最大似然估计ppt课件
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6.2 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
（1）似然函数为： 取对数得：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
（3）判断并求出最大似然估计：
p 的最大似然估计值为：
p 的最大似然估计量为：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
确定的估计量称为 矩估计量. 相应的估计值称为 矩估计值. 矩估计量与矩估计 值统称为 矩估计.
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解：（1）求总体 X 的一阶矩, 即总体 X 的数学期望：
矩估计值为
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解:（1）求总体 X 的一阶矩和二阶矩：
第二节 点估计的常用方法
又因为二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法3判断并求出最大值点在最大值点的表达式中用样本值代入即得参数的最大似然估计值点估计的常用方法
一、矩估计法
基本思想：用样本矩来估计总体矩。
（3）判断并求出最大似然估计：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
（2）由于
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
取对数得
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
最大似然估计量分别为
第二节 点估计的常用方法
作业:
习题 2(1), 4(1)
似 然 函 数
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
第二节 点估计的常用方法
（1）似然函数为： 取对数得：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
（3）判断并求出最大似然估计：
p 的最大似然估计值为：
p 的最大似然估计量为：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
令
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
确定的估计量称为 矩估计量. 相应的估计值称为 矩估计值. 矩估计量与矩估计 值统称为 矩估计.
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解：（1）求总体 X 的一阶矩, 即总体 X 的数学期望：
矩估计值为
第二节 点估计的常用方法
一、矩估计法
解:（1）求总体 X 的一阶矩和二阶矩：
第二节 点估计的常用方法
又因为二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法二最大似然估计法第二节点估计的常用方法3判断并求出最大值点在最大值点的表达式中用样本值代入即得参数的最大似然估计值点估计的常用方法
一、矩估计法
基本思想：用样本矩来估计总体矩。
（3）判断并求出最大似然估计：
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
（2）由于
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
解：（1）似然函数为：
取对数得
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
最大似然估计量分别为
第二节 点估计的常用方法
作业:
习题 2(1), 4(1)
似 然 函 数
第二节 点估计的常用方法
二、最大似然估计法
第二节 点估计的常用方法
多元线性回归模型参数的最大似然估计
2
其中 Λ 是X X 的特征值构成的对角矩阵。 从而 VarB
XX VΛ
V- 1
XX1 2VV1
, k 0,1, , K
2 2 2 v v v k0 k1 kK Varbk 2 1 K 0
17
（五）岭回归方法
设一个多元线性回归模型为 Y Xβ ε 普通最小二乘估计的公式为 B XX1 XY XX 矩阵 当解释变量间存在严重的多重共线性时， 接近于奇异。 用 XX λD 代替 XX 代入最小二乘估计的公式，得 ˆ XX D1 XY 到： β 其中 称为“岭回归参数”，一般 0 1 ，D 2 2 2 k 1,2,, K d X k ki X X 是用 矩阵对角线上元素d0 n 和 i 构成的对角线矩阵 。
多元回归工具变量法估计 引进、选择多个关键变量。 向量、矩阵表示。
工具变量的选择问题： 与替代解释变量相关性强 与误差相相关性小 避免引起共线性问题
27
四、参数估计量分布问题和统计推断
问题：分布未知 两变量线性回归模型参数估计量
b1
X
i i
i
X Yi Y
i
X
以 X 为条件的 b1 的条件方差 Varb X X X Varb E Varb X 也是 是最小方差，从而 b1 的方差 最小方差。
1 2 i i
2
1
X
1
23
如果 X 是随机变量，与误差项小样本不独立， 但大样本渐进不相关，即 X X
前一个模型变为 logQ 0 b1 logY 2 log P 整理这个模型可以得到
其中 Λ 是X X 的特征值构成的对角矩阵。 从而 VarB
XX VΛ
V- 1
XX1 2VV1
, k 0,1, , K
2 2 2 v v v k0 k1 kK Varbk 2 1 K 0
17
（五）岭回归方法
设一个多元线性回归模型为 Y Xβ ε 普通最小二乘估计的公式为 B XX1 XY XX 矩阵 当解释变量间存在严重的多重共线性时， 接近于奇异。 用 XX λD 代替 XX 代入最小二乘估计的公式，得 ˆ XX D1 XY 到： β 其中 称为“岭回归参数”，一般 0 1 ，D 2 2 2 k 1,2,, K d X k ki X X 是用 矩阵对角线上元素d0 n 和 i 构成的对角线矩阵 。
多元回归工具变量法估计 引进、选择多个关键变量。 向量、矩阵表示。
工具变量的选择问题： 与替代解释变量相关性强 与误差相相关性小 避免引起共线性问题
27
四、参数估计量分布问题和统计推断
问题：分布未知 两变量线性回归模型参数估计量
b1
X
i i
i
X Yi Y
i
X
以 X 为条件的 b1 的条件方差 Varb X X X Varb E Varb X 也是 是最小方差，从而 b1 的方差 最小方差。
1 2 i i
2
1
X
1
23
如果 X 是随机变量，与误差项小样本不独立， 但大样本渐进不相关，即 X X
前一个模型变为 logQ 0 b1 logY 2 log P 整理这个模型可以得到
最大似然估计值
1 n Xi , Y Yj i 1 n2 j 1
2
X Y U
1
2
1
2
2
2
n1
2
~ N 0,1.
