也谈线段旋转扫过的面积
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编(含详细解答)
2020年中考数学一轮专项复习——图形的旋转问题中考真题汇编一．选择题1．（2019•济南）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（2019•湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD＝（）A．45°B．40°C．35°D．30°3．（2019•大连）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．菱形D．平行四边形4．（2019•内江）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 5．（2019•河北）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对6．（2019•毕节市）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方7．（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（）A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）8．（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（）A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）9．（2019•河南）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）10．（2019•贵港）若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n 的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7 11．（2019•宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2+）B．（﹣，3）C．（﹣，2+） D．（﹣3，）12．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）13．（2019•呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（）A．（﹣2，），（2，﹣）B．（﹣，2），（，﹣2）C．（﹣，2），（2，﹣）D．（，）（）14．（2019•荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A 顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（）A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）15．（2019•青岛）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣4，1）B．（﹣1，2）C．（4，﹣1）D．（1，﹣2）16．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）17．（2019•聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC 18．（2019•天津）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是（）A．AC＝AD B．AB⊥EB C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC二．填空题19．（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D 旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．20．（2019•包头）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是．21．（2019•梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP 的长是．22．（2019•河池）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是．23．（2019•贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE 交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．24．（2019•邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是．25．（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE 与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．26．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．27．（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，且AC＝2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为．28．（2019•哈尔滨）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为．29．（2019•海南）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB ＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝．30．（2019•山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．三．解答题31．（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．32．（2019•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B （﹣1，1），C（﹣1，4）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．（3）求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．（结果保留π）33．在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．（2）将△ABC绕着坐标原点顺时针旋转90°，画出旋转后的△A′B'C′．（3）接写出在上述旋转过程中，点A所经过的路径长．34．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．（1）找出与∠AMP相等的角，并说明理由．（2）如图2，CP＝BC，求的值．（3）在（2）的条件下，若MD＝，求线段AB的长．35．（2019•日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．36．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）37．（2019•辽阳）如图1，△ABC（AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE于点F．（1）∠AFD与∠BCE的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．①∠AFD与∠GCD的关系是，请说明理由；②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．38．（2019•本溪）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°，而∠AOB＝40°，∴∠AOD＝70°﹣40°＝30°．故选：D．3．解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．4．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∵∠B＝60°，AD＝AB，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝CB﹣BD＝1.6，故选：A．5．解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．6．解：如图所示：每次旋转4个图形为一个周期，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．7．解：作PQ⊥y轴于Q，如图，∵P（2，3），∴PQ＝2，OQ＝3，∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选：D．8．解：如图，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，∴点B′的坐标为（，﹣1）．故选：A．9．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10．解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，则m+n＝﹣2+7＝5．故选：C．11．解：如图，作B′H⊥y轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣，3），故选：B．12．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．13．解：如图，连接OA、OD，过点A作AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，∴D（，﹣2），∵B、D关于原点对称，∴B（﹣，2），故选：B．14．解：如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．∵∠AEO＝∠OFA′＝90°，∠AOE＝∠AOA′＝∠A′OF＝30°∴∠AOE＝∠A′，∵OA＝OA′，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴OF＝OE＝，A′F＝AE＝1，∴A′（，1）．故选：A．15．解：将线段AB先向右平移5个单位，点B（2，1），连接OB，顺时针旋转90°，则B'对应坐标为（1，﹣2），故选：D．16．解：∵点C的坐标为（2，1），∴点C′的坐标为（﹣2，1），∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），故选：A．17．解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．故选：C．18．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，C错误；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故D正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故B错误故选：D．二．填空题（共12小题）19．解：过点A作AM⊥BC于M，∵BD＝DC＝2，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；故答案为：8．20．解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故答案为：121．解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，∴OB＝AB＝1，∴OA＝OB＝，∴AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP＝∠EAG＝60°，∴∠CEP+∠ACD＝90°，∴∠CPE＝90°，∴PE＝CE＝﹣1，PC＝PE＝3﹣，∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3﹣）＝﹣1；故答案为：﹣1．22．解：∵A（2，0），B（0，1）∴OA＝2，OB＝1过点C作CD⊥x轴于点D，则易知△ACD≌△BAO（AAS）∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2∴C（3，2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得∴∴直线AC的解析式为y＝2x﹣4．故答案为：y＝2x﹣4．23．解：作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM＝4，∵正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，∴DE＝2，∴AE＝＝2，∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，∴AG＝AE＝2，BG＝DE＝2，∠3＝∠4，∠GAE＝90°，∠ABG＝∠D＝90°，而∠ABC＝90°，∴点G在CB的延长线上，∵AF平分∠BAE交BC于点F，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝∠1+∠3，即FA平分∠GAD，∴FN＝FM＝4，∵AB•GF＝FN•AG，∴GF＝＝2，∴CF＝CG﹣GF＝4+2﹣2＝6﹣2．故答案为6﹣2．24．解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．25．（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，26．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．27．解：∵点C的坐标为（1，0），AC＝2，∴点A的坐标为（3，0），如图所示，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A′的坐标为（1，2），再向左平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（﹣2，2），故答案为：（﹣2，2）．28．解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，∴AC＝A'C＝3，∠ACB＝∠ACA'＝45°∴∠A'CB＝90°∴A'B＝＝故答案为29．解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，∴∠BAC+α+β＝90°∴∠EAF＝90°∴EF＝＝故答案为：30．解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3cm，在Rt△AFG中，GF＝＝cm，AF＝2FG＝2cm，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2）cm，故答案为：（10﹣2）cm．三．解答题（共8小题）31．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1A＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A 1C1＝4，∴NC 1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．32．解：（1）如图，△A l B1C1为所作；（2）如图，△A2BC2为所作；（3）AB＝＝3，所以线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝π．33．解：（1）如图，A点坐标为（﹣2，3）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（2）如图，OA＝＝，所以点A所经过的路径长＝＝π．△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（﹣1，﹣1）．34．解：（1）∠D＝∠AMP．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°．∴∠D+∠DMA＝60°．由旋转的性质知，∠DMA+∠AMP＝60°．∴∠D＝∠AMP；（2）如图，过点C作CG∥BA交MP于点G．∴∠GCP＝∠B＝30°，∠BCG＝150°．∵∠ACB＝90°，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝BM＝AM．∴∠MCB＝∠B＝30°．∴∠MCG＝120°．∵∠MAD＝180°﹣60°＝120°．∴∠MAD＝∠MCG．∵∠DMG﹣∠AMG＝∠AMC﹣∠AMG，∴∠DMA＝∠GMC．在△MDA与△MGC中，∴△MDA≌△MGC（ASA）．∴AD＝CG．∵CP＝BC．∴CP＝BP．∵CG∥BM，∴△CGP∽△BMP．∴＝＝．设CG＝AD＝t，则BM＝3t，AB＝6t．在Rt△ABC中，cos B＝＝．∴BC＝3t．∴＝＝；（3）如图，由（2）知△CGP∽△BMP．则MD＝MG＝．∵CG∥MA．∴∠CGH＝∠AMH．∵∠GHC＝∠MHA，∴△GHC∽△MHA．∴＝＝＝．∴HG＝MG＝×＝．∴MH＝﹣＝．由（2）知，CG＝AD＝t，则BM＝AM＝CA＝3t．∴CH＝t，AH＝t．∵∠MHA＝∠DHM，∠HMA＝∠D．∴△MHA∽△DHM．∴＝．∴MH2＝AH•DH，即（）2＝t t．解得t1＝，t2＝﹣（舍去）．∴AB＝6t＝2．35．证明：（1）∵对角线AC的中点为O∴AO＝CO，且AG＝CH∴GO＝HO∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA ∴△COF≌△AOE（ASA）∴FO＝EO，且GO＝HO∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴AE2＝（9﹣AE）2+9，∴AE＝536．解：（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝AE＝AD＝AC，∴＝＝1．（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∴＝＝．（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．∵∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，∴∠DAE＝∠CAG，∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n∴＝＝．37．解：（1）如图1，AF与CD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，∴∠ACD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠BCE，故答案为：∠AFD＝∠BCE；（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD，∵∠AMC＝∠DMF，∴△ACM∽△DFM，∴∠ACD＝∠AFD，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，∴△AOD≌△COG（SAS），∴AD＝CG，∴CG＝CD，∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，故答案为：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，∴∠GCA＝∠BCE，∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠GCB＝∠ACE，由①知，CG＝CD，CD＝CA，∴CG＝CA，∵BC＝EC＝4，∴△GCB≌△ACE（SAS），∴BC＝CE＝4，∴GB＝AE，∵CG＝CD，OG＝OD，∴CO⊥GD，∴∠COG＝∠COB＝90°在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠ACB＝2，CO＝BC•cos∠ACB＝2，在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2，∴GB＝CO+BO＝2+2，∴AE＝2+2．38．解：（1）结论：∠ECO＝∠OAC．理由：如图1中，连接OE．∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA，∵CE＝ED＝EB＝BD，CO＝OA＝OB，∴∠OCA＝∠A，∵BE＝ED，BO＝OA，∴OE∥AD，OE＝AD，∴CE＝EO．∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO，∴∠ECO＝∠OAC．故答案为：∠OCE＝∠OAC．（2）如图2中，∵OC＝OA，DA＝DB，∴∠A＝∠OCA＝∠ABD，∴∠COA＝∠ADB，∵∠MON＝∠ADB，∴∠AOC＝∠MON，∴∠COM＝∠AON，∵∠ECO＝∠OAC，∴∠MCO＝∠NAO，∵OC＝OA，∴△COM≌△AON（ASA），∴OM＝ON．②如图3﹣1中，当点N在CA的延长线上时，∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°，∴∠AON＝∠ANO＝15°，∴OA＝AN＝m，∵△OCM≌△OAN，∴CM＝AN＝m，在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°，∴BD＝m，∵BE＝ED，∴CE＝BD＝m，∴EM＝CM+CE＝m+m．如图3﹣2中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°，∴∠ONH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HN＝m，∵AH＝m，∴CM＝AN＝m﹣m，∵EC＝m，∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m﹣m，综上所述，满足条件的EM的值为m+m或m﹣m．。
线段旋转扫过的图形
课题：§线段旋转扫过的面积泉州市经济技术开发区泉州经济技术开发区实验学校黄立内容分析1．课标要求通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行弧长和面积的相关计算。
2．教材分析知识层面：旋转的基本性质：对应线段相等，对应角相等，图形中每一个点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。
角的动态定义：将一条射线绕着端点旋转一定的角度所形成的图形。
圆的定义的轨迹说：将一条线段绕着一个端点旋转一周所形成的图形。
本课时既承接这三个知识点，又通过图形面积的割补法推导所得线段旋转扫过的面积，也丰富了圆中的计算的相关应用。
能力层面：学生在学习了旋转的基本性质，已经具有观察和操作能力，积累了一定的探索和推理经验，具备进行“探索—猜想—证明”线段旋转扫过的面积的基础。
先通过学生课前分组发现问题，操作观察，思考解决方案，培养学生的创新意识和建模能力；由合情推理得出结论，再演绎推理论证结论的合理性，进一步发展学生推理证明的能力；最后回到课前的问题解决来培养学生的应用意识。
思想层面：线段旋转扫过的面积的探索和论证过程为渗透数学思想方法提供一个发展提高平台：通过对不规则图形的割补为规则图形进行计算，体现化归与转化的思想；通过线段端点在垂足同侧→线段端点在垂足异侧，这个探究过程体现从特殊到一般的思想，有助于培养学生几何直观能力和思维层次性。
3．学情分析（1）学生已经学习了旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说，并且进行了实际操作验证，这为探究线段旋转扫过的面积提供了认知基础。
（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究线段旋转扫过的面积的证明策略及方法提供了情感保障。
（3）学生在探究线段旋转扫过的面积过程中，其认知顺序可能是建构型的。
旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说是其原有知识储备的主要图式，通过对原有图式完全可以建立线段旋转过程的几何模型，进一步探究求面积的割补方法。
2020中考数学压轴题旋转问题带答案
旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
专题14动态中的路径扫过的图形问题(教师)
12.如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分 别是 A(3，2)，B(1，3)．△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1.
