弹性波动力学复习纲要.doc

§1.1指标记号及两个符号

单位基向量：今后会遇到的应变张量、应力张量等

x = x l e]4- = x i e j(2)

有某个指标重复出现一次且仅一次就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。

另一指标Z不参与求和约定，称其为自由

自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。

二、两个符号

1、Kronecker 符号么

(< ? ?"l0o'

为：(< ￡.) =010

y /

001

Kronecker符号的特点：

(1) = 8^ (2) e^e. = S ti (3)氏=4+么 + 么3 =3

(4) “人⑸ A kj8jk = \ 6) 8ik8hj = S i}

例4:向量“ =和6 = /?,' ,有：

(^吻彳咖注意：土可作为求和约定中“同一项”的分隔符

a\b = a^^bje t注意：点乘(包括叉乘符号)

符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量6的下标换成了y。a~ - aUa - - a i a i

2、排列符号(置换符号)：

1狄为123的顺时针排列

^.=^-1狄为123的逆吋针排列0狄取值有重复时§1.2坐标变换

旧系：ox x x2x y,单位基向量：e,.新系：ox x x2x3,单位基向量：f

坐标变换系数：

新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：f = /3..e p= /3j^j

新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：々=Pij x”x t=

向量/，在旧系下的分量/.，新系下的分量为/.，其坐标变换规律为:

fi - Pij x j, fi - Pjifj

向量的解析定义：若有3个量，它们在叫易易和两巧力的分量分别为和, 当两个坐标系之间的变换系数为代?时，/?与Z之间按式Z =凡七，$变换,

则这3个量有序整体形成一个向量/,此3个量为向量/的分量。

§1.3张量的定义

一、张量的定义

1、0阶张量（标量）：3°个分量，在旧系下为识（xw3）,新系下歹（$，&，々）, 当进行坐标变换时满足炉

2、一阶张量（向量）：31个有序分量，满足g =/^cz,w凡巧

3、二阶张量：32个有序分量，满足

Tn 3 3 3 r— 72 73 2 2 2 r— r2 r3

iiT =（7；z.）,写成阵列形式为：丁二⑹二

二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：a

= a i e i

T = T ij e i e j B = BWk

§1.4张量的代数运算

张量乘枳的运算性质：

（1）服从分配律：（4 + fl）C = 4C + BC （2）服从结合律：=

（3）不满足交换律：AB^BA

在r（r>2）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。5、张量的内枳r 0>0）阶张量A和s（5>0）阶张量B的乘积中，对分别属于4和B的指标进行一次缩并，称如此所得的r + ^-2张量为张量A与B的内积，记为ALB ,约定：对张量A的最后一个指标和张量B的第一个指标进行。

§1.5商法则

设一组数的集合T（/，J，A，/，Z7?）,若它满足对于任意一个g阶张量S（如q-2, 任意阶张量分量为S/w）的内积均为一个阶张量f/ （如严3,三阶张量t/诉），即

在任意坐标系内以下等式均成立：T （i ，j ，k ，l ，m ）S h1）=U iik （对/，m 应用了求和 约定），则这组数的集合7^/，人/:，/，/7^必为一个什+ 4阶张量。

§1.6几种特殊张量

反对称二阶张量：C, = -C..引入4=^

球张量及偏张量：= - A kk - A A -

各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。

§1.7二阶张量的特征值和特征向量

TJn = An

= 1

（T ：.-^）n.=O

§1.8张量分析简介 标量：

叭x ，t ）\

dt

gradT = VT = ^t 去 j (讲;)=W;

divT =

▽ ?r

=卜去｝ ^e J e ^ = T UJ e j

curlT = V x T = f e,

l

dx

k

= T ij,k(e k xe i)e j=e iki T ij,k e i e j

￡ divTdV = j s n.TdS

￡ T yi dV = ￡ n^dS

一、 弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。

二、 弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物 体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物 体无初应力。

§3.1弹性体运动和变形的表述

一、 基本概念：位形、参考位形、变形、运动 二、 运动和变形的数学表述：

同一质点、不同时刻的向径：或 x t -

向量：a(x,r): T(x,z)

1、 对时间的导数

2、 张量场的梯度

3、 张量场的散度

4、 张量场的旋度

5、散度定理：￡ divudV = J w ? udS

n^^dS

位移：u = a （x,z ） x’（x ，，）二 X + M （X ，，）

§3.3应变张量

公式推导：从两点间的距离改变出发来推导:

（刚体平移+刚体转动+变形位移）

du . - -

§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化

一、 正应变（线应变、相对伸缩）

e = V,

J J

二、 过一点的两个线元之间夹角的变化 cos （j ）

= n.^h. 初始两线元夹角余弦

cos （j ） - 2e jj n j h j 4-（1 -e-^）cos^

变形后两线元央角余弦

§3.6小变形应变张量的几何解释

一、

的几何解释：质点P 处原来沿ox,轴方向上的线元每单位长度的长度变

化，即点P 处沿oxi 轴方向的正应变。（e 22、e 33同理） ----------- 正应变分量

二、 e i2的几何解释：变形中点P 处原来沿轴和＜7X2轴方向的两线元之间角 度（原为f ）改

变量的一半。（&3、?同理）——剪应变分量

?的几何解释：变形中点P 处每单位体积的体积改变。

（＜r-⑷、|么+么+??