6
n2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识 2 12 Y ~ N 2 2 , . 证： X ~ N , . 1 n
f 2 x
2 0.05 2 0.01
O
2 2 32) P ( 1 32) 1 P ( 1
1 0.01 0.99
2 0.01
(16) 32.0
25 .0
32 .0
x
2 16 ( 16 1 ) S 1 2 2 (2) 2 15, X X ~ 2 i 2 2 2 2 i 1 16 16 2 1 100 2 P P 22 X i X 22 X i X 100 i 1 i 1
1
2
定理7 设总体 X ~ N 1 , 1 2 , Y ~ N 2 , 2 2 , 则
1 1 n1 n2
~ N 0,1.
X Y T
Sw
1 2
1 1 n1 n2
～ t n1 n2 2,
2 ( n1 1) S 12 ( n2 1) S 2 其中S w n1 n2 2
3.统计量 t 4.统计量
X n
2
1 2
S
~ t n 1.
矩估计法最大似然估计法
2
n 3 2 2 ˆ (Xi X ) . b A1 3( A2 A1 ) X n i 1
2018/10/9
14
例4
设总体 X 的均值 和方差 2 都存在, 且有
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 2 , A1 , 令 2 2 A2 . ˆ A1 X , 解方程组得到矩估计量分别为
2018/10/9 2
参数估计的类型
点估计 — 估计未知参数的值. 区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值.
2018/10/9
3
§7.1 点估计
矩估计法
最大似然估计法
小结
练习
2018/10/9
4
设总体 X 的分布函数形式已知, 但 它的一个或多个参数为未知, 借助于总 体 X 的一个样本来估计总体未知参数的 值的问题称为点估计问题.
n 1 2 2 ˆ X, ˆ (Xi X ) . n i 1 注：若总体的各阶矩不存在，则不能用矩估计法来 估计未知参数。另外，尽管矩估计法简便易行，且 只要 n 充分大，估计的精确度也很高，但它只用到 总体的数字特征的形式，而未用到总体的具体形式， 损失了一部分很有用的信息，因此，在很多场合下 显得粗糙和过于一般。
断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk
0
1
2
3 4 5 6
45 60 32 9 2 1 1 150
n 3 2 2 ˆ (Xi X ) . b A1 3( A2 A1 ) X n i 1
2018/10/9
14
例4
设总体 X 的均值 和方差 2 都存在, 且有
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 2 , A1 , 令 2 2 A2 . ˆ A1 X , 解方程组得到矩估计量分别为
2018/10/9 2
参数估计的类型
点估计 — 估计未知参数的值. 区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值.
2018/10/9
3
§7.1 点估计
矩估计法
最大似然估计法
小结
练习
2018/10/9
4
设总体 X 的分布函数形式已知, 但 它的一个或多个参数为未知, 借助于总 体 X 的一个样本来估计总体未知参数的 值的问题称为点估计问题.