(1)点 A 关于点 O 成中心对称的点的坐标为________； (2)点 A1 的坐标为________； (3)在旋转过程中，求点 B 经过的路径的长．
解析 为了方便地画出小球 P 走过的路线，将给定的正方形分成 3×3 的正方形网格，根据 已知中的点 E，F 的位置，由入射角等于反射角，第一次碰撞点为 F，在反射的过程中，根据入
射角等于反射角可画出小球 P 走过的路线如图；由勾股定理可以得出 EF＝FL＝HM＝MR＝ 5，NE
＝NR＝LG＝GH＝12 5，故小球经过的路程为 6 5，
答案：（1）∵CE 是⊙O 的直径，点 F、G 在⊙O 上，∴∠EFC=∠EGC=90°， 又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四边形 EFCG 是矩形
（2）①∵四边形 EFCG 是矩形，∴∠BCD=90°，∴ tanÐ BDC= BC = AD = 4 .
CD AB 3
∵∠CEF=∠BDC，∴ tanÐ CEF= tanÐ BDC，即 CF = 4，\ EF = 3 CF.
A．2 015π
B．3 019.5π
C．3 018π
D．3 024π
解析
转动一次
A
90π×4
90π×5 5π
的路线长是： 180 ＝2π，转动第二次的路线长是： 180 ＝ 2 ，
90π×3 3 转动第三次的路线长是： 180 ＝2π，
转动第四次的路线长是：0，
浙江省2019-2020学年九年级上册数学《圆的基本性质》试题分类——解答题(含答案)
2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题1．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．2．（2019秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E 是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．3．（2019秋•江干区期末）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB=2√3．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．4．（2019秋•丽水期末）如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．5．（2019秋•奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．6．（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．7．（2019秋•义乌市期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（2）将△A′B′C′绕A′顺时针旅转90°画出旅转后得到的△A″B″C″并直接写出此过程中线段A′C′扫过图形的面积（结果保留π）．8．（2019秋•鄞州区期末）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．9．（2019秋•西湖区期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．10．（2019秋•下城区期末）如图，MB ，MD 是⊙O 的两条弦，点A ，C 分别在MM ̂，MM ̂上，且AB ＝CD ，M 是MM̂的中点． （1）求证：MB ＝MD ；（2）过O 作OE ⊥MB 于点E ，当OE ＝1，MD ＝4时，求⊙O 的半径．11．（2019秋•温州期末）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，且AB ∥CE ，求证：MM̂=MM ̂．12．（2019秋•温州期末）如图，已知△ABO 中A （﹣1，3），B （﹣4，0）．（1）画出△ABO 绕着原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A 1B 1O ；（2）求第（1）问中线段AO 旋转时扫过的面积．13．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√3．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ =√3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．14．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在BC 上取一点D 使AD ＝BD ，连结AD ，作△ACD 的外接圆⊙O ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝BE ；（2）若CD ＝3，AB ＝4√5，求AC 的长．15．（2019秋•温州期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．16．（2019春•余姚市期末）如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 均为格点．在下列各图中画出四边形ABCD ，使点D 也为格点，且四边形ABCD 分别符合下列条件：（1）是中心对称图形（画在图1中）．（2）是轴对称图形（画在图2中）．（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形（画在图3中）．17．（2019秋•萧山区期末）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）求证：OA 平分∠BAC ．（2）若MM ̂：MM ̂=3：2，试求∠BAC 的度数．18．（2020春•西湖区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按照如图①的方式叠放在一起（∠A ＝30°，∠ABC ＝60°，∠E ＝∠EDC ＝45°），且三角板ACB 的位置保持不动．（1）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE ＝60°，求∠DCB 的度数．（2）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转，当旋转到ED ∥AB 时，求∠BCE 的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．（3）当0°＜∠BCE ＜180°且点E 在直线BC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE 所有可能的值；若不存在，请说明理由．19．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝8，∠CBD ＝30°，求图中阴影部分的面积．20．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，以OA 为半径的⊙O 交BO 于点C ，交BO 延长线于点D ．在⊙O 上取一点E ，且MM̂=MM ̂，延长DE 与BA 交于点F ． （1）求证：△BDF 是直角三角形；（2）连接AC ，AC ＝2√10，OC ＝2BC ，求AF 的长．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接AD ，如图1所示：设∠BDC ＝γ，∠CAD ＝β，则∠CAB ＝∠BDC ＝γ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝β，∴∠DAB ＝β﹣γ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠BDC =12∠ABD =12α； （2）连接BC ，如图2所示：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC +∠ABC ＝90°，∵CE ⊥AB ，∴∠ACE +∠BAC ＝90°，∴∠ACE ＝∠ABC ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝∠ABC ＝β，∴∠ACE ＝β；（3）连接OC ，如图3所示：∴∠COB ＝2∠CAB ，∵∠ABD ＝2∠BDC ，∠BDC ＝∠CAB ，∴∠COB ＝∠ABD ，∵∠OHC ＝∠ADB ＝90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴MM MM =MM MM =12， ∴BD ＝2OH ＝10，∴AB =√MM 2+MM 2=√242+102=26，∴AO ＝13，∴AH ＝AO +OH ＝13+5＝18，∵∠EAH ＝∠BAD ，∠AHE ＝∠ADB ＝90°，∴△AHE ∽△ADB ，∴MM MM =MM MM ，即1824=MM 26， ∴AE =392， ∴DE ＝AD ﹣AE ＝24−392=92．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵D 为MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠CAD ＝∠ACD ，∴MM̂=2MM ̂， ∴∠ACB ＝2∠ACD ，又∵∠DAE ＝105°，∴∠BCD ＝105°，∴∠ACD =13×105°＝35°，∴∠CAD ＝35°；（2）∵∠DAE ＝105°，∠CAD ＝35°，∴∠BAC ＝40°，连接OB ，OC ，∴∠BOC ＝80°，∴弧BC 的长=80M ×4180=16M 5．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC=12AB=√3，∵点C为OD的中点，∴OC=12OB，∵cos∠COB=MMMM=12，∴∠COB＝60°，∴OC=√33BC=√33×√3=1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB=60×M×22360−12×√3×1=2 3π−√32．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=√2BO′＝5√2，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5√2．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=√MM′2−MM2=√342−302=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C ＝∠ADB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣28°＝62°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =12∠CAB ＝31°， ∴∠CBD ＝∠CAD ＝31°；（2）连接OD 交BC 于E ，如图，在Rt △ACB 中，BC =√62−22=4√2， ∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴MM̂=MM ̂， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE =12BC ＝2√2，∴OE =12AC =12×2＝1， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝3﹣1＝2，在Rt △BDE 中，BD =√22+(2√2)2=2√3， 在Rt △ABD 中，AD =√62−(2√3)2=2√6．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作；（2）如图，△A ″B ″C ″为所作，线段A ′C ′扫过图形的面积=90⋅M ⋅42360=4π，．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°∴∠A +∠ABC ＝90°∵DO ⊥AB ，∴∠A +∠D ＝90°∴∠D ＝∠ABC ．（2）∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCE ，∴∠OCE ＝∠D ．而∠COE ＝∠COD ，∴△OCE ∽△ODC ，∴MM MM =MM MM ，即M 3=3M∴y =9M （0＜x ＜3）．（3）设∠B ＝a ，则∠BCO ＝a ，∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝∠BCO ＝a在△BCO 中，a +a +90°+a ＝180°， ∴a ＝30°∴S =3×3√32−30M ⋅32360−√34×32=9√34−34π． 9．