也谈线段旋转扫过的面积

过 的 区 域 可 以 看 作 线 段 Ｂ 和 ＡＣ 扫 过 的 区
域 的并集 ．线段 Ｂ 绕 点 Ｄ逆 时针旋转 ９ ０ 。 形
成 的 区域 如 图 ５ 所示， 线段 Ａ Ｃ绕 点 《 二 ） 逆 时针
旋转 ９ ０ 。 形 成 的区 域如 图 ６ 所 示， 综合图５ 和
图６ 的结果 （ 有 重 叠 部 分） 即得 图 １ 显 示 的 结
一
（ 警 ） ］ ＝ 警 ，
＝ 形 。 一 。 ＝
丢 丌 一 ４ ．
均 符合 图３ 所 示 的特 征 条件， 因此线 段 Ｂ扫
＝ ＋ 吾 一 ４ ＝ ３ ５ ｒ 一 ．
＋ ．
，
一
图４
ｍ ｓ ： 丌 （ ＯＢ ２ 一ＯＣ ２ ） ＝
一
我们 也可 以这样理 解， 图１ 的情 形虽然 不 满足图２ 、图３ 所示 的特 征 条件 ， 但 可 以换 一 个角度让 它满足特征条件． 实 际上 ， 线 段 ＡＢ 上 的 点 可 分 为 两 类 ：一 类 是 线 段 Ｂ 上 的 点 ，另 类是线 段 Ｃ上 的点， 无论线段Ｂ 还是Ａ ，
果．
图５
最 后 我 们 计 算 一 下， 上 述 问题 中，线 段 Ｂ扫 过 的 面 积 到 底 是 多 少． 从 图５ 和 图６ 显 示 的 结 果 可 以 看 出：线 段 Ｂ扫 过 的 面
积Ｓ 阴 影等于 线段 ＢＣ扫过 的面积 （ 记为Ｓ １ ） 与 弓形 Ａ ｍＤ 的面 积 （ 记 为 ） 之 和， 即 阴 影＝
２ ０ １ ３ 年第 ２ 期
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图２ 和图３ 的情 形完全符合 授课教师 总结 的规 律 ， 这 两 种 情 形 有 一 个 共 同 点， 就 是 线 段 Ｂ上 各 点到旋 转 中心 （ 二 ） 的距 离 均不 相等 ， 且端 点 离 点 （ 二 ） 最近， 端点 Ｂ离 点 （ ＝ ） 最远． 凡 符合这种特征条件 的线段绕旋转中心旋转扫过 的面 积 均 可 以用 “ 扇形面积差” 来表 达 ． 我 们 知 道，线 段 Ｂ绕 点 Ｄ逆 时 针 旋 转 ９ ０ 。 ，可 以 理 解 为 其 上 的所 有 点 均 绕 点 （ ＝ ） 逆 时针 旋转 ９ ０ 。 ， 因此 线 段 ＡＢ旋 转 扫过 的区域 可 以看 作 线 段 ＡＢ上 所 有 点 绕 点 （ ＝ ） 旋 转９ ０ 。 形成 的弧线的集合． 图２ 、图 ３ 中， 由于点 距 旋 转 中心 （ 二 ） 最 近， 点 Ｂ 离点 （ ＝ ） 最远， 所 以各 弧 线 必 夹 在 和 ＢＢ 之 间， 与线 段 Ｂ 只有 唯 一 公 共 点， 不 会 出现 “ 越 过” 线 段 Ｂ 的情 形．而 图 １ 中， 垂 足 是 线段 Ａ Ｂ上所 有 点 中 距 离旋转 中心 （ ＝ ） 最近 的点 因此线段 ＡＢ上 点 Ｂ、 之 间的 点旋转 形成 的 弧线 必位 于 ＢＢ 、 Ｃ 之 间， 而线 段 Ａ Ｂ上 点 Ａ、Ｃ之 间 的点旋 转 形 成 的 弧 线 必 位 于 ＡＡ 、 之 间，显 然 线 段 Ｂ 与 相 切，所 以 点 、 之 间 的 点 旋 转 形 成 的弧 线 必 与 线 段 Ｂ 相 交 于 两 点（ 如 图４ 所 示） ， 因而 线 段 Ａ日扫 过 的 区域被 线段 Ｂ 分割为两 部分， 它们 分居 Ｂ 两侧 ， 从而形成如 图 １ 所示 的区域．