n 1 2 2 ˆ X, ˆ (Xi X ) . n i 1 注：若总体的各阶矩不存在，则不能用矩估计法来 估计未知参数。另外，尽管矩估计法简便易行，且 只要 n 充分大，估计的精确度也很高，但它只用到 总体的数字特征的形式，而未用到总体的具体形式， 损失了一部分很有用的信息，因此，在很多场合下 显得粗糙和过于一般。
断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk
0
1
2
3 4 5 6
45 60 32 9 2 1 1 150
《参数估计方法》课件
《参数估计方法》ppt 课件
目录
• 参数估计方法概述 • 点估计 • 区间估计 • 最大似然估计法 • 最小二乘估计法 • 贝叶斯估计法
01
参数估计方法概述
参数估计方法的定义
参数估计方法的定
义
参数估计方法是一种统计学中的 方法，它通过分析样本数据来估 计未知的参数值。这些参数可以 描述总体特性的程度，如平均值 、方差等。
使得它容易进行统计推断。
最小二乘估计法的应用场景
线性回归分析
最小二乘估计法是线性回归分析中最常用的 参数估计方法，用于预测一个因变量与一个 或多个自变量之间的关系。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘估计法可用于拟合和 预测时间序列数据，例如ARIMA模型。
质量控制
在质量控制中，最小二乘估计法可用于拟合 控制图，以监测过程的稳定性和预测异常情 况。
区间估计
区间估计是一种更精确的参数估计方法，它给出未知参数的一个置信区间，即有较大的把握认为未知参数落在这个区 间内。例如，用样本均值和标准差来估计总体均值的置信区间。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它根据先验信息和样本数据来推断未知参数的后验 概率分布。贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出更加准确的参数估计结果。
贝叶斯估计法的性质
01
02
03
贝叶斯估计法是一种主观概率估 计方法，因为它依赖于先验信息 的可信度和准确性。
先验信息的不确定性可以通过引 入一个先验分布来表达，该分布 描述了先验信息中未知参数的可 能取值及其概率。
贝叶斯估计法的后验概率分布可 以用于推断未知参数的估计值和 不确定性程度。
贝叶斯估计法的应用场景
3
目录
• 参数估计方法概述 • 点估计 • 区间估计 • 最大似然估计法 • 最小二乘估计法 • 贝叶斯估计法
01
参数估计方法概述
参数估计方法的定义
参数估计方法的定
义
参数估计方法是一种统计学中的 方法，它通过分析样本数据来估 计未知的参数值。这些参数可以 描述总体特性的程度，如平均值 、方差等。
使得它容易进行统计推断。
最小二乘估计法的应用场景
线性回归分析
最小二乘估计法是线性回归分析中最常用的 参数估计方法，用于预测一个因变量与一个 或多个自变量之间的关系。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘估计法可用于拟合和 预测时间序列数据，例如ARIMA模型。
质量控制
在质量控制中，最小二乘估计法可用于拟合 控制图，以监测过程的稳定性和预测异常情 况。
区间估计
区间估计是一种更精确的参数估计方法，它给出未知参数的一个置信区间，即有较大的把握认为未知参数落在这个区 间内。例如，用样本均值和标准差来估计总体均值的置信区间。
贝叶斯估计
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的参数估计方法，它根据先验信息和样本数据来推断未知参数的后验 概率分布。贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出更加准确的参数估计结果。
贝叶斯估计法的性质
01
02
03
贝叶斯估计法是一种主观概率估 计方法，因为它依赖于先验信息 的可信度和准确性。
先验信息的不确定性可以通过引 入一个先验分布来表达，该分布 描述了先验信息中未知参数的可 能取值及其概率。
贝叶斯估计法的后验概率分布可 以用于推断未知参数的估计值和 不确定性程度。
贝叶斯估计法的应用场景
3
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第六章 参数估计
最大概率的思想就是最大似然法的基本思想 .
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
(2) 似然函数
定义6.1 设总体X的分布密度(或分布律)为 p(x; ), 其中 (1, 2, ,m )为未知参数. 又设
( x1, x2,, xn ) 为自总体X的样本(X1,X2,…,Xn) 的一 个观察值，则称样本的联合分布
n
L( ) p(x1, x2, … , xn; ) p( xi; )
2º似然估计方程组与最大似然估计之间没有必 然
从中解得 pˆ k n
参数 p的估计值
这时, 对一切 0< p <1, 均有
P{Y k; pˆ } P{Y k; p}
综上所述： 设某试验的可能结果为： A1, A2 , ···, Ai , ···
若在一次试验中，某结果 Ai 出现，则应选择参 数使Ai 出现的概率最大.
以上这种选择一个参数使得实验结果具有
(k 1,2,, m)
(4) 求最大似然估计(MLE)的步骤:
1 写出似然函数
(1, 2 , ,m )
n
L( ) L( x1, x2,, xn; ) p( xi; )
n
i 1
2 取对数 ln L( ) ln p( xi; )
i 1
3 解似然方程(组)
ln L
ln L
2
为来自总体X的简单随机样本. 矩估计法的具体步骤:
1 求出k E( X k ) (1,2,,m )， k 1,2,,m；
2 要求k Ak , k 1,2,, m
这是一个包含 m个未知参数1,2 ,,m的方程组.
3 解出其中1,2,,m , 用ˆ1,ˆ2,,ˆm表示.
