2020海淀区高三二模数学试题及答案
2020年6月北京市海淀区普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题及答案解析
绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年6月一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B2．（4分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx3．（4分）若抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（）A．4B．6C．8D．104．（4分）已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若l∥m,m⊂α,则l∥αC．若l∥α,l∥β,则α∥βD．若l∥α,l⊥β,则α⊥β5．（4分）在△ABC中,若a＝7,b＝8,cos B＝,则∠A的大小为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数g（x）的图象,则g（x）＝（）A．B．C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．48．（4分）对于非零向量,,“（+）•＝22”是“＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．9B．10C．11D．12。
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案2020年北京市海淀区高三二模试卷数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若全集 $U=R$。
$A=\{x|x-1\}$。
则A) $A\subseteq B$B) $B\subseteq A$C) $B\subseteq U$D) $A\subseteq B$2.下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 且为偶函数的是A) $y=x^2$B) $y=|x-1|$C) $y=\cos x$D) $y=\ln x$3.若抛物线 $y^2=12x$ 的焦点为 $F$，点 $P$ 在此抛物线上且横坐标为 $3$，则 $|PF|$ 等于A) $4$B) $6$C) $8$D) $10$4.已知三条不同的直线 $l,m,n$ 和两个不同的平面$\alpha,\beta$，下列四个命题中正确的为A) 若 $m\parallel \alpha$。
$n\parallel \alpha$。
则$m\parallel n$B) 若 $l\parallel m$。
$m\subset \alpha$。
则 $l\parallel\alpha$C) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\parallel \beta$。
则 $\alpha \parallel \beta$D) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\perp \beta$。
则 $\alpha \perp \beta$5.在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=7$。
$b=8$。
$\cos B=-\dfrac{1}{2}$，则 $\angle A$ 的大小为A) $\dfrac{\pi}{6}$B) $\dfrac{\pi}{4}$C) $\dfrac{\pi}{3}$D) $\dfrac{\pi}{2}$6.将函数 $f(x)=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象向左平移$1$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，则A) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})$B) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{2\pi}{3})$C) $g(x)=\cos 2x$D) $g(x)=-\cos 2x$7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该三棱锥的体积为A) $\dfrac{2}{3}$B) $\dfrac{3}{2}$C) $2$D) $4$8.对于非零向量 $a,b$，$(a+b)\cdot a=2|a|^2$ 是 $a=b$ 的A) 充分而不必要条件B) 必要而不充分条件C) 充分必要条件D) 既不充分也不必要条件9.如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，点 $P$ 在侧面$BB_1C_1C$ 的边界及其内部运动。
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习数学(二模)(含答案)
北京市海淀区高三年级第二学期期末练习数学2020.6 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
( 1）若全集U= R, A = {x I x< 1} , B = (x I x ＞一1｝，则(A)A<;;B(B)Bt;;A( C)B <;; CuA ( 2）下列函数中，值域为［0, + 00 ）且为偶函数的是(A) y=x2 (B)y=lx-11( C)y=cosx ( D)CuA <;;B (D)y=lnx( 3 ）若抛物线y2= 12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则I PFI等于(A)4( B)6( C) 8( D)10(4）已知三条不同的直线I,m, n和两个不同的平面α，F，下列四个命题中正确的为(A）若m Hα，n Hα，则m II n(B ）若I II m, meα，则I I Iα (C）若I IIα，111 p，则αIIP(D）若I IIα，11..p，则α.1..p( 5）在！：：：.ABC中，若a=1,b=8，叫＝牛则LA的大小为(A）号(B)*(C）号(D）亏(6）将函数f(x）＝血（2x-f）的图象向左刊号个单位长度，得到函数g(x）的图象，则g(x)=(A)sin ( 2x＋号）( C)cos2x ( B)sin ( 2x ＋子）( D)-cos2x．，．．l，．．． ‘．， ．．、，’．白．．‘．，．，－ ．． ‘，，．a ‘‘’－－－－－－－－－．－－‘－－． ，，e ’（．a L ．．． ι’’－．俨’ ．．………又＼一图……一…．‘．’j j i g －－j e－－！ －J j e － －J j a － －…＼…一左…………：：l i t i －－； ．．． ，－a a －－－－’ －－－－E ’’－ －－··a 句脚’7··｜’；l e i －－d a ”’－E ．． 、怡、，－J ；’jl ；l － J I ；1 －j z ；！ ；I J I 丁，人（：1万，」视→、a x a ’…·视→………／一主一＼……俯丁··；，．：J e －－e ·－－－ ’’’－－－－－ －－－－－－－－ ’’’’也’’’－r －a ，，．． e g－－ ．．，．．，‘‘，，．． ，‘(7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,(B)1(D )4那么该三棱锥的体积为(A)t ( C )2( 8）对于非零向量a,b ，“（a+b)·a =2矿”是“a =b ”的(B ）必要而不充分条件(A）充分而不必要条件( D）既不充分也不必要条件(C）充分必要条件(9）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。
北京市海淀区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷含解析
