组合数学幻灯片45母函数在组合恒等式中的应用

n
q
k
p
n
q
1
1
例2 设p为非负整数，且p≤n，证明：
n
k p k
k p
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)k
p
1 0
当p=n 当p<n
证明：由式(1.13)有
（1
x）n
n k0
n k
x
k
将上式两边对x微分p次得
n（n 1（) n 2）（n p 1（) 1 x）n p
k
n
p
n k
k
(k
1)
(k
n
0
2
n
1
2 x
n
k
2 x k
n n
2 2
x
n2
(1
x)nm
n
m 0
n
1
m
x
n
k
m
x
k
n n
m m
x
nm
将以上各式两端分别相加，则其右端和中 xk的系数正好是式(4.7)的左端，而其左端的和 为:
f (x) (1 x)n (1 x)n1 (1 x)n2 (1 x)nm
2
2n1
22n
故有
n k0
2k
2n n
k
22n
例4 证明 m n j n m 1 n
j0
k
k 1
k 1
证明：由二项式定理分别有下列各式：
(1
x)n
n 0
n1
x
n k
x
k
n n
x
n
(1
x)n1
n
0
1
n
1
1
x
n
k
1
x
k
n n
11
x
n1
(1
x)n2
(1 x)n (1 x)nm1
1 (1 x)
1 (1 x)nm1 (1 x)n x
而在f(x)的幂级数展开中xk的系数为
ak
n
k
m 1
1
k
n
1
于是有
n n j n m 1 n
j0
k
k 1
k 1
例5
证明
j
n 0
2i i
2n n
2i i
x
2n
2(1
x)2n1
2
2n 0
1
2
2n 1
1
x
2
2n 0
1
x
n
2
2n 2n
11
x
2n1
22 (1
x)2n2
22
2n 0
2
22
2n 1
2 x
2
2
2n n
2
x
n
22
2n 2n
2 2
x
2n
2
2n (1
x)n
2n
n 0
2
n
n 1
x
2n
n n
x
n
将以上各式两端分别相加，则其右端和中 xn的系数正好是式(4.6)的左端，而其右端的和 为
p
1) xk p
将上式两边同乘以1/p!得
n p
(1
x)n
p
n
k p
n k
k p
x
k
p
在上式中，令 x=-1，有
n
k p k
k p
(1)k
p
1 0
当p=n时 当p<n时
故恒等式得证。
注意，若令 x=1，又可得如下的恒等式：
n p
2k
k
n
p
n k
k p
恒等式(4.4)还表明序列
(
§4.5母函数在组合恒等式中的应用
母函数不仅是解决计数问题的有力工具， 而且，它也是证明(或推导)组合恒等式的一个 重要方法。 事实上，在第一章§1.5节中已经利用二项式展 开级数作为母函数导出了一些恒等式。下面再 举几例加以说明。
设p,q为任意正整数，证明
n k n k n 1
k0 p q p q 1
x i
j0
2j j
xj
由定义4.4知，上式中xn的系数是
n 2i 2n 2i
i0 i n i 也就是说，上式中的xn的系数是4n。故有
(1 4x)1 1 4x (4x)2 (4x)n
又由二项式定理有
n
i0
2i i
2n n
2i i
4n
f ( x) (1 x)2n 2(1 x)2n1 22 (1 x)2n2 2n (1 x)n
2n 1
x
2n
1
x
2n1
1
x
2n2
1
x
n
2 2 2
2
如果我们能求出f(x)展开式中xn的系数是22n 则式(4.6)得证
g(x)
f ( x) 22n 1 x n1 1 x n2
1
x
0
2 2
2
22n 1
x 2n
1
x 2n1
1
x n
1
x
n1
2 2
2 2
1 x n2 1 x 0
2
2
1
1
x
2n1
22n1
2
1 x
22n1 1
1 22n1
2n 0
1
2n 1
1
x
2n 2n
11
x
2n1
证明：我们知道，一个序列是与它的
母函数一一对应的。而两个母函数间的 乘积关系必然反映为两个母函数对应的 序列与其乘积对应的序列之间的关系。
为了证明上面的恒等式，只需求出两个 序积列对应kp的, 序n q k列 为对应 p的n q母1 1函 数使得它们的乘
先求形如序列 kp的 母函数。
由第一章的式(1.22)，有
(1
x)n
k0
n
n
k
1
1
x
k
故 (1
x)n1
k0
n
n
k
x
k
kn
k n
x
k
n
在式中分别令n=p和q得
(1
x) p1
k0
k p
x
k
p
(1
x)q1
k0
k q
x k q
而 (1 x) p1 (1 x)q1 (1 x)( pq1)1
n
p q 1
p
n q
4n
证明:由于左端出现形如
的序列
2i i
故自然要考虑求序列
2i i
的母函数。
由§4.1例3知，序列
2i i
的普通母函
数为(1-4x)-1/2
即
(1 4 x)1/ 2
i
0
2i i
x
i
而 (1 4 x)1 (1 4 x)1/ 2 (1 4 x)1/ 2
故
(1
4 x )1
i0
2i i
(1 x x2 xn )
于是，在g(x)中xn的系数也就是在f(x)中xn 的系数.即
an
22n1 1
1 22n1
2n 0
1
2n 1
1
2n n
1
22n1
1
1 22n1
1 2
2n 0
1
2n 1
1
...
2n n
1
2nn11
2n 2n
11
22n1 1
1 22n1
1
x n(
pq1)
n pq
p
n
q
1
1
x n
pq
又因 (1
x) p1
(1
x)q1
k p
k p
x
k
p
jq
qj x
jq
n pq
n k0
k p
n
q
k
x
n
pq
故 n pq
k
n 0
k p
n
q
k
x
n
pq
n pq
p
n
q
1
1x
n
p
q
于是得到
k0
k p
1)k
n k
与序列
(
1)
p
k p
是一对互相正交的序列(当p<n时)。这使 得恒等式(4.4)在组合分析中极为有用。
例3 证明
n
k0
2k
2n n
k
22n
证明：由式(1.13)有
(1
x)n
n 0
n 1
x
n n
x
n
于是，我们分别得到下列各式
(1
x)2n
2n 0
2n 1
x
2n n
x
n
2n 2n