4 用方程组的解ˆ1, ˆ2 , ,ˆm 分别作为 1,2 ,,m的估计量,这个估计量称为
概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
最大似然估计
• 最大似然估计的概述 • 最大似然估计的数学基础 • 最大似然估计的实现 • 最大似然估计的应用 • 最大似然估计的扩展
01
最大似然估计的概述
定义与性质
定义
最大似然估计是一种参数估计方法， 通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数。
性质
最大似然估计是一种非线性、非参数 的统计方法，具有一致性、无偏性和 有效性等优良性质。
无偏性
在某些条件下，最大似然估计的参数估计值是无偏的，即其期望值等于真实值。
最大似然估计的优缺点
• 有效性：在某些条件下，最大似然估计具有最小方差性质， 即其方差达到最小。
最大似然估计的优缺点
非线性
01
最大似然估计是非线性估计方法，对参数的估计可能存在局部
最优解而非全局最优解。
对初值敏感
02
最大似然估计对初值的选择敏感，不同的初值可能导致不同的
04
最大似然估计的应用
在回归分析中的应用
线性回归
最大似然估计常用于线性回归模型的参数估计，通过最大化似然函 数来估计回归系数。
非线性回归
对于非线性回归模型，最大似然估计同样适用，通过将非线性模型 转换为似然函数的形式进行参数估计。
多元回归
在多元回归分析中，最大似然估计能够处理多个自变量对因变量的影 响，并给出最佳参数估计。
最大熵原理与最大似然估计在某些方面具有相似性，例如都追求最大化某种度量， 但在应用场景和约束条件上有所不同。
THANKS
感谢观看
连续型随机变量的概率密度函数
然函数
基于样本数据和假设的概率模型， 计算样本数据在该模型下的可能 性。
似然函数的性质
非负性、归一化、随着样本数据的 增加而增加。
• 最大似然估计的概述 • 最大似然估计的数学基础 • 最大似然估计的实现 • 最大似然估计的应用 • 最大似然估计的扩展
01
最大似然估计的概述
定义与性质
定义
最大似然估计是一种参数估计方法， 通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数。
性质
最大似然估计是一种非线性、非参数 的统计方法，具有一致性、无偏性和 有效性等优良性质。
无偏性
在某些条件下，最大似然估计的参数估计值是无偏的，即其期望值等于真实值。
最大似然估计的优缺点
• 有效性：在某些条件下，最大似然估计具有最小方差性质， 即其方差达到最小。
最大似然估计的优缺点
非线性
01
最大似然估计是非线性估计方法，对参数的估计可能存在局部
最优解而非全局最优解。
对初值敏感
02
最大似然估计对初值的选择敏感，不同的初值可能导致不同的
04
最大似然估计的应用
在回归分析中的应用
线性回归
最大似然估计常用于线性回归模型的参数估计，通过最大化似然函 数来估计回归系数。
非线性回归
对于非线性回归模型，最大似然估计同样适用，通过将非线性模型 转换为似然函数的形式进行参数估计。
多元回归
在多元回归分析中，最大似然估计能够处理多个自变量对因变量的影 响，并给出最佳参数估计。
最大熵原理与最大似然估计在某些方面具有相似性，例如都追求最大化某种度量， 但在应用场景和约束条件上有所不同。
THANKS
感谢观看
连续型随机变量的概率密度函数
然函数
基于样本数据和假设的概率模型， 计算样本数据在该模型下的可能 性。
似然函数的性质
非负性、归一化、随着样本数据的 增加而增加。
MLE
其中λ为拉格朗日乘子向量。
• 若约束为真，则该约束条件对最大似然值的影响很小，于 是相应的拉格朗日乘子应该接近于0
参数识别条件
• 举例：
在古典线性模型中，若存在非零向量α，使得对每个xi'都有 xi'α 0，则存在一个参数向量γ = β + α，使得xi'β xi'γ
2 n n 1 n （Yi xi'β） 2 由ln L(θ; y) ln(2 ) ln 2 2 2 i 1 2
2 n （ Y x ' β ） n n 1 ln L(θ; y) ln(2 ) ln 2 i 2i 2 2 2 i 1 n n (Y - Xβ) '(Y - Xβ) 2 ln L(θ; Y) ln(2 ) ln 2 2 2 2
参数识别条件
2 ln L(θ) I(θ) E[ ]称为信息矩阵 θθ'
对MLE的渐近方差协方差进行估计可等同于对信息矩 阵的估计。
MLE的渐近方差的估计
• 第一种估计方法是直接估计，即
ln L(θ) [I (θ)] E[ ] θθ'
1 2 -1
• 一般来说，对数似然函数的二阶导数几乎总是非线 性函数，其期望值很难计算。
似然函数
• 由上述的最大似然原理，我们应首先确定从模型总体随机抽取 n个样本观测值，也就y1,y2,…yn的联合密度；
• 若y1,y2,…yn独立同分布，则联合密度为：
f ( y1, y 2,... yn; θ) f ( yi; θ) L(θ; y)
i 1 n
这个联合密度成为似然函数，定义为未知参数θ的一个函数， 其中y表示样本数据集；
• 若约束为真，则该约束条件对最大似然值的影响很小，于 是相应的拉格朗日乘子应该接近于0
参数识别条件
• 举例：
在古典线性模型中，若存在非零向量α，使得对每个xi'都有 xi'α 0，则存在一个参数向量γ = β + α，使得xi'β xi'γ
2 n n 1 n （Yi xi'β） 2 由ln L(θ; y) ln(2 ) ln 2 2 2 i 1 2
2 n （ Y x ' β ） n n 1 ln L(θ; y) ln(2 ) ln 2 i 2i 2 2 2 i 1 n n (Y - Xβ) '(Y - Xβ) 2 ln L(θ; Y) ln(2 ) ln 2 2 2 2
参数识别条件
2 ln L(θ) I(θ) E[ ]称为信息矩阵 θθ'
对MLE的渐近方差协方差进行估计可等同于对信息矩 阵的估计。
MLE的渐近方差的估计
• 第一种估计方法是直接估计，即
ln L(θ) [I (θ)] E[ ] θθ'
1 2 -1
• 一般来说，对数似然函数的二阶导数几乎总是非线 性函数，其期望值很难计算。
似然函数
• 由上述的最大似然原理，我们应首先确定从模型总体随机抽取 n个样本观测值，也就y1,y2,…yn的联合密度；
• 若y1,y2,…yn独立同分布，则联合密度为：
f ( y1, y 2,... yn; θ) f ( yi; θ) L(θ; y)
i 1 n
这个联合密度成为似然函数，定义为未知参数θ的一个函数， 其中y表示样本数据集；
最大似然估计法
样本函数 u
X 0 n
~ N 0,1
对于置信水平1-α，总体均值μ的置信区间为
X
0
n
u X
2
0
n
u
2
(2)设总体X～ N , 2 , 未知σ，求μ的置信区间。
X 用 S 代替 0 ，则样本函数 t ~ t n 1 S n
2
1
2 X i 0 2 i 1
n
~ 2 n.
