在P 的( ) A ．东偏北45°10′方向上 B ．北偏东45°50′方向上 C ．南偏西44°50′方向上 D ．西偏南45°50′方向上解析：选C 如图所示，点Q 在点P 的南偏西44°50′的方向上．2．海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063 海里C ．5 2 海里D ．5 6 海里解析：选D 如图，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10， 由正弦定理得10sin 45°＝BC sin 60°，∴BC ＝56(海里)，故选D.3．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙两楼，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D 的俯角β＝60°，已知甲楼高AB ＝24米，则乙楼高CD ＝________米．解析：过A 作AE ⊥CD (图略)，垂足为E ，ED ＝AB ＝24米，则AE ＝ED tan 60°＝243＝83(米)．在Rt △ACE 中，CE ＝AE ·tan 30°＝83×33＝8(米)，∴CD ＝CE ＋ED ＝8＋24＝32(米)． 答案：324.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．解析：∠ACB ＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC 中，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB .∴BC ＝120·sin 45°sin 60°＝12023，河宽为BC sin ∠CBA ＝12023sin 75°＝20(3＋3)米.答案：20(3＋3)5.如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解：如题中图所示，在△ABC 中， AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角， 则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. [课时达标检测]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图． 知α＝β，故应选B.2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间的距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a kmD ．2a km解析：选A △ABC 中，AC ＝BC ＝a km ，∠ACB ＝90°，AB ＝2a km.3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析：选C 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ， 由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝10 2 (m)．∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 海里/小时B ．34 6 海里/小时 C.1722 海里/小时D ．34 2 海里/小时解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝172 6 (海里/小时)．5.如图，甲船以每小时30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里；当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 海里，则乙船每小时航行( )A ．10 2 海里B ．20 2 海里C ．30海里D ．30 2 海里解析：选D 如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中， 易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得A 1A 2＝302×13＝102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形，∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴B 1B 22＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行30 2 海里． 二、填空题6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33， BC ＝2，∠ABC ＝150°.由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地距离为7 km. 答案：77．(四川高考)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，3≈1.73)解析：过A 作BC 边上的高AD ，D 为垂足． 在Rt △ACD 中，AC ＝92， 在△ABC 中，由正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠ABC×sin ∠BAC ＝92sin 67°×sin 37° ≈920.92×0.60＝60(m)． 答案：608．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置， 则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°， ∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中，DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ， AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ， 则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ， 则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile. 答案：10 3 三、解答题9．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A ，B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A ，B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40 m ，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．解：如图所示，由题意，得 ∠ABC ＝45°－30°＝15°， ∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40 m ，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，得 CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC·AC。