北京市海淀区达标名校2020年高考二月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721 B ．1928 C ．79 D ．23282．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ）A ．5B ．3C ．－12D ．－133．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m 4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12 B 3C ．22 D 35．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <6．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．327．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2 8．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤9．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 10．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-= 11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．412．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ）A ．5B 5C ．25D 25 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集，，，则A. B. C. D.2.下列函数中，值域为且为偶函数的是A. B. C. D.3.若抛物线的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则等于A. 4B. 6C. 8D. 104.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的为A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.在中，若，，，则的大小为A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则A. B. C. cos2x D.7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为A.B.C. 2D. 48.对于非零向量，，“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为A.B.C.D.10.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件其中“”表示就座人员根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.若复数为纯虚数，则实数______．12.已知双曲线E的一条渐近线方程为，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为______写出一个即可13.数列中，，，若其前k项和为126，则______．14.已知点，，，，O为坐标原点，则______，与夹角的取值范围是______．15.已知函数，给出下列三个结论：当时，函数的单调递减区间为；若函数无最小值，则a的取值范围为；若且，则，使得函数恰有3个零点，，，且．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为又___，且，是否存在大于1的正整数k，使得？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点，底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．Ⅰ求证：；Ⅱ若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．Ⅰ估计该地区年龄在岁且已签约家庭医生的居民人数；Ⅱ若以图2中年龄在岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；Ⅲ据统计，该地区被访者的签约率约为为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19.已知椭圆w：过，两点，离心率为．Ⅰ求椭圆w的方程；Ⅱ过点A的直线l与椭圆w的另一个交点为C，直线l交直线于点M，记直线BC，BM 的斜率分别为，，求的值．20.已知函数．Ⅰ求的单调递增区间；Ⅱ求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．21.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点，定义任取点，，记，，若此时成立，则称点A，B相关．Ⅰ分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；，；，．Ⅱ给定，，点集，，x，．求集合中与点相关的点的个数；若，且对于任意的A，，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，故选：D．由集合间的关系直接判断．本题考查了集合的补集运算及集合间的关系，属于基础题．2.答案：A解析：解：A：为偶函数，且值域，符合题意；B：为非奇非偶函数，不符合题意；C：的值域，不符合题意；D：为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意．故选：A．由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．3.答案：B解析：解：抛物线的焦点在x轴上，，由抛物线的定义可得：．故选：B．利用抛物线的标准方程，求出p，通过定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.答案：D解析：解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，，对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则与平行或相交，故C错误；对于D，若，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确．故选：D．对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，或；对于C，与平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．5.答案：C解析：解：，，，，由正弦定理，可得，，A为锐角，．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由正弦定理可得sin A，结合大边对大角可求A 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求A的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.答案：C解析：解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得；故选：C．根据平移变换法则求解解析式．本题考查了函数的图象变换法则，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体，如图所示：．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解；“”化为：，即．由“”．反之不成立，可能，“”是“”的必要不充分条件．故选：B．“”化为：，进而判断出结论．本题考查了数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，，当P位于的中点时，由已知得，，，，，求得，，．，得．又，平面C，得到P的轨迹在线段上．由，可知为锐角，而，知P到棱的最大值为．则面积的最大值为．故选：C．由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱的最大值，代入三角形面积公式求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：C解析：解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，若四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳人．故选：C．分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：为纯虚数，，即．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.答案：解析：解：双曲线E的一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，若，可得，可得焦距为，解得；若，则，可得焦距为，解得，故双曲线的方程为或，取，双曲线的方程为，故答案为：．