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OB ，∵OA ⊥BC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠AOC ＝∠AOB ，由圆周角定理得，∠AOB ＝2∠ADB ＝60°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝60°；（2）∵OA ⊥BC ，∴BE =12BC ＝4，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°，∴OB =MM MMM60°=8√33， ∴劣弧BC 的长=120M ×8√33180=16√39π（cm ）． 10．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB ＝CD ， ∴MM̂=MM ̂， ∵M 是MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴BM ＝DM ．（2）解：如图，连接OM ．∵DM ＝BM ＝4，OE ⊥BM ，∴EM ＝BE ＝2，∵OE ＝1，∠OEM ＝90°，∴OM =√MM 2+MM 2=√12+22=√5，∴⊙O 的半径为√5．11．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴∠DAC ＝∠ACE ，∴MM̂=MM ̂． 12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1O 即为所求；（2）线段AO 旋转时扫过的面积为：90×M ×(√10)2360=52M ． 13．【答案】（1）6√77； （2）83√3．【解答】解：如图：过点P 作PT ⊥BQ 于点T ，∵AB ＝2，AD ＝BC ＝2√3，DQ =√3，∴AQ =√3，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理可得：BQ =√7．又∵四边形BPDQ 是平行四边形，∴BP ＝DQ =√3∵∠AQB ＝∠TBP ，∠A ＝∠BTP ，∴△AQB ∽△TPB ，∴MM MM =MM MM ， 即√3=√3√7， ∴BT =3√77，∴BE ＝2BT =6√77． （2）设菱形BPDQ 的边长为x ， 则AQ ＝2√3−x ，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理，得AB 2+AQ 2＝BQ 2， 即4+（2√3−x ）2＝x 2，解得x =43√3 由（1）可知： MM M =2√3−MM， ∴BT ＝2√3−x ＝2√3−4√33=2√33， ∴BE =43√3，∴点E 、Q 重合， ∴圆P 经过点B 、Q 、D ， ∴S 菱形=83√3． 14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连结DE ，∵∠C ＝90°，∴AD 为直径，∴DE ⊥AB ，∵AD ＝BD ，∴AE ＝BE ；（2）设BD ＝x ，∵∠B ＝∠B ，∠C ＝∠DEB ＝90°∴△ABC ～△DBE ，∴MM MM =MM MM ， ∴4√5=2√5M +3， ∴x ＝5．∴AD ＝BD ＝5，∴AC =√52−32=4．15．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB＝BD＝CD∴AE＝EC，∴CD＝CE，∵∠C＝60°，∴△EDC是等边三角形，∵DH⊥EC，CD＝4，∴DH＝CD•sin60°＝2√3．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；（2）如图2，四边形ABCD为所作；（2）如图3，四边形ABCD为所作．17．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：延长半径AO 交⊙O 于D ，∴MMM̂=MMM ̂ ∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴OA 平分∠BAC ；（2）解：∵MM̂：MM ̂=3：2，MM ̂=MM ̂ ∴MM̂=28×360°=90° ∴∠BAC ＝45°；18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2中，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACD ，∵∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝30°，∴∠BCD ＝∠BCE +∠ECD ＝30°+90°＝120°；（2）如图2中，当DE ∥AB 时，延长BC 交DE 于M ，∴∠B ＝∠DMC ＝60°，∵∠DMC ＝∠E +∠MCE ，∴∠ECM ＝15°，∴∠BCE＝165°，当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；（3）存在．如图，①CD∥AB时，∠BCE＝30°，②DE∥BC时，∠BCE＝45°，③CE∥AB时，∠BCE＝120°，④DE∥AB时，∠BCE＝165°，⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE的值为30°或45°或120°或165°或135°．19．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO=120⋅M⋅42360−12•4√3×2=16M3−4√320．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H．∵MM̂=MM ̂， ∴OA ⊥EC ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，∴DF ⊥EC ，∴OA ∥DF ，∵BF 是⊙O 的切线，∴OA ⊥BF ，∴DF ⊥BF ，∴∠F ＝90°，∴△DFB 是直角三角形．（2）解：∵∠DEC ＝∠F ＝90°，∴EC ∥FB ，∴MM MM =MM MM =2，∴OH ＝2AH ，设AH ＝m ，则OH ＝2m ，OC ＝3m ， ∵CH 2＝OC 2﹣OH 2＝AC 2﹣AH 2，∴9m 2﹣4m 2＝40﹣m 2，∴m =2√153（负根已经舍弃）， ∴CH =10√33， ∵OA ⊥EC ，∴EH ＝HC =10√33， ∵∠F ＝∠F AH ＝∠AHE ＝90°，∴四边形AFEH 是矩形，∴AF ＝EH =10√33．。
旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积
旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题，其中的阴影部分或成一个整体或是零散分布，其形状或是规则图形或是不规则图形，其状态往往是动态的．解决此类问题的关键是以静制动，化不规则图形为规则图形，再用相应规则图形的面积公式求解．一、点旋转例1如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，将点C绕点D逆时针旋90至点E，连接AE，若AD＝3，BC＝5，则△ADE的面积是 ________．析解：已知梯形的上下底长，这个梯形的形状、大小是不能确定的，所以腰长也不能确定，从而△ADE的形状、大小亦不能确定，似乎△ADE的面积不可求．但据“点E是点C绕点D逆时针旋90得到，且梯形是直角梯形”在这样的特定条件下，考虑到梯形的上下底之差为一定值“2”，作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作CG⊥AD交AD的延长线于G，则四边形ABCG是矩形，DG＝2，易证Rt△DEF≌Rt△CDG(角、角、边)，所以EF＝DG＝2，故△ADE的面积等于×AD×EF＝×3×2＝3．二、点平移例2如图2，半圆O的直径为10，C、D是半圆的三分点，点P是直径AB 上任一点，则阴影部分的面积是_______．析解：由于点P在直径AB上平移（C、D点的位置不动），阴影部分的形状不规则且是不确定．考虑到当点P运动到圆心O这一特殊位置时，所求图形面积是一扇形面积，故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求．于是连OC、OD、CD，因C、D是半圆的三等分点，所以∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60，所以△OCD是等边三角形，所以CD∥AB，所以S＝S，从而S＝S ，故阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝＝．三、线段旋转例3如图3，矩形ABCD的对角线AC和BD相交点O，过点O的直线绕点O旋转，分别交AD和BC于点E、F，若AB＝4，BC＝7，则图中阴影部分的面积是_____．析解：乍看，随着直线EF绕点O旋转，阴影部分总是零散分布且△AOE和△BOF的形状、大小都未确定，但因矩形对边平行，不难看出，只要点E不与点A 或D重合，点F不与点B或C重合，总有S＝S或S＝S（因为△BOF≌△DOE，△AOE≌△COF），故可将零散分布的三块（阴影部分）集中到同一三角形△ACD或△BCD中去，即图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半：×7×4＝14，事实上，当点E或F与矩形端点重合时，三块阴影部分变成两块阴影部分，其面积正好也等于△ACD或△BCD面积．四、线段平移例4如图4，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为8和6，将BD沿CB方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的E点重合，求阴影部分的面积．析解：本题虽有动态条件，但因菱形是确定的，所以阴影部分的形状、大小是确定的．若整体求之，需知其形状到底是哪类四边形，由平移知，AE∥BD，AD ∥EB，且AE＝BD＝6，因为AC⊥BD，所以AD＝BC＝＝＝5，又AE∥BD，所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形，故其面积＝（3+6）×4＝18；若分割求之，则可分别求得两个三角形的面积后，再相加（同学们不妨试试）．五、图形的旋转例5如图5，汽车在雨中行驶时，司机为看清前方的道路，要启动挡风玻璃前的雨刷．图是一个汽车雨刷示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？某同学仔细观察了雨刷的转动情况，量得CD＝8cm,∠DBA＝20,端点C和D与A的距离是115cm和35cm．他经认真考虑，只选用了其中部分数据就求得了结果．请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积．析解：雨刷扫过的面积是一个不规则图形的面积，需转化为规则图形面积来计算．连AC、AD，不难看出：阴影部分的面积＝扇形ACC的面积+△AD C的面积－△ADC的面积－扇形ADD的面积，由于△AD C是△ADC绕点A旋转90得到的，所以△AD C的面积＝△ADC的面积，故阴影部分的面积＝扇形ACC的面积－扇形ADD的面积＝（115－32）＝300．六、图形平移例6如图6，将⊙O沿直线L平移得到⊙O和⊙O，且其中一个圆经过另一个圆的圆心，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．析解：显然，由⊙O平移知，图中阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分AO B O的面积的2倍（空白部分是对称的）．连AB、O O、O A、O B，则AB与O O互相垂直平分（设垂足为C），因为O C＝ O A，所以∠∠O AC＝30，从而∠A O B＝120，那么这个空白部分的面积等于－×2×4sin60＝－2，故图中阴影部分的面积为－2（－2）＝＋4．事实上，由于图形阴影部分千姿百态，且题型多样，设及的知识面广，所以求图形中阴影部分面积是一项复杂的“工程”，受学段和本人水平所限，本文仅是投石问路、抛砖引玉罢了．2011-07-08 人教网。
中考数学图形旋转问题专题旋转过程中的面积问题
旋转过程中的面积问题
◆典例一：如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为▲
【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=AD′，设AD=AD′=BE=x，则DE=10-2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积：
在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，由勾股定理求AB=。
由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10-2x。
∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°。
∴△A′DE∽△ACB，∴，即，解得x=3。
∴S△A′DE=DE×A′D=×（10-2×3）×3=6。
◆典例二：如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【】
A．πB．C．D．
【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。
【解析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、BCD和
△ACD计算即可：。
2022-2023学年山西省太原市第五十三中学九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点,,A B C 都在这些小正方形的顶点上，则CBA ∠的余弦值是（ ）A ．313B ．23C ．21313D ．313133．二次函数2y ax bx c ++＝的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b ﹣＝；②240b ac ﹣＞；③520ab c +﹣＞；④430b c +＞，其中错误结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A ．30米B ．60米C ．40米D ．25米5．一个高为3 cm 的圆锥的底面周长为8π cm ，则这个圆锥的母线长度为（ ）A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．5π cm6．下列说法：①三点确定一个圆；②任何三角形有且只有一个内切圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④正多边形一定是中心对称图形，其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．2B ．2±C ．8±D ．22±8．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．9．已知29x mx -+是关于x 的一个完全平方式，则m 的值是（ ）．A ．6B ．6±C ．12D ．8±10． 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为( ).A ．－1或2B ．－1或1C ．1或2D ．－1或2或111．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为(2，0)，若抛物线 2y x n =+(n 为常数)与扇形 OAB 的边界总有两个公共点则 n 的取值范围是( )A ．n>-4B ．14n <C ．1 -4n 4<<D ．1 -4n 4≤≤12．如图，一次函数y=2x 与反比例函数y=k x （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点P 在以C （﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，已知OQ 长的最大值为32，则k 的值为（ ）A ．4932 B ．2518C ．3225D ．98 二、填空题（每题4分，共24分） 13．若关于x 的一元二次方程2(2)x m +=有两个相等的实数根，则m 的值为_________．14．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan 3DCB ∠=，则点D 的坐标为___________．16．已知在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 与CD 上的点，且∠EAF=45°，AE 与AF 分别交对角线BD 于点M 、N ，则下列结论正确的是_____.①∠BAE+∠DAF=45°；②∠AEB=∠AEF=∠ANM ；③BM+DN=MN ；④BE+DF=EF17．已知57y x =，则+-x y x y =_____________. 18．ABC ∆中，若6AB =，8BC =，120B ∠=︒，则ABC ∆的面积为________.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2),(3,4),(2,6)A B C ---，在给出的平面直角坐标系中；（1）画出ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后得到的11AB C ∆；并直接写出1B ，1C 的坐标；（2）计算线段AB 旋转到1AB 位置时扫过的图形面积.20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =.连接AF 交⊙O 于点D ，连接BD BF ，.（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若5AF =，求⊙O 的半径.21．（8分）如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题：⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值；⑶当t的值为，△AMN是等腰三角形．23．（10分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x …-2 -1 0 1 2 …y …0 -2 -2 0 4 …（1）求该二次函数的表达式；（2）当y≥4时，求自变量x的取值范围．24．（10分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．（1）在图①中，PC：PB＝．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝1．②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．25．（12分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？26．某校一课外活动小组为了了解学生最喜欢的球类运动况,随机抽查了本校九年级的200名学生,调查的结果如图所示，请根据该扇形统计图解答以下问题：(1)图中x 的值是________；(2)被查的200名生中最喜欢球运动的学生有________人；(3)若由3名最喜欢篮球运动的学生(记为123A A A 、、),1名最喜欢乒乓球运动的学生(记为B ),1名最喜欢足球运动的学生(记为C )组队外出参加一次联谊活动．欲从中选出2人担任组长(不分正副),列出所有可能情况,并求2人均是最喜欢篮球运动的学生的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确故选：D ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2、D【分析】由题意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB 的长，再根据余弦的定义即可求出答案．【详解】解：如下图，根据题意可知，AD=2，BD=3， 由勾股定理可得：224913AB AD BD =++= ∴CBA ∠3131313=． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是利用网格求角的三角函数值，解此题的关键是利用勾股定理求出AB 的长．3、A 【分析】①对称轴为32x =-，得3b a ＝； ②函数图象与x 轴有两个不同的交点，得240b ac ∆＝﹣＞；③当1x ＝-时，0a b c +﹣＞，当3x ＝-时，930a b c +﹣＞，得520a b c +﹣＞；④由对称性可知1x ＝时对应的y 值与4x ＝-时对应的y 值相等，当1x ＝时0433333330a b c b c b b c b a c a b c +++++++++＜，＝＝＝（）＜【详解】解：由图象可知00a c ＜，＞，对称轴为32x =-， 322b x a∴=-=-， 3,b a ∴=，①正确；∵函数图象与x 轴有两个不同的交点，240b ac ∴∆＝﹣＞，， ②正确；当1x ＝﹣时，0a b c +-＞，当3x ＝-时，930a b c +﹣＞，10420a b c ∴+﹣＞，520a b c ∴+﹣＞，③正确；由对称性可知1x ＝时对应的y 值与4x ＝-时对应的y 值相等，∴当1x ＝时0a b c ++＜，3b a ＝，433333330b c b b c b a c a b c ∴+++++++＝＝＝（）＜，430b c ∴+＜，④错误；故选A ．【点睛】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．4、C【分析】根据三角形中位线定理可得DE=12BC ，代入数据可得答案． 【详解】解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，∴DE=12BC ， ∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5、C【分析】由底面圆的周长公式算出底面半径，圆锥的正视图是以母线长为腰，底面圆直径为底的等腰三角形，高、底面半径和母线长三边构成直角三角形，再用勾股定理算出母线长即可．【详解】解：由圆的周长公式2r=8ππ 得82r ππ= =4 由勾股定理222l h r =+l =故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的周长公式，圆锥的正视图勾股定理等知识点．6、A【分析】根据圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，依次分析可得出正确的命题，即可得出答案．【详解】①不共线的三点确定一个圆，错误，假命题；②任何三角形有且只有一个内切圆，正确，真命题；③在同一个圆中,圆心角相等所对的弧也相等,错误，假命题；④正五边形、正三角形都不是中心对称图形，错误，假命题；故答案为A.【点睛】本题考查了圆的性质、三角形内切圆的性质、圆心角的性质以及中心对称图形的知识，解题时记牢性质和判定方法是关键．7、D【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆=，即可得到答案【详解】解：∵一元二次方程220x mx ++=有两个相等的实数根，∴24120m ∆=-⨯⨯=，解得：m =±故选择：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值.8、D【解析】试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论．从上往下看该几何体的俯视图是D ．故选D ．考点：简单几何体的三视图.9、B【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3积的2倍，故m=±1．【详解】∵（x ±3）2=x 2±1x+32，∴29x mx -+是关于x 的一个完全平方式，则m=±1．故选：B ．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．10、D【解析】当该函数是一次函数时，与x 轴必有一个交点，此时a －1＝0，即a ＝1.当该函数是二次函数时，由图象与x 轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a －1)×2a ＝0，解得a1＝－1，a2＝2.综上所述，a ＝1或－1或2.故选D.11、D【分析】根据∠AOB ＝45°求出直线OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的n 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B 时的n 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出n 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，∠AOB ＝45°，∴直线OA 的解析式为y ＝x ，联立2y x n y x⎧=+⎨=⎩得：20x x n -+=， 24140b ac n ∆=-=-=，得14n =时，抛物线与OA 有一个交点， 此交点的横坐标为12， ∵点B 的坐标为（2，0），∴OA ＝2，∴点A 的横坐标与纵坐标均为：2sin 45⨯︒=，∴点A ，∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B （2，0）时，40n +=，解得n=-4，∴要使抛物线2y x n =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数n 的取值范围是1-4n 4≤≤， 故选：D ．