dx ； dx ； 3x dx ； j 1 1 J /

dx ；dx, = 2E ::dx ；

dx

定义￡,..=丄也+ +么也

7

21 dx ； dx- 3x. dx-

\ J 1

1

J /

§ 3.4小变形情形的应变张量和转动张量

一、 小变形情形下的应变张量：? 二、 小变形位移的分解：

Wp ） = W ■⑺ + 1 格林应变张量

E

iJ = E Ji

令转动张量：

du. dx

i, '十去

1 {

du }

V J

（/ 3M . duj —L

+ —- dx ；

dx ； \ J 9

dXj

0 = e..=V\h ——该公式的推导 §3.7主

应变，应变不变量

若过点P 的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩， 则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应 变。

（?-0=0 e^eS^ =0 §3.8相容性条件

e

ij,kl e kl,ij ~ e ik,jl ~ e jl,ik =

§ 3.9应变球张量及应变偏张量

e

ij =-e kk^ij + ￡ij

￡

ij =e ij--^e kk^ij

张量丄为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变 变化；~为应变偏张量，描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形 的叠加

§4.1体力及面力

§4.2应力向量

用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面 力分布作用于整个截面上。截面上取包含P 点的面元，面元的外法向向量为《

t = lim

应力向量

A5

t = t （n, x,Z ）

\t\2

= t i t i

当x 和

r 固定，而使w 取一切可能值时，就得出时刻r 过向径为x 的点所有 各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x 改变时， 就给出弹性体内各个点的

应力状态，即为应力场。

一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有：

§4.3应力张量

一、应力向量的分解：Z （e p x,r ） = ^.e /

&指标涵义，正负的规定

只是体枳发生 体（积）力

=Ym — = pf

△ho/W

连续分布作用于弹性体每个体元上的外力

（表）面力：F

心

（）

AS

连续分布作用于弹性体表面上的力

面元上的正应力，厂

剪应力分量

W

^=t ~T

n

二、Cauchy 应力公式：.给定一点的应力状态r /7，就完全确定了该

J J

J

点的应力状态。Tf. =r z .(x,z)

§4.4运动微分方程边界条件

一＞运动微分方程：r..j + pfj = pii i 平衡微分方程：r..j + pf. = 0 二、应力张量的对称性：T if =

平衡微分方程：+/?/ = 0

简便方法：比较边界上的应力与面力方向

§4.5主应力应力不变量

主平面、主方向：若面元上的应力向量/与面元的法向方向n 平行，则此面元为 该点的主平面，该平面法向方向为该点的主方向。

主应力：该主平面上，应力向量的剪应力分量为零，则主平面上的正应力分量既 为该点的主应力。

§4.7应力球张量及应力偏张量

Q^j 为应力球张量，~为应力偏张量

§5.1功和应变能

忽略热与温度影响的热力学第一定律：—+ —

dt dt dt

§5.2各向同性线性弹性体的广义Hooke 定律 一、Ty =

C ijkl e k i ------------- 广义 Hooked 定律

二、各向同性线性弹性体的广义Hooked 定律

三、 各向同性线性弹性体的应变能密度函数

…1

四、 物理常数与2、//之间的关系式

五、各弹性常数可能的取值范围

T

ij=-T kk S ij^s ij

s

ij =r ij~~T kk^ij

dW

Green 公式

Ev

(1 +v)(l-2v)

2(1什)

a

"° ￡"° 2

"°

六、使用球张量及偏张量表出广义Hooke 定律

T

kk = ^Ke kk

s

ij =

2"

?

§6.1线弹性动力学的基本方程、边界条件和初始条件

基本方程：几何方程、物理方程、运动微分方程 定解条件：边界条件+初始条件 线性弹性动力学问题的基本求解路线：已知弹性体的自身性质、所受外力、 边界条件、初始条件，而求弹性体内的位移场、应变场及应力场。

§6.2线弹性动力学问题的提法

一、T (i - Xu k k (u ij + u /,/)二、Navier 方程：(2+ ")“/，々?+

平面运动+反平面运动

§6.6能量密度及能通量密度向量

1 . . 1

￡ = -pu i u i +-T ij e ij

§7.1无界线性弹性体中的波传播

§7.2无界线性弹性体中的平面波

一、 f[x-n-ct) -------- 在空间沿w 方向以速度c 传播的平面波

波阵面为x n - ct = const

二、 平面位移波：w(x,z) = / (x-

为位移方向

(1) d = ±n ,纵波

(2) 丄/!，横波

相关参数的物理意义。

三、 平面简谐波：u = Ae

ik(XH -ct)

d

非均匀平面简谐波：w = Ae~^x e

i(k ，x

~^d 等振幅面：

等位相面：

§7.3二维运动问题的波动方程

3

夕 3(/

3(b di//

z x

w

i

+

u

2

u 3=u^x 2,t)

ax } dx 2

ax 2 ox x

§8.1具有自由界面的弹性半空间中的平面简谐波

(

P

M = V^ + Vx^ (▽?!/ = ())

一、边界条件二、会辨别平面波的类型、波的传播方向、反射系数的计算(P波、SV波、SH波)、视速度三、Rayleigh面波的特点