由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为，讨论，时，求得双曲线的焦距，解不等式可得所求范围，可取一个特殊值，可得所求的双曲线的标准方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．13.答案：6解析：解：，，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，，故．故答案为：6由已知可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．14.答案：1解析：解：根据题意，，，，则，则，又由，则，P是以A为圆心，半径为1的圆，则设，与夹角为，；则，，则，，，则有，又由，当且仅当，即时，等号成立，则有，又由，则，即与夹角的取值范围是；故答案为：1，根据题意，分析可得，进而可得，即可得，据此分析可得P是以A为圆心，半径为1的圆，则设，与夹角为，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．15.答案：解析：解：对于，当时，函数在单调递减，在上单调递减，但是函数在不单调递减．因此错误；对于，因为，当时，，，此时函数的最小值为0；当时，在上单调递增，没有最小值，且是，；当时，在上单调递减，最小值为1，所以函数的最小值为0；若函数无最小值，则a的取值范围为，正确；对于，令，即当时，；当时，；不妨设，若函数有三个零点，则，，，则．令，可得．时，，则三个零点．时，，则三个零点．综上可得：正确．故答案为：对于，当时，函数在单调递减，在上单调递减，作出函数图象即可判断出结论对于，对a分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误；对于，令，即当时，；当时，；不妨设，若函数有三个零点，可得，，，进而判断出结论．本题主要考查分段函数的性质、数形结合方法、方程与函数图象的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：若选，，因为是等差数列，所以，故，，，由可得可得或舍，故不存在使得；若选，，因为是等差数列，由，可得，，因为，所以，解可得或，因为，存在在使得；解析：分别选择，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断．本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．17.答案：Ⅰ证明：为线段AD的中点，且，，又，，四边形BCDE为平行四边形，得，平面PDC，平面PDC，平面PDC，平面BEGF，平面平面，；Ⅱ解：由Ⅰ可得，，，，且平面ABCD，以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，0，，1，，1，，，，与AB所成的角为，，，解得．则0，，，0，．，，．设平面BEF的一个法向量为．由，取，得．．设直线PB与平面BEF所成角为，则．即直线PB与平面BEF所成角的正弦值为．解析：Ⅰ由已知证明四边形BCDE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDC，再由直线与平面平行的性质得到；Ⅱ由Ⅰ可得，，结合，且平面ABCD，以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0，，由PC与AB所成的角为，利用数量积求夹角公式解得p，再求出平面BEF的一个法向量及的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面BEF所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在岁的居民人数为：万，由图2知年龄在岁的居民签约率为，该地区年齡在岁且已签约家庭医生的居民人数为：万．Ⅱ由题知此地区年龄段在的每个居民签约家庭医生的概率为，且每个居民之间是否签约都是独立的，设“从该地区年龄在岁居民中随机抽取两人”为事件B，随机变量为x，这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为：．Ⅲ由图1，2，知，年龄段该地区人数万签约率大于360，小于460，80以上由以上数据可知这个地区在这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应该着重提高这个年龄段的签约率．解析：Ⅰ由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在岁的居民人数为80万，由图2知年龄在岁的居民签约率为，由此能求出该地区年齡在岁且已签约家庭医生的居民人数．Ⅱ由题知此地区年龄段在的每个居民签约家庭医生的概率为，设“从该地区年龄在岁居民中随机抽取两人”为事件B，由此能求出这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率．Ⅲ由图1，2，列出表格，得到这个地区在这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应该着重提高这个年龄段的签约率．本题考查频率分布直方图，古典概型等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，考查统计概率思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得，解得，，，所以椭圆w的方程为；Ⅱ由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l：，由可得，解得，在直线l：，令，可得，即，，，．解析：Ⅰ由题意可得，解得，，，即可求出椭圆方程；Ⅱ设直线l：，与直线方程联立求出C的坐标，再根据斜率公式即可求出．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，令，解得：，，故在递增；Ⅱ原命题等价于：在区间上，方程有唯一解，设，，则，x，，的变化如下表：x递增极大值递减而，，，在上存在唯一一个根，即在上存在唯一一个零点，曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线．解析：Ⅰ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题等价于在区间上，方程有唯一解，设，，求出在上存在唯一一个根，从而证明结论．本题考查了函数的单调性问题，考查函数的零点以及导数的应用，考查转化思想，是一道综合题．21.答案：解：若点，相关，不妨设，，，，则，，，因此相关；，因此不相关，在第一象限内，，可知且，有个点，同理可得在第二，第三，第四象限内，各有个点，在x轴正半轴上，点满足条件，在y轴正半轴上，点满足条件，原点满足条件，因此集合中共有个点与点相关，若两个不同的点，相关，其中，，，，可知，下面证，若，则，成立，若，则，若，则，亦成立，由于，因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限，最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，因此S中元素个数的最大值为．解析：Ⅰ根据题意若点，相关，则，利用此不等式即可判定两点是否相关，Ⅱ根据，分别讨论在4个象限内，及坐标轴上与点相关的点的个数，即可算出结果；由Ⅰ可知若两个不同的点，相关，则，再证明，即可求出S中元素个数的最大值．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是中档题．。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}则()A. A⊆BB. A⊇BC. A⊆∁U BD. B⊆∁U A2.下列函数是偶函数且值域为[0,+∞)的是()①y=|x|②y=x3③y=2|x|④y=x2+|x|A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于()A. 2B. 3C. 4D. 54.设两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β.下列命题正确的是()．A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β5.在△ABC中，a=15，b=10，A=π3，则cos B等于()A. √33B. √63C. −√63D. ±√636.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 8B. 4C. 83D. 438.