【点睛】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．12、C【解析】如图，连接BP ，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=12BP ，再根据OQ 的最大值从而可确定出BP 长的最大值，由题意可知当BP 过圆心C 时，BP 最长，过B 作BD ⊥x 轴于D ，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B 坐标，再根据点B 在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k 的值.【详解】如图，连接BP ，由对称性得：OA=OB ，∵Q 是AP 的中点，∴OQ=12BP ， ∵OQ 长的最大值为32， ∴BP 长的最大值为32×2=3， 如图，当BP 过圆心C 时，BP 最长，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵CP=1，∴BC=2，∵B 在直线y=2x 上，设B （t ，2t ），则CD=t ﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t ，在Rt △BCD 中，由勾股定理得： BC 2=CD 2+BD 2，∴22=（t+2）2+（﹣2t ）2，t=0（舍）或t=﹣45， ∴B （﹣45，﹣85）， ∵点B 在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上，∴k=﹣45×（-85）=3225， 故选C ．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP 过点C 时OQ 有最大值是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、0【分析】根据一元二次方程根的判别式∆的正负判断即可.【详解】解：原方程可变形为2440x x m ++-=，由题意可得164(4)40m m ∴∆=--==所以0m =故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.14、旋转【分析】图形变换的形式包括平移、旋转和轴对称．【详解】图形变换的形式，分别为平移、旋转和轴对称故答案为：旋转．【点睛】本题考查了图形变换的几种形式，分别为平移、旋转和轴对称，以及他们的组合变换．15、715,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据已知条件tan 3DCB ∠=，需要构造直角三角形，过D 做DH ⊥CR 于点H,用含字母的代数式表示出PH 、RH,即可求解．【详解】解：过点D 作DQ ⊥x 轴于Q,交CB 延长线于R,作DH ⊥CR 于H,过R 做RF ⊥y 轴于F,∵抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， ∴A(1,0), B(2,0)C(0,2)∴直线BC 的解析式为y=-x+2设点D 坐标为(m,m ²-3m+2),R(m,-m+2),∴DR=m ²-3m+2-(-m+2)=m ²-2m∵OA=OB=2∴∠CAO=ACO=45°=∠QBR=∠RDH,∴2m ,2(2)DH RH m ==- 222(2)(4)CH CR HR m m m ∴=-=--=- ∵tan 3DCB ∠=2(2)232(4)m DH CH m m -∴==- 72m ∴= 经检验是方程的解.2277153232224m m ⎛⎫∴-+=-⨯+= ⎪⎝⎭715(,)24D ∴ 故答案为：715(,)24D 【点睛】本题考查了函数性质和勾股定理逆定理的应用还有锐角三角函数值的应用，本题比较复杂，先根据题意构造直角三角形．16、①②④【分析】由∠EAF=45°，可得∠BAE+∠DAF=45°，故①正确；如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，根据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB ，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM ；故②正确；由旋转的性质得，BH=DF ，AH=AF ，∠BAH=∠DAF ，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF ，∴∠AEB=∠AEF ，求得BE+BH=BE+DF=EF ，故④正确；BM 、DN 、MN 存在BM 2+DN 2=MN 2的关系，故③错误.【详解】解：∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，故①正确；如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，由旋转的性质得，BH=DF ，AH=AF ，∠BAH=∠DAF ，∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠EAH=∠EAF=45°，在△AEF 和△AEH 中， 45AH AF EAH EAF AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH （SAS ），∴EH=EF ，∴∠AEB=∠AEF ，∴BE+BH=BE+DF=EF ，故④正确；∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN ， ∠AEB=90°-∠BAE=90°-（∠HAE-∠BAH ）=90°-（45°-∠BAH ）=45°+∠BAH ， ∴∠ANM=∠AEB ，∴∠AEB=∠AEF=∠ANM ；故②正确；BM 、DN 、MN 满足等式BM 2+DN 2=MN 2，而非BM+DN=MN ，故③错误.故答案为①②④.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．17、6【分析】根据等比设k 法，设7,5x k y k ==则，代入即可求解 【详解】∵57y x = ∴设7,5x k y k ==则∴75126752x y k k k x y k k k++===-- 故答案为6【点睛】本题考查比例的性质，遇到等比引入新的参数是解题的关键。
线段旋转的面积问题
线段旋转的面积问题作者：黄栋来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第03期旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS （〗〖JZ〗图12〖TS）〗图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot （β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.所以图7总的面积为：S=S1+S4（0经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.那么弓形面积-重叠部分就是：。
人教版九年级数学上册《圆》试卷(含答案)
圆 单元检测题一、选择题（每小题3分，共30分）1．若⊙O 的半径为8cm ，点A 到圆心O 的距离为6cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 的半径为5，圆心到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．相交或相切3．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C＝50°，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，则∠BAD 的度数是( )A ．45°B ．85°C ．90°D ．95°4.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A ．2 3 cmB ．4 3 cmC ．6 3 cmD ．8 3 cm5.如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点D ，则∠D 的度数是( )A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°6.如图，等边△EFG 内接于⊙O，其边长为26，则⊙O 的内接正方形ABCD 的边长为( )A. 6B.563C ．4D ．5 7.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB ，OD.若∠BOD＝∠BCD，则BD ︵的长为( )A ．π B.32π C ．2π D ．3π8.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C＝40°，则∠ABD 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．80 °D ．90°9.半径为R 的圆内接正三角形的面积是（ ）A ．232RB ．2R πC ．2332RD ．2334R 10.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）A ．10πB ．103C ．103πD ．π二、填空题（每小题4分，共24分）11．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是_____12. 如图,AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线,AD=4,则△ABC 的周长是________．13. 如图，AP 为⊙O 的切线，P 为切点．若∠A＝20°，C ，D 为圆周上的两点，且∠PDC ＝60°，则∠OBC 等于 ．14. 已知△ABC 的三边长分别是6，8，10，则△ABC 外接圆的直径是 ．15. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD= °．16..如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C ，当点A 的对应点A' 落在AB 边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．三、解答题（每题6分，共18分）17. 如图，AB 是⊙O 的弦，C ，D 是AB 上的两点，并且AC ＝BD ．求证：OC ＝OD ．18. 如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求∠ABE 的度数．19.如图，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD⊥OA 于D ，CE⊥OB 于E ，求证：AD ＝BE.四、解答题（每题7分，共21分）20．如图，在△AOC 中，∠AOC＝90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点B ，且OB ＝BC ，求∠A 的度数．21.如图，C 、D 是半圆O 上的三等分点，直径AB=4，连接AD 、AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC 于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．22. 已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （﹣1，2）、B （﹣2，1）、C （1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A 1B 1C 1是△ABC 绕点 逆时针旋转 度得到的，B 1的坐标是 ；（2）求出线段AC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．五.解答题（每题9分，共27分）23．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．⑴求证：四边形CFDE是正方形；⑵若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径．24．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE＝∠FEP，CF交⊙O于点D.(1)证明：FP是⊙O的切线；(2)若四边形OBPD是菱形，证明：FD＝ED.25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.（1）求证:点E是边BC的中点；（2）连接CD,若EC=3,BD=62,求CD的长度；（3）若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.