2 对应于置信水平1-α，总体方差 的置信区间为
X i 0
i 1
n
2
( n)
2 2
2
2 X i 0 i 1
n
2 1
2
( n)
.
6
（2）设总体X～ N , 2 , 未知 ，求 的置信区间。
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念
ˆ X , X ,, X , 如果以它的观测 1 定义：取样本的一个函数 1 2 n
值作为未知参数θ的估计值，则称 ˆ X 1 , X 2 ,, X n 是θ的 点估计量。而称其观测值 ˆ x1 , x 2 ,, x n 是θ的点估计值。
X Y 考虑样本函数 T
假设 1 2，求 1 2 的置信区间。
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 1 sw n1 n2
~ t n1 n2 2.
∴对应于置信水平1- α ， 两个总体均值差 1 2 的置信区间为:
X Y t sw
有
ˆ 1, limP n
最大似然估计
n
p( xi , )
L( ) i1
n
f
(
xi ,
)
i 1
X是离散型随机变量 X是连续型随机变量
2.写出似然方程
d L( ) 0 d
或
d ln L( ) d
1
L( )
d
L( ) d
0
3.求解似然方程
得到驻点， 并判断驻点是否为
最大值点.
几种常见分布的 最大似然估计量
1.0—1分布
设总体
X
~
设其密度函数为
X ~ f ( x; )
其中θ是待估参数,
记
n
L(
)
f
(
x1;
)
f
(
x2;
) ...
f
(
xn;
)
i 1
f
(
xi ;
)
为待估参数θ的函数,
它的大小反映了
( X1, X2 ,..., Xn ) 落在 ( x1, x2 ,..., xn ) 附近的概率的大小.
L( ) 称为似然函数.
若 L( ) 在 ˆ处达到最大值,
记为
p( x1;
) p(
x2;
)... p(
xn;
)
i 1
p(
xi ;
)
L(
)
L( )为待估参数θ的函数,
称为似然函数.
若 L( )在 ˆ处达到最大值,
则称 为ˆ参数 的 最大
似然估计值. 相应的估计量 ˆ( X1, X2,..., Xn ) 称为θ
的最大似然估计量.
统称为θ的 最大似然估计.
当 X是 连续型随机变量时,
2
最大似然估计法
n
i
例
设总体 X ~N( μ , σ 2 , μ , σ 2未知 . x1 , , xn )
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2
( x )2 2 2
e
, x
似然函数为
L( μ, σ )
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的样本。
似然函数为：
L( p)
i 1
n
P ( x i , p)
i 1
n
p x i (1 p )1 x i
p i 1 (1 p)
n
xi
n
n
xi
i 1
n i
n
l n L( p) (
x ) l n p (n x ) l n (1 p)
L( ) L( x1 ,, x n ; )
p( x ; ), .
i i 1
n
它是的函数。 ( )称为样本的 L 似然函数 。
由 极 大 似 然 估 计 法 ： 固 x1 , , x n ; 挑 选 使 概 率 定 ˆ L( x , , x ; )达 到 最 大 的 参 数， 作 为 的 估 计 值 ，
取对数
ln L( ) n ln ( 1)
ln x
i 1
n
i
求导并令其为0
d ln L( ) n d
ln x
i 1
n
i
=0
从中解得
n
n
ln x
i 1
n
i
, ,
ch25最大似然估计的性质.ppt
无偏性
对于 的任一向量值函数 g( ) ，无偏估计不一定
存在，若 g( ) 有无偏估计，称 g( )为可估函数， 它的所有无偏估计统称为无偏估计类。
无偏性
定理：设 X (i) (xi1,K , xip ), (i 1,K , n) 是多元正态总体
N p (, ) 的简单随机样本，n p，则 ,
无偏估计（BUE）。
最优无偏估计
设 U,T 为 r 维随机向量， 则 Var(U) Var(T) 0,
的充分必要条件为 Rr，都有
Var(U) Var(T).