命题“a>b”是命题“ac2>bc2”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()A.B.C.D.10. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A. 10B. 15C. 20D. 24二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若复数(1+i)(a −i)为纯虚数，则实数a =______．12. 若双曲线的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点为(4,0)，则该双曲线的标准方程为________． 13. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1+2a n =0(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n =______．14. 已知O 为坐标原点，点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π.若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，则OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为S n .又___，且S 5=40，是否存在大于1的正整数k ，使得S k =S 1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．从①a 1=4，②d =−2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD//BC，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点．(1)求证：AM//平面PCD；DC，求直线MN与平面PCD所成角的(2)若∠ABC=90°，点N是线段CD上一点，且DN=13正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(Ⅰ)估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；(Ⅱ)据统计，该地区被访者的签约率约为44％.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−2,1)，且C 的离心率为√32． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求l 的方程．20. 已知函数f(x)=e x (sinx +cosx)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求证：曲线y =f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．21.已知集合U={1,2，…，n}(n∈N∗,n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=⌀，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)．(1)写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A⊇B．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能判断集合A和B的包含关系．本题考查两个集合的包含关系的判断，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．由函数的奇偶性与值域逐一判断，即可找出正确选项．解：①函数y=f(x)=|x|，可得f(−x)=|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f(x)=x3，可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，②错误；③易知y=2|x|为偶函数，但值域为[1,+∞)，故③错误；④y=f(x)=x2+|x|，可得f(−x)=(−x)2+|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且y= x2+|x|≥0，故④正确．故选C．3.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．故选B．4.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，属于基础题，根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明，逐个选项判断即可．解：A中，m与n可垂直、可异面、可平行、可相交，故A错误，B中m与n可平行、可异面，故B错误，C中若α//β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误，D中，m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴在β内存在一直线l//n，且l⊥α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．解：∵a=15，b=10，A=π3，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa=10×√3215=√33，∵a>b，可得B为锐角，。
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海淀区高三年级第二学期期末数学答案
2020.6 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
竺口禾
妾 D A B D C C A B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
题号11 12 1314
1 满足x2一）,2=凡
1;［叶］
答案 2 (A->2或A-<-2)即可 6
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16解：
选CDa1=4
.：包｝是等差数列
n(n-1)
..．S 11=n a1+�d
·: a1 = 4,S5 = 40
:. S5 = 20+10d =40
:.d =2
·:S1. =k2+3k,S
1 =a1 =4
·. ·鸟＝S
I
:.k2+3k=4
(k -1)(k + 4) = 0
:. k=1或k=-4（舍去）
:不存在k>1，使得s k= s1选＠d=-2
.：包｝是等差数列
n(n-l) :.Sn=na1+�d
·: d= -2, S5 = 40
:. S5 = 5a1 -20 =40
10 C
15 ＠＠）
:. g(x) = e'c os x = I在（咚］上存在唯—一个根，
叨(x)= Ze"'c os x-2 = 0在（气］上存在唯一一个零点，
直线y=f(x)在区间伈勹上有且仅有一条斜率为2的切线。
21.解：
若点A(x1,Y1), B(x2, Y2)相关，不妨设气小，X2;Y2 � 0,
刺X1+ Y1)2 + (x、2+ Y2)2之(xi+Y2)2 + (x2 + Y1)2台（：日－：迈）（Y1-Y2)之0
(1)CD(2 -3) (1 -2) � o,因此相关；＠（4 -2)(3 -4) < 0,因此不相关
(2)＠在第一彖限内，（．x-l) (y -1) � 0，可知l�x:::;n且1� y � n,有芷个点；在.T,轴正半轴上，点(1,0)满足条件；在Y轴正半轴上，点(0,1)满足条件；
原点(O,O)满足条件；因此集合几中共有4n2+ 5个点与点A(l,1)相关
＠若两个不同的点A(t1,y认B（功，初）相关，其中也·1心22 0，如，：1/22 o,
可知(x1-．吩）（加一扔）20．下叫(x1+初）－（切＋Y2)I乏l
若:1;1= X2,则小＃？儿，成立，若X1>X2,则？／12 Y2,若尤I<X2,则？／1::; Y2,亦成立．由于1亿＋初）－ （巧＋沁I::; (n + n) -(0 + 0) = 2n,
因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n—1个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点、为原点．
因此S中元素个数的最大值为4(2n -1) + 2 · 1 + 1 = 8n -1.。