圆 单元检测题参考答案AABBB CCBDC11. 20π 12. 8 13.65° 14.10 15.80 16. 60，23π 17. 解：过O 做OM ⊥AB 于M ，利用垂径定理证明．18. 解：如图，连接OE .∵EF ∥AB ，OC ⊥AB ，∴EF ⊥OC .∵点D 是OC 的中点，∴OD ＝12OC ＝12OE ，∴∠OED ＝30°.∵EF ∥AB ，∴∠EOA ＝30°，∴∠ABE ＝12∠EOA ＝15°.19. 证明：连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵，∴∠AOC＝∠BOC.∵CD⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.在△COD 和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOC＝∠EOC，∠CDO＝∠CEO，CO ＝CO ，∴△COD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.∵AO＝BO ，∴AD＝BE.20. 解：∵OA＝OB ，OB ＝BC ，∴∠A＝∠OBA，∠BOC＝∠C，又∵∠OBA＝∠BOC＋∠C，∴∠A＝2∠C.∵△AOC 中，∠AOC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，即3∠C＝90°.∴∠C＝30°，∠A＝60°.21. 解：（1）连接OD ，OC ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点， ∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE⊥AO，∴DE=，∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×=π﹣．22. 解：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是：（1，﹣2），故答案为：C，90，（1，﹣2）；（2）线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．∵AC==，∴面积为： =，即线段AC旋转过程中所扫过的面积为．23. 解：⑴过D作DG⊥AB交AB于G点，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DF＝DG，同理可证DE＝DG，∴DE＝DF，∵∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°，∴四边形CFDE是正方形；⑵∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，由⑴知AF＝AG，BE＝BG，∴AF＋BE＝AB，∵四边CFDE是正方形，∴2CE＝AC＋CB－AB＝2，即CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．24. 证明：(1)连接OP，∵OP＝OA，∴∠A＝∠APO.∵EC⊥AB，∴∠A＋∠AEC＝90°.∵∠FPE＝∠FEP，∠FEP＝∠AEC，∴∠AEC＝∠FPE.∴∠OPA＋∠FPA＝90°.∴OP⊥PF.∵OP为⊙O的半径，∴FP是⊙O的切线．(2)∵四边形OBPD是菱形，∴PD∥AB，PB＝OB.∵OB＝OP，∴OP＝OB＝PB.∴△OPB是等边三角形．∴∠B＝∠BOP＝60°.∴∠A＝30°.∴∠AEC＝∠FEP＝60°.∴∠FPE＝∠FEP＝60°.∴△FPE是等边三角形．∵PD∥AB，∴PD⊥EF.∴FD＝ED.25、（1）证明：连接DO，∵∠ACB=90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线，又∵ED也为⊙O的切线，∴EC=ED.又∵∠EDO=90°，∴∠BDE+∠ADO=90°，∴∠BDE+∠A=90°，又∵∠B+∠A=90°∴∠BDE=∠B，∴EB=ED.∴EB=EC，即点E是边BC的中点.（2）CD=2 3（3）△ABC是等腰直角三角形. 理由：∵四边形ODEC为正方形，∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，又∵点E是边BC的中点，∴BC=2OD=AC,∴△ABC是等腰直角三角形.。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
第24章 圆单元测试A卷 九年级数学上册单元实战演练AB卷(人教版,长沙专用)(解析版)
第24章 圆单元测试A 卷（基础卷）（人教版，长沙专用）一、单选题(本大题共10小题，每一小题3分，共30分)1．在半径为2的⊙O 中，120°的圆心角所对的弧长为（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】 根据弧长公式180n rl π=计算即可．【详解】解：在半径为2的圆中，120°的圆心角所对的弧长是：120241801803πππ⨯===n rl ，故选：B ．【点睛】此题主要考查了扇形的弧长计算公式，正确的代入数据并进行正确的计算是解题的关键． 2．如图，在⊙O 上有三点A ，B ，C ，连接OA ，OC ，BA ，BC ，若⊙ABC ＝110°，则⊙AOC 的大小为（）A ．70°B ．110°C ．130°D ．140°【答案】D【分析】在优弧AC 上取一点D ，连接AD ，DC ．利用圆内接四边形的性质求出⊙ADC 即可解决问题．【详解】在优弧AC 上取一点D ，连接AD ，DC ．⊙⊙B +⊙D ＝180°，⊙⊙D ＝180°﹣110°＝70°，⊙⊙AOC ＝2⊙D ＝140°，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆内接四边形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，30APB ∠=︒，圆心在直线PB 上的O 半径为1cm ，3cm OP =，若O 沿BP 方向移动，当圆心O 移动的距离为（ ）cm 时，O 与直线PA 相切．A ．1B ．4C ．5D ．1或5【答案】D【分析】 根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解．【详解】解：⊙设P A 与O '相切于点D ，如图：⊙O D AP '⊥，⊙30APB ∠=︒，1cm O D '=，⊙22cm O P O D ''==，⊙1cm OO OP O P ''=-=；⊙设P A 与O ''相切于点E ，如图：⊙O E AP ''⊥，⊙30O PE APB ''∠=∠=︒，1cm O E ''=，⊙22cm O P O E ''''==，⊙5cm OO OP O P ''''=+=；综上所述：当圆心O 移动的距离为1cm 或5cm 时，O 与直线PA 相切；故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．4．圆锥的高是4cm ，其底面圆半径为3cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ）A ．212πcmB ．224πcmC ．215πcmD ．230πcm【答案】C【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：⊙圆锥的高为4cm ，底面半径为3cm ，⊙5=(cm )，⊙圆锥的侧面展开图的面积为：π×3×5=15π(cm 2)．故选：C ．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形这个知识点．5．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，AB ，CD 所在圆的圆心为O ，点C ，D 分别在OA ，OB 上，已知消防车道半径OC =12m ，消防车道宽AC =4m ，120AOB ∠=︒，则弯道外边缘AB 的长为（ ）A ．8m πB ．4m πC ．32m 3πD ．16m 3π 【答案】C【分析】 确定半径OA ，.根据弧长公式可得．【详解】OA=OC+AC=12+4=16(m)，AB 的长为：12012016321801803OA ⋅⋅⋅⋅==πππ （m ）,故选C . 【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，解题的关键是牢记弧长的公式．6．如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点A ，线段PO 交O 于点C ，连接BC ．若40P ∠=︒，则B 等于（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30【答案】C【分析】 直接利用切线的性质得出⊙P AO =90°，再求出⊙POA =50°，结合圆周角定理即可得出答案．解：⊙AB是O的直径，PA切O于点A，⊙⊙P AO=90°，⊙⊙P=40°，⊙⊙POA=90°−40°=50°，⊙AC AC=，⊙⊙B=1252AOP∠=︒．故选：C【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出⊙POA的度数是解题的关键．7．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，⊙ADE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°【答案】C【分析】连接OA，OE，由圆的内切正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得⊙ADE的度数．【详解】如上图所示，连接OA，OE⊙五边形ABCDE是正五边形⊙1360725AOE∠=⨯︒=︒⊙⊙O是正五边形ABCDE的外接圆⊙1362ADE AOE∠=⨯∠=︒故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的内切正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若⊙DAB＝40°，则⊙ABC 的度数是（）A．140°B．40°C．70°D．50°【答案】C【分析】连接AC，根据圆周角定理得到⊙CAB＝20°，⊙ACB＝90°，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，⊙点C为劣弧BD的中点，⊙DAB＝40°，⊙⊙CAB＝12⊙DAB＝20°，⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，⊙⊙ABC＝90°﹣20°＝70°，故选：C．本题考查了弧的中点，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握弧的中点的意义，活用直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，如果它的一个外角⊙DCE ＝64°，那么⊙BOD 的度数为（ ）A ．64°B ．128°C ．120°D ．116°【答案】B【分析】 根据邻补角的概念求出⊙BCD ，根据圆内接四边形的性质求出⊙A ，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：⊙⊙DCE =64°，⊙⊙BCD =180°-⊙DCE =116°，⊙四边形ABCD 内接于⊙O ，⊙⊙A =180°-⊙BCD =64°，由圆周角定理，得⊙BOD =2⊙A =128°，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．如图所示，一个半径为r (r ＜1)的图形纸片在边长为10的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分面积是（ ）A ．2r πB 2C ．22r π-D 22r π-【分析】当O 运动到正六边形的角上时，圆与ABC ∠两边的切点分别为E ，F ，连接OE ，OF ，OB ，根据正六边形的性质可知120ABC ∠=︒，故60OBF ∠=︒，再由锐角三角函数的定义用r 表示出BF 的长，可知圆形纸片不能接触到的部分的面积62BOF EOF S S ∆=⨯-扇形，由此可得出结论．【详解】解：如图所示，连接OE ，OF ，OB ，此多边形是正六边形，120ABC ∴∠=︒，60OBF ∴∠=︒．90OFB ∠=︒，OF r =，tan 60OF BF ∴===︒， ∴圆形纸片不能接触到的部分的面积626BOF EOF S S ∆=⨯-扇形21606262360r r π⨯=⨯⨯-⨯22r π=-．故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．二、填空题(本大题共6小题，每一小题3分，共18分)11．