证明： Var(U ) Var(T ) 0 Rr , '[Var(U ) Var(T )] 0. Rr , 'Var(U ) 'Var(T ) 0. Rr , Var( 'U ) Var( 'T ) 0.
称 M (w) 为函数 g( ) 诱导出的似然函数。
参数函数的最大似然估计
若wˆ 满足
M (wˆ ) sup M (w) sup sup L( ),
w*
w* { : g ( )w}
则称 wˆ 是 g( ) 的最大似然估计。
参数函数的最大似然估计
定理：若 ˆ 是 的最大似然估计，则 wˆ g(ˆ) 是
最优无偏估计
T 是 g( ) 的BUE，Ti 是 g( ) 的BUE，且T 也是 g( ) 的BUE。
有效性
定义：设 T和1 都T2是总体参数 g(的)无偏估计量, 且
Var(T2 ) Var(T1) 0, 则称 T比1 T更2 有效.
有效性
X 是 的最优无偏估计， A 是 的最优无偏
f (y)
x
1
f (x, y, z)dzdx
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
03
若存在, 是否惟一?
添加标题
1
2
3
4
5
6
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1)无偏性
(3)一致性
(2)有效性
7.2 估计量的评选标准
无偏性
一致性
有效性
一 、无偏性
定义1 设 是未知参数θ的估计量
09
则称 有效.
10
比
11
例4 设 X1, X2, …, Xn 是X 的一个样本,
添加标题
问那个估计量最有效?
添加标题
解 ⑴
添加标题
由于
添加标题
验证
添加标题
都是
添加标题
的无偏估计.
都是总体均值
的无偏估计量.
故
D
C
A
B
因为
所以
更有效.
例5 设总体 X 的概率密度为
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
是 的一致估计量.
由大数定律证明
用切比雪夫不 等式证明
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
极大似然估计.ppt
d dL( ) 0要容易
d
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时 要用极大似然估计原理来求 .
例1 设ξ1,ξ2,…, ξn是取自母体 ξ~b(1, p) 的一个子样，
求参数p的极大似然估计.
0 1分布
解：的概率函数为: P( x) px (1 p)1x ( x 0,1)
n
(1)似然函数 : L( p; x1,, xn ) pxi (1 p)1xi
§6.2 极大似然估计
(maximum likelihood estimate 简记为MLE或ML估计)
极大似然估计是在母体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 , 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了 这种方法的一些性质 .
极大似然原理:
i 1
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
( xi 0,1)
n
n
(2)ln L ( xi )ln p (n xi )ln(1 p)
i 1
i 1
令
d
ln L dp
n
(
i 1
xi
)
1 p
(n
n
i 1
xi
)
1
1
p
0
(3) pˆ L
1 n
n i 1
xi
x
pˆ L
pˆ L是p的一致无偏估计量
解：该母体ξ服从两点分布：
ξ0 1 P 1-p p 因此，出现此子样的可能性的大小，是概率
P(1 1,2 1,3 0,4 1,5 1) 子样的联合分布列 P(1 1)P(2 1)P(3 0)P(4 1)P(5 1) p p (1 p) p p p4(1 p)记为 L( p)
d
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时 要用极大似然估计原理来求 .
例1 设ξ1,ξ2,…, ξn是取自母体 ξ~b(1, p) 的一个子样，
求参数p的极大似然估计.
0 1分布
解：的概率函数为: P( x) px (1 p)1x ( x 0,1)
n
(1)似然函数 : L( p; x1,, xn ) pxi (1 p)1xi
§6.2 极大似然估计
(maximum likelihood estimate 简记为MLE或ML估计)
极大似然估计是在母体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 , 费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了 这种方法的一些性质 .
