北师大版八年级数学下册第四章因式分解知识点归纳复习总结
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因式分解
一、 什么是因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做因式分解。如
例1、下列各式中，哪些是因式分解？
（1）2
2)2(44-=+-a a a （2）)1)(1(3
-+=-x x x x x （3）)11(1a
a a +=+ （4）1))((12
2+-+=+-b a b a b a （5）)13(3392
-=-x x x x 二、提公因式法
（一）公因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
★确定一个多项式的公因式时，应从系数和字母进行分别考虑
对于系数：如果各项系数都是整数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；如
果各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的
最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数。
对于字母：首先取各项相同字母（或因式），之后取各项相同字母（或因式）的指数
取其次数最低的。
注意：（1）公因式的系数的“+”“－”，一般由首相来决定。
（2）在因式分解时，经常应用下列关系：
)(a b b a --=- 22)()(a b b a -=- 33)()(a b b a --=-
偶偶)()(a b b a -=- 奇奇)()(a b b a --=-
例2、指出下列各式的公因式
（1）mx 2-，mx 3
（2）xyz 12，z y x 3
29-，226z x （3）2)(3y x +，3
)(6-y x +，)(9y x + （4）2)(n m -，2
)(3m n - （5）
2278xy ，yz 9
4
（二）提公因式法
如果一个多项式的各项式含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法。
例3、把下列各式因式分解
（1）)1()1(-+-x b x a =
（2）m m m 24164-23-+=
（3）32)(6)(3x y y x ---=
（4）2
2)(6)(2m n m n m ---= （5）)2()2(m b m a ---=
三、公式法
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
（一）平方差公式：))((2
2b a b a b a -+=-
要想运用平方差公式因式分解，必须紧扣两点：
①左边是二项式；
②两项都能写成平方的形式，且符号相反。
例4、把下列各式因式分解：
（1）22169n m -= （2）142-x =
（3）224
19-b a += （4）22)()(b n a m +--=
（5）4
4y x -= （6）2
2)(64)(49b a b a +--= （二）完全平方公式：2
22)(2b a b ab a ±=+±
要想运用平方差公式因式分解，必须紧扣三点：
①左边是三项式；
②首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，这两项的符号相同；
③中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可。
例5、把下列各式因式分解：
（1）49142+-a a =
（2）4
12++m m = （3）1442
2+-xy y x = （4）81)(18)(2
++-+b a b a = （5）2
)(9)(12-4y x y x -+-=
四、十字相乘法
（一）pq x q p x +++)(2型 推导：qp qx px x pq x q p x +++=+++2
2)( )()(2
pq qx px x +++= )()(p x q p x x +++=
))((q x p x ++=
所以得到))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++
例6、把下列各式因式分解：
（1）232+-x x = （2）1522
--a a = （3）652
++x x = （二）c bx ax ++2
型
十字相乘法的口诀：收尾分解，交叉相乘，求和凑中。即十字左边相乘等于二次项系数，
右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
所以得到 ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++
注：当1=a 时，就是pq x q p x +++)(2型
例7、 把下列各式因式分解：
（1）1322
+-x x = （2）8232
--x x = （3）151122
++x x =
五、分组分解法
分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法、公式法和十字相乘法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式、“2+2”式、“3+2”式
“1+3”式 ：
)2(12-12222y xy x y xy x +--=-+ 2
)(1y x --= )](1)][(1[y x y x ---+=
)1)(1(y x y x +--+=
“2+2”式：
)()(by bx ay ax by bx ay ax +++=+++
)()(y x b y x a +++=