已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为12cm ，则这个圆锥的侧面积是______（结果保留π）．【答案】48π【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．【详解】解：这个圆锥的侧面积=12×2π×4×12=48π（cm 2）． 故答案为：48π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，如果10AB =，8CD =，那么线段OE 的长为________．【答案】3【分析】连接OC ，根据垂径定理计算即可；【详解】连接OC ，在Rt OCE 中， 152OC AB ，142CE CD ==，由勾股定理，得3OE ，即线段OE 的长为3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确计算是解题的关键．13．如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，⊙P＝30°，则AB的长为______．【答案】2π3【分析】连接OB，根据切线的性质得到⊙OBP=90°，从而得到⊙BOA=60°，再利用弧长公式求解即可．【详解】解：如图所示，连接OB，⊙PB是圆O的切线，⊙⊙OBP=90°，⊙⊙P=30°，⊙⊙BOA=60°，⊙23602326ABππ⨯==，故答案为：23π．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BC，BD，若直径AB＝8，⊙CBD＝45°，则阴影部分的面积为_______．【答案】4π﹣8【分析】由直径求出半径，由圆周角定理可得⊙COD＝90°，阴影部分面积=扇形面积-三角形面积即可．【详解】解：⊙AB是直径，AB＝8，⊙OA＝OB＝OC＝OD＝4，⊙⊙CBD＝45°，⊙⊙COD＝2⊙CBD＝90°，⊙S阴＝S扇形COD﹣S⊙COD＝290414448 3602ππ⨯-⨯⨯=-，故答案为：4π﹣8．【点睛】本题考查直径与半径关系，圆周角定理，阴影面积用割补办法，扇形面积公式，直角三角形面积，正确理解题意是解题的关键．15．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，⊙AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则P A＋PB的最小值为_____________．【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OA，OC，作OD⊙AC于D，根据勾股定理求解即可．【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，OB，作OD⊙AC于D，⊙⊙AMN＝40°，⊙⊙AON＝80°，⊙B为弧AN的中点，⊙⊙AOB＝⊙NOB＝40°，由对称可知，⊙CON＝⊙NOB＝40°，⊙⊙AOC＝120°，⊙MN＝2⊙OA＝OC＝1，⊙⊙OAC＝⊙OCA＝30°，⊙OD＝1，2CD==AC＝2CD【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，确定点P的位置，求出⊙AOC的度数是解决本题的关键．16．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝1x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标2为__________________．【答案】（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）【详解】当⊙P 与x 轴相切时可求得P 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解答】解：⊙⊙P 与x 轴相切，⊙P 到x 轴的距离等于半径1，⊙点P 的纵坐标为1或﹣1，当y ＝1时，代入可得1＝12x 2﹣1，解得x ＝2或x ＝﹣2，此时P 点坐标为（2，1）或（﹣2，1）； 当y ＝﹣1时，代入可得﹣1＝12x 2﹣1，解得x ＝0，此时P 点坐标为（0，﹣1）；综上可知P 点坐标为（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，1）或（0，﹣1）．【点睛】此题注意应考虑两种情况．熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键．三、解答题(本大题共9小题，其中第17、18题各6分，第19、20、21、22题各8分，第23、24题各9分，第25题10分，共72分)17．在平面直角坐标系中，已知(2,0)A ，(3,1)B ，(1,3)C ．（1）将ABC ∆沿x 轴负方向平移2个单位至⊙111A B C ，画图并写出1C 的坐标 ；（2）以1A 点为旋转中心，将⊙111A B C 逆时针方向旋转90︒得⊙222A B C ，画图并写出2C 的坐标为 ； （3）求在旋转过程中线段11A C 扫过的面积．【答案】（1）(1,3)-；（2）(3,1)--；（3）2.5π【分析】（1）将三个顶点分别向左平移2个单位得到其对应点，再顺次连接即可得；（2）将三个顶点分别以点A 1为旋转中心，逆时针方向旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得； （3）由题意可知线段11A C 扫过的面积是一个圆心角为90°，半径为线段11A C 长的扇形，由此求解即可．【详解】解：（1）如图，⊙111A B C 即为所求．画图并写出1C 的坐标(1,3)-；故答案为：(1,3)-．（2）如图，⊙222A B C 即为所求．画图并写出2C 的坐标为(3,1)--；故答案为：(3,1)--；（3）由题意得21190C AC =∠ ，11AC旋转过程中线段11A C 扫过的面积 2.5π=． 【点睛】本题主要考查了平移作图和旋转作图，勾股定理和扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．已知菱形ABCD 及其外一点P ，点O 为菱形的中心，请你用尺规在菱形ABCD 的边AB 上找一点M ，使得OM PM ⊥．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】先作OP 的垂直平分线得到OP 的中点，然后以OP 为直径作圆交AB 于M ，则根据圆周角定理得到OM ⊙PM ．【详解】解：如图，点M 为所作．．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19．如图，AB是圆O的直径，点C、D为圆O上的点，满足：AC CD=，AD交OC于点E．已知OE＝3，EC＝2（1）求弦AD的长；（2）请过点C作AB的平行线交弦AD于点F，求线段EF的长．【答案】（1）8；（2）8 3【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到CO⊙AD，AE＝DE，然后根据勾股定理即可求得AE，进而求得AD；（2）根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．【详解】解：（1）AC CD=，得CO⊙AD，AE＝DE．在⊙AOE中，⊙AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，得AE4，所以AD＝AE＋DE＝8；（2）由CF //AB ，得EF AE CE OE =， 则83AE CE EF OE ⨯==．【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．20．如图，,C D 是半圆O 上的三等分点，直径4AB =，连接,,AD AC DE AB ⊥，垂足为,E DE 交AC 于点F ，求AFE ∠的度数和涂色部分的面积．【答案】60AFE ︒∠=，23S π=涂色 【分析】连接OD ，OC ，根据已知条件得到⊙AOD=⊙DOC=⊙COB=60°，根据圆周角定理得到⊙CAB=30°，于是得到⊙AFE=60°；再推出⊙AOD 是等边三角形，OA=2，得到涂色部分的面积．【详解】连接,OD OC ，,C D 是半圆O 上的三等分点， 则1180603AOD BOC DOC ∠=∠=∠=⨯︒=︒， 11603022CAB BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， ⊙DE AB ⊥，⊙90DEA ∠=︒，903060AFE AEF EAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；OA OD =，⊙AOD ∆是等边三角形，sin 602DE OD ︒∴===所以260212=236023AODAOD S S S ππ∆⨯-=-⨯=涂色扇形． 【点睛】 本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．如图，Rt ABC 中，⊙ABC ＝90°，以AB 为直径作半圆⊙O 交AC 与点D ，点E 为BC 的中点，连接DE ． （1）求证：DE 是半圆⊙O 的切线．（2）若⊙BAC ＝30°，DE ＝2，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OD ，OE ，由AB 为圆的直径得到三角形ABD 为直角三角形，再由E 为斜边BC 的中点，得到DE ＝BE ＝CE ，再由OB ＝OD ，OE 为公共边，利用SSS 得到三角形OBE 与三角形ODE 全等，由全等三角形的对应角相等得到DE 与OD 垂直，即可得证；（2）在直角三角形ABC 中，由⊙BAC ＝30°，得到BC 为AC 的一半，根据BC ＝2DE 求出BC 的长，确定出AC 的长，再由⊙C ＝60°，DE ＝EC 得到三角形EDC 为等边三角形，可得出DC 的长，由AC ﹣CD 即可求出AD 的长．【详解】（1）证明：连接OD ，OE ，BD ，⊙AB 为圆O 的直径，⊙⊙ADB ＝⊙BDC ＝90°，在Rt ⊙BDC 中，E 为斜边BC 的中点，⊙DE ＝BE ，在⊙OBE 和⊙ODE 中，OB OD OE OE BE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊙⊙OBE ⊙⊙ODE （SSS ），⊙⊙ODE ＝⊙ABC ＝90°，则DE 为圆O 的切线；（2）解：在Rt ⊙ABC 中，⊙BAC ＝30°，⊙BC ＝12AC ，⊙BC ＝2DE ＝4，⊙AC ＝8，又⊙⊙C ＝60°，DE ＝CE ，⊙⊙DEC 为等边三角形，即DC ＝DE ＝2，则AD ＝AC ﹣DC ＝6．【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键． 22．如图，已知MN 为O 的直径，四边形ABCD ，EFGD 都是正方形，小正方形EFGD 的面积为16，求圆的半径．【答案】r =【分析】连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==，在Rt ⊙COD 和Rt ⊙FOG 中，分别根据勾股定理可得222(2)832x x x x +=++，解方程即可求解．【详解】如图，连接OC ，OF ，设O 的半径为r ，2AD x =，则12DO AD x ==， ⊙222DO CD CO +=，⊙222(2)x x r +=，⊙正方形EFGD 的面积为16，⊙4DG FG ==，⊙4OG x =+，又⊙222OF OG FG =+，⊙2222(4)4832r x x x =++=++，⊙222(2)832x x x x +=++，解得14x =，22x =-（不合题意，舍去），⊙2224880r =+=，r =【点睛】本题考查勾股定理的应用圆的认识和性质，解题的关键是熟练掌握在一个直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．23．如图，BC 是O 的直径，点A 是O 上一点，点D 是BC 延长线上一点，AB AD =，AE 是O 的弦，30AEC ∠=．