极大似然原理:
i 1
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
( xi 0,1)
n
n
(2)ln L ( xi )ln p (n xi )ln(1 p)
i 1
i 1
令
d
ln L dp
n
(
i 1
xi
)
1 p
(n
n
i 1
xi
)
1
1
p
0
(3) pˆ L
1 n
n i 1
xi
x
pˆ L
pˆ L是p的一致无偏估计量
解：该母体ξ服从两点分布：
ξ0 1 P 1-p p 因此，出现此子样的可能性的大小，是概率
P(1 1,2 1,3 0,4 1,5 1) 子样的联合分布列 P(1 1)P(2 1)P(3 0)P(4 1)P(5 1) p p (1 p) p p p4(1 p)记为 L( p)
最大似然估计
Yi ~ N(Xiβ, 2 ) i ~ N (0, 2 )
L(βˆ , 2 ) P(Y1 ,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
X
1i
ˆ2
X
2
i
ˆk
X
k
i
))2
(2
)
n 2
n
1
1 (YXβˆ )(YXβˆ )
e 2 2
(2
)
n 2
3、例题
Y 0 1X 2 X 2 u
州 开支 收入 州 开支 收入 州 开支 收入 AL 275 6247 AK 821 10851 AZ 339 7374 AR 275 6183 CA 387 8850 CO 452 8001 CT 531 8914 DE 424 8604 DC 428 10022 FL 316 7505 GA 265 6700 HI 403 8380 ID 304 6813 IL 437 8745 IN 345 7696 IA 431 7873 KS 355 8001 KY 260 6615 LA 316 6640 ME 327 6333 MD 427 8306 MA 427 8063 MI 466 8442 MN 477 7847
2. 一般非线性模型的ML估计
h( yi , ) g(xi , ) ui i 1,, n
(u1,, un ) ~ N (0, 2 I )
xi x1i x2i xki
随机项满足 经典假设
其中 h() 和 g() 是非线性函数， 和 是参数。
• 以上是一般非线性模型的完整描述。
3第三章 参数估计点估计PPT课件
Answer：构造一个适当的统计量 ( X1, X 2 , , X n ) 用它的观察值 (x1, x2 , , xn ) 作为θ的
近似值。
( X1, X 2 , , X n ) 称为θ的估计量， (x1, x2 , , xn ) 称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出.
ˆ 2X 1 .
1 X
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1, X 2 , X n为X 的
一个样本，求 , 2的矩估计量。
Answer:
ˆ
1 n
n i1
Xi
ˆ 2 n 1 S 2
n
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
pi P{X xi} p(x,1,
,s ) , 1,
其中参数 0 未知，现有一组样本值
3
1 2
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1
x
1 16
1 1
2 7
4
1 E( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
近似值。
( X1, X 2 , , X n ) 称为θ的估计量， (x1, x2 , , xn ) 称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出.
ˆ 2X 1 .
1 X
例2 设总体 X ~ N ( , 2 ) , X1, X 2 , X n为X 的
一个样本，求 , 2的矩估计量。
Answer:
ˆ
1 n
n i1
Xi
ˆ 2 n 1 S 2
n
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
pi P{X xi} p(x,1,
,s ) , 1,
其中参数 0 未知，现有一组样本值
3
1 2
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2
试求θ的矩估计值。
解
n 16,
A1
x
1 16
1 1
2 7
4
1 E( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3
令 A1 1,
3 3 7
1
1/4 27/64 27/64 9/64 1/64
2
2/4
3
3/4
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
抽到白球数x x=0 x=1 x=2 x=3 27/64 27/64 9/64 1/64 8/64 24/64 24/64 8/64
袋中白 球数m p
1
1/4
2
2/4
3
3/4
最大似然估计
2 xe x , x 0 设总体X的概率密度为：f ( x ) 其中 其它 0, 参数（ 0）未知，X 1 , X 2 , , X n是来自总体的简单随机样本 （1）求参数的矩估计量；（ 2）求参数的最大似然估计量。
例题13-1-2（2009，11分）
0 1 2 t 1 2 2 2 ˆ ( t ) e dt ( 3) X ,点估计 0 X （2）样本为X 1 , X 2 , , X n , 则样本似然函数为：
2n
d ln L( ) 2n n xi 0 ln( ) ln xi 2n ln xi 令 d i 1 i 1 i 1 2n 2 最大似然估计： ˆ 2n 2 得： n n X x Xi xi
n n
i 1 i 1
1
结论3：样本均值X是总体均值的一致估计值（回忆大数定理）
推论： 设独立随机变量X 1 , X 2 , , X n服从同一分布,期望及方差 存在:
E ( X i ) , D ( X i ) 2 , i 1,2 , , n , ;
1 2 2 2 2 n n E( S ) n n 1
1 n 2 1 n 2 2 2 E X n X E ( X ) nE ( X ) E ( S ) i 证 i n 1 i 1 n 1 i 1
2
2 2 E ( X i2 ) D X i E X i 2
第十三讲
估计标准与区间估计
本次课讲授区间估计6.3-6.5。 下次课结束本课程的教学并讲授复习注 意事项。 请完成作业67-70。 重点：最大似然法与区间估计 难点：最大似然法
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2、多元线性模型的最大似然估计
y x x x i 01 1 i 2 2 i k k i i i=1,2,…,n
2 Y N ( X β , ) i~ i
2 ~ N (0 , ) i
ˆ, 2 ) P(Y L( β ,Y 1,Y 2 , n) 1 (2 ) n 1 (2 ) n
2 ˆ L ( β , ) P ( Y ,Y 1,Y 2, n)
1 (2 ) n
n 2
e
1 2 ˆ)) 2 (Y f ( X , i i 2
* MaxL Ln ( L )
1 2 ˆ nLn (2 ) 2 ( Y f ( X , )) i i 2
2 2
2 e i 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ( Y X ) i 0 1 i n n
分布参数的 ML估计量
• 注意：
– ML估计必须已知Y的分布。 – 只有在正态分布时ML和OLS的结构参数估计结果 相同。 – 如果Y不服从正态分布，不能采用OLS。例如：选 择性样本模型、计数数据模型等。
最大似然估计
关于估计方法的说明
• 计量经济学模型(参数模型、均值回归模型、基于 样本信息）的3类估计方法
–LS、ML、MM –经典模型的估计—LS –非经典模型的估计—ML、GMM
• 综合样本信息和先验信息的贝叶斯估计 • 分位数回归模型，Quantile Regression ,QREG • 非参数模型的权函数估计、级数估计等
ˆ Xi2Yi Xi Yi Xi 0 nXi2 (Xi )2 ˆ nYi Xi Yi Xi 1 2 2 n X ( X ) i i
对数似然 函数
对数似然函 数极大化的 一阶条件
结构参数的 ML估计量
L * 2 n 1 ˆ ˆ ( Y X ) 0 i 0 1 i 2 2 2
• 将样本观测值联合概率函数称为样本观测值的似然函数。 • 在已经取得样本观测值的情况下，使似然函数取最大值的总体 分布参数所代表的总体具有最大的概率取得这些样本观测值， 该总体参数即是所要求的参数。
– 通过似然函数极大化以求得总体参数估计量的方法被 称为极大似然法。
二、线性模型的最大似然估计
1、一元线性模型的最大似然估计
§2.1 最大似然估计
一、最大似然原理
二、线性模型的最大似然估计 三、非线性模型的最大似然估计 四、异方差和序列相关的最大似然估计 五、最大似然估计下的Wald、LM和LR检验
一、最大似然原理
• 最大似然方法(Maximum Likelihood，ML)
– 当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参 数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概 率最大。
n 2 n 2
e
1 ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ))2 2 (Y ( i 0 1 1i 2 2i k ki 2
e
1 ˆ )(YX ˆ) 2 (YX β β 2
* M a x L L n ( L )
1 ˆ ˆ ( n L n (2 ) 2( YX β ) YX β ) 2
2 i
பைடு நூலகம்
• 模型参数的另一种估计方法是最大似然法。得 到广泛应用。
最大似然估计
• yi的密度函数
( 2 )
y g ( x , ) u i i i
2 O L S
e e n k 1 n k 1
2 e i
3、最大似然估计量的性质
• 一致性 • 渐近正态性 • 渐近有效性
• 不变性
三、非线性模型的最大似然估计
1、简单非线性模型的最大似然估计
y f ( x , ) i i i
i=1,2,…,n
2
2 ~ N (0 , ) Y N ( f( X β ), ) i i~ i,
ˆ ˆ Y N ( X , ) i~ 0 1 i
2
Yi的分布
P ( Y i)
2
1
1
e
1 2 ˆ ˆX 2 ( Y i 0 1 i) 2
Yi的概率函数
2 ˆ ˆ L ( , , ) P ( Y , Y , , Y ) 0 1 1 2 n
ˆ ˆ M i n ( Y X β ) ( Y X β )
1 ˆ β ( X X )X Y
• 结构参数估计结果与OLS估计相同
• 分布参数估计结果与OLS不同
2 ˆ ˆ e ( Y X β ) ( Y X β ) i 2 ˆ M L n n
ˆ
随机项满足 经典假设
x x x i 1 i x 2 i ki
其中 h () 和 g () 是非线性函数， 和 是参数。
• 以上是一般非线性模型的完整描述。
• 模型参数的一种估计方法是最小二乘法，即最小 化
S ( ,) [ h ( y ,) g ( x , )] i i
2 ˆ Min ( Y f ( X , )) i i
• 面临NLS同样的过程，得到相同的估计结果。
2. 一般非线性模型的ML估计
i 1 , ,n h ( y , ) g ( x , ) u i i i
2 ( u , , u ) ~ N ( 0 , I ) 1 n
e n n 2 (2 )
1 ˆ ˆ X )2 2 ( Y i 0 1 i 2
Y的所有样 本观测值的 联合概率— 似然函数
* L ln( L )
1 2 ˆ ˆX n ln( 2 ) 2 ( Y ) i 0 1 i 2
ˆ ˆ X )2 0 ( Y i 0 1 i ˆ 0 ˆ ˆ X )2 0 (Yi 0 1 i ˆ 1