（1）求证：直线AD 是O 的切线；（2）若3CD =，求O 的半径；（3）若AE BC ⊥于点F ，点P 为ABE 上一点，连接AP ，CP ，EP ，请找出AP ，CP ，EP 之间的关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）EP AP +=，理由见解析【分析】（1）先求出⊙BAD ＝120°，再求出⊙OAB ，进而得出⊙OAD ＝90°，即可得出结论；（2）先判断出⊙AOC 是等边三角形，得出AC ＝OC ，再判断出AC ＝CD ，即可得出结论；（3）先判断出⊙CAP ＝⊙CEM ，进而得出⊙ACP ⊙⊙ECM （SAS ），进而得出CM ＝CP ，⊙APC ＝⊙M ＝30°，再判断出MN ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AC OA ，，30AEC ∠=︒，30ABC AEC ∴∠∠︒==，AB AD =，30D ABC ∴∠∠︒==，120BAD ∴∠=︒，OA OB =，，30OAB ABC ∴∠=∠=︒，90OAD BAD OAB ∴∠∠∠︒=-=，点A 在O 上，⊙直线AD 是的切线；（2）解：如图1，连接AC ，由（1）知，30D ∠=︒，90OAD ∠=︒，9060AOC D ∴∠︒∠︒=-=，∴AOC △是等边三角形，OC AC ∴=，60OAC ∠=︒，30CAD OAD OAC D ∴∠∠-∠︒∠=＝=，3AC CD ∴==，3OC ∴=，即O 的半径为3；（3）EP AP +=，理由：如图，30AEC ︒∠=，30APC AEC ︒∴∠=∠=，连接AC ，延长PE 至M ，使EM AP =，连接CM ，AE BC ⊥，BC 为O 的直径，AC EC ∴=，四边形APEC 是O 的内接四边形，CAP CEM ∴∠=∠，∴()ACP ECM SAS ≅，CM CP ∴=，30APC M ︒∠=∠=，过点C 作CN PM ⊥于N ，2PM MN ∴=，在Rt CNM △中，MN cos CM M =，MN cos30CM ∴︒==MN ∴=，2PM MN ∴===，PM PE EM PE AP =+=+，PE AP ∴+=，即EP AP +=．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．24．[提出问题]如图1，⊙ABC 是圆O 的内接三角形，且AB ＝AC ，D 是圆上一点，作AE ⊙BD 于E ．要研究BE ，DE ，CD 之间的关系．[特例分析]（1）如图2，当⊙ABC是等边三角形时，且当D在⊙ABC的平分线上时，假设DE＝a，则DC＝，BE＝，BE，DE，CD之间的关系为．[猜想探究]（2）在图1中，上述结论是否依然成立，请证明你的猜想．[结论应用]（3）如图3，⊙ABC是等边三角形，⊙CBD＝15°，AC⊙BCD的周长为．【答案】（1）2a；3a；BE＝DE+CD；（2）成立，证明见解析；（3【分析】（1）利用等边三角形的每一个内角都等于60°，等腰三角形的三线合一可得⊙DBC＝⊙DAB＝30°，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别表示CD和DB，结论可得；（2）过A作AF⊙CD，交DC延长线于F，连接AD，易证⊙ABE⊙⊙ACD，进而再证Rt⊙ADE⊙Rt⊙ADF，得到DE＝DF，利用补短法，结论可得；（3）利用（2）的结论，⊙BCD的周长为BC+2BE，在等腰直角三角形⊙ABE中求出BE，结论可得．【详解】解：（1）如下图：⊙⊙ABC是等边三角形，⊙⊙ABC＝60°．⊙BD 是⊙ABC 的平分线，⊙⊙DCA ＝⊙ABD ，⊙⊙DCE ＝30°．⊙AE ⊙BD ，⊙CD ＝2DE ＝2a ．⊙BD 是圆的直径，⊙⊙BCD ＝90°．⊙⊙DBC ＝30°⊙AB ＝2CD ＝4a ．⊙BE ＝BD ﹣DE ＝3a ．⊙DE +CD ＝3a ，⊙BE ＝DE +CD ．故答案为：2a ；3a ；BE ＝DE +CD ．（2）成立．理由：如图，过A 作AF ⊙CD ，交DC 延长线于F ，连接AD ，⊙AF ⊙CD ，AE ⊙BD ，⊙⊙AEB ＝⊙AFC ＝90°．⊙同弧所对的圆周角相等，⊙ABE ＝⊙ACD ．在⊙ABE 和⊙ACD 中，AEB AFC ABE ACD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．⊙⊙ABE ⊙⊙ACD （AAS ）．⊙AE ＝AF ，BE ＝CF ．在Rt⊙ADE 和Rt⊙ADF 中，AE AF AD AD =⎧⎨=⎩． ⊙Rt⊙ADE ⊙Rt⊙ADF （HL ）．⊙DE ＝DF ．⊙CF ＝CD +DF ＝CD +DE ，⊙BE ＝DE +CD ．故结论成立．（3）⊙AB ＝AC ，D 是圆上一点，AE ⊙BD 于E ，由（2）的结论可得：BE ＝DE +CD ．⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙AB ＝BC ＝AC ⊙ABC ＝60°．⊙⊙CBD ＝15°，⊙⊙ABE ＝⊙ABC ﹣⊙CBD ＝45°．⊙AE ⊙BD ，⊙AE ＝BE⊙BE ＝DE +CD⊙⊙BCD 的周长为：BC +CD +BD ＝BC +CD +DE +BE ＝BC +2BE【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，利用同弧所对的圆周角相等是解题的关键．25．如图，抛物线218333y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．以AB 为直径作⊙M ． （1）求出M 的坐标并证明点C 在⊙M 上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；（3）在抛物线上是否存在一点D，使得BC平分⊙ABD，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）M（4，0），见解析；（2）P（4，﹣253）；（3）存在，D（54，﹣9316）．【分析】（1）先求出A、B坐标，AB中点即为M，然后根据MC长度等于半径即可说明；（2）如图：过C作MC的垂线与抛物线交点即为P，求出CP解析式，联立解方程组即可；（3）如图：将A沿BC折叠后，对应点为Q，连接BQ，BQ与抛物线的交点即为D，分别求出Q坐标，BQ 解析式，联立抛物线解析式求解即可．【详解】解：（1）⊙y＝13x2﹣83x﹣3＝0令y＝0，得x1＝9，x2＝﹣1；令x＝0，得y＝﹣3，⊙A（﹣1，0），B（9，0），C（0，﹣3），⊙以AB为直径作⊙M，⊙M为AB中点，即M（4，0），⊙M（4，0），C（0，﹣3），A（﹣1，0），B（9，0），⊙MC5=，AB＝9-（-1）=10，⊙MC＝12AB，即C到圆心M的距离等于半径，⊙点C在⊙M上；（2）如图：过C作MC的垂线与抛物线交点即为P⊙M （4，0），C （0，﹣3），⊙直线MC 解析式为y ＝34x ﹣3， 当CP 与⊙M 相切时，MC ⊙CP ，设CP 解析式为y ＝﹣43x ＋b ，将C （0，﹣3）代入得b ＝﹣3， ⊙CP 解析式为y ＝﹣43x ﹣3， 由243318333y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得4253x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或03x y =⎧⎨=-⎩为C 点坐标舍去， ⊙P （4，﹣253）； （3）存在点D ，使得BC 平分⊙ABD ，理由如下：如图：将AB 沿BC 折叠，A 折到Q ，连接BQ 交抛物线于D ，则⊙ABD ＝2⊙ABC ，D 即为所求点，⊙AB 为直径，⊙⊙ACB ＝90°，⊙A （﹣1，0），C （0，﹣3），⊙A 沿BC 折叠后，对应点Q （1，﹣6），设直线BQ 解析式为y ＝mx ＋n ，将B （9，0），Q （1，﹣6）代入得：096m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得34274m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ⊙直线BQ 解析式为y ＝34x ﹣274， 由23274418333y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得549316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或90x y =⎧⎨=⎩与B 点重合舍去， ⊙D （54，﹣9316）． 【点睛】本题主要考查了二次函数、圆的切线及角平分线等综合知识，综合应用所学知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．。
对《线段旋转的面积问题》一文的商榷与探讨
龙源期刊网 对《线段旋转的面积问题》一文的商榷与探讨作者：徐健旭来源：《中学数学杂志(初中版)》2014年第05期《中学数学杂志》2014年第6期刊载了黄栋老师《线段旋转的面积问题》一文，以下简称文[1]，讨论了线段绕点旋转所扫过的图形的面积问题，通读文章后笔者觉得作者对于“旋转中心在线段外”的情况的讨论在图形和解题策略方面似乎存在一些疏漏，值得商榷.现将对该问题的商榷与探讨梳理成文，以期与各位同仁进行探讨、交流.1 问题的简要回顾文[1]将一条线段绕某点旋转问题分三类：第一类，旋转中心为线段端点；第二类，旋转中心在线段上；第三类，旋转中心在线段外.其中，第三类又可以分为以下两类：第一类，到旋转中心最近的点为该线段的一个端点；第二类，到旋转中心最近的点不是线段的端点.对于最后一种情况的讨论作者认为应分以下几种情形，如图1，2，3，4.文[1]中给出的求图1、图5中的线段扫过部分面积的方法都需要借助于求一个非常规图形（见图6中的空白区域B′DE）.笔者考虑这一图形对学生来说太过生疏、突兀，因此教学意义与实用性都不大，故退而求其次地去考察与其能够组成一对对顶角的另一非常规图形（见图6中的阴影区域CEE′）.事实上，这个图形学生并不感到陌生，能被大多数初三学生迅速识别和掌握，甚至可以说有种天然的亲近感.如图8，易见这是个特殊的筝形，说其特殊就在于它有两个直角.我们对图8进一步联想开去，那么估计大多学生很快会想到PD与PD′是过圆外一点P 所作的两条切线；反之，OD与OD′也是⊙P的两条切线；连接PO后还可能会想起角平分线定理及逆定理，连接DD′后成为两个等腰三角形等等大量丰富的几何元素.笔者以为关于这样的基本图形还有许多，说一千道一万，我们还是要在平时教学中抓住那些基本图形的一图多法、一图多题、一图多用的教学，使学生懂得这些基本图形就犹如那一张张藏宝图一样，能够引领我们去更好的发掘出几何花园中的珍宝.参考文献[1]黄栋.线段旋转的面积问题[J].中学数学杂志，2014，（6）：49-50.。
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，
一
图４
ｍ ｓ ： 丌 （ ＯＢ ２ 一ＯＣ ２ ） ＝
一
我们 也可 以这样理 解， 图１ 的情 形虽然 不 满足图２ 、图３ 所示 的特 征 条件 ， 但 可 以换 一 个角度让 它满足特征条件． 实 际上 ， 线 段 ＡＢ 上 的 点 可 分 为 两 类 ：一 类 是 线 段 Ｂ 上 的 点 ，另 类是线 段 Ｃ上 的点， 无论线段Ｂ 还是Ａ ，
２ ０ １ ３ 年第 ２ 期
数 学教 学
２ — １ ５
图２ 和图３ 的情 形完全符合 授课教师 总结 的规 律 ， 这 两 种 情 形 有 一 个 共 同 点， 就 是 线 段 Ｂ上 各 点到旋 转 中心 （ 二 ） 的距 离 均不 相等 ， 且端 点 离 点 （ 二 ） 最近， 端点 Ｂ离 点 （ ＝ ） 最远． 凡 符合这种特征条件 的线段绕旋转中心旋转扫过 的面 积 均 可 以用 “ 扇形面积差” 来表 达 ． 我 们 知 道，线 段 Ｂ绕 点 Ｄ逆 时 针 旋 转 ９ ０ 。 ，可 以 理 解 为 其 上 的所 有 点 均 绕 点 （ ＝ ） 逆 时针 旋转 ９ ０ 。 ， 因此 线 段 ＡＢ旋 转 扫过 的区域 可 以看 作 线 段 ＡＢ上 所 有 点 绕 点 （ ＝ ） 旋 转９ ０ 。 形成 的弧线的集合． 图２ 、图 ３ 中， 由于点 距 旋 转 中心 （ 二 ） 最 近， 点 Ｂ 离点 （ ＝ ） 最远， 所 以各 弧 线 必 夹 在 和 ＢＢ 之 间， 与线 段 Ｂ 只有 唯 一 公 共 点， 不 会 出现 “ 越 过” 线 段 Ｂ 的情 形．而 图 １ 中， 垂 足 是 线段 Ａ Ｂ上所 有 点 中 距 离旋转 中心 （ ＝ ） 最近 的点 因此线段 ＡＢ上 点 Ｂ、 之 间的 点旋转 形成 的 弧线 必位 于 ＢＢ 、 Ｃ 之 间， 而线 段 Ａ Ｂ上 点 Ａ、Ｃ之 间 的点旋 转 形 成 的 弧 线 必 位 于 ＡＡ 、 之 间，显 然 线 段 Ｂ 与 相 切，所 以 点 、 之 间 的 点 旋 转 形 成 的弧 线 必 与 线 段 Ｂ 相 交 于 两 点（ 如 图４ 所 示） ， 因而 线 段 Ａ日扫 过 的 区域被 线段 Ｂ 分割为两 部分， 它们 分居 Ｂ 两侧 ， 从而形成如 图 １ 所示 的区域．
果．
图５
最 后 我 们 计 算 一 下， 上 述 问题 中，线 段 Ｂ扫 过 的 面 积 到 底 是 多 少． 从 图５ 和 图６ 显 示 的 结 果 可 以 看 出：线 段 Ｂ扫 过 的 面
积Ｓ 阴 影等于 线段 ＢＣ扫过 的面积 （ 记为Ｓ １ ） 与 弓形 Ａ ｍＤ 的面 积 （ 记 为 ） 之 和， 即 阴 影＝
过 的 区 域 可域 的并集 ．线段 Ｂ 绕 点 Ｄ逆 时针旋转 ９ ０ 。 形
成 的 区域 如 图 ５ 所示， 线段 Ａ Ｃ绕 点 《 二 ） 逆 时针
旋转 ９ ０ 。 形 成 的区 域如 图 ６ 所 示， 综合图５ 和
图６ 的结果 （ 有 重 叠 部 分） 即得 图 １ 显 示 的 结
一
（ 警 ） ］ ＝ 警 ，
＝ 形 。 一 。 ＝
丢 丌 一 ４ ．
均 符合 图３ 所 示 的特 征 条件， 因此线 段 Ｂ扫
＝ ＋ 吾 一 ４ ＝ ３ ５ ｒ 一 ．