Hessian矩阵

Hessian 矩阵

给定二阶导数连续的函数R R f →2:，海瑟矩阵的行列式，和用于分辨f 的临界点时属于鞍点还是极值。对于f 的临界点()00,y x 一点，有()()0,,0000=∂∂=∂∂y

y x f x y x f ，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海瑟矩阵可以解答这个问题。2222222

2222

2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂−∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=x y f y f x f y f x y f

y x f x f

H ￭H>0：若022>∂∂x f ，则()00,y x 是局部极小点；若02

2<∂∂x f ，则是局部极大点。￭H=0：二阶导数无法判断临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。￭H<0：()00,y x 是鞍点。

另：鞍点（Saddle point）在微分方程中，沿着某一方向是稳定的，另一条方向是不稳定的奇点，叫做鞍点。在泛函中，既不是极大值点也不是极小值点的临界点，叫做鞍点。在矩阵中，一个数在所在行中是最大值，在所在列中是最小值，则被称为鞍点。在物理上要广泛一些，指在一个方向是极大值，另一个方向是极小值的点。

Hessian 矩阵式对称的，如果是正定的，可用导数=0的变量组确定他的极小值，负定的则确定其最大值，其他无法判断极值。

极值存在的必要条件：

若0x 是f(x)的极值点，如果存在，则进一步设在一个邻域内所有二阶导数连续，H 为在点0x 的海瑟矩阵，则（1）0x 是f(x)的极小值点0≥H

，即H 的特征根均为非负。（2）0x 是f(x)的极大值点0≤H

，即H 的特征根均为非负。

极值存在的必要条件：

设f(x)在0x 的一个邻域内所有二阶偏导数连续，且0x 是f(x)的临界点（即），H 为f(x)在0x 点的海瑟矩阵，则（1）H>0，即H 为正定矩阵，0x 是f(x)的极小点。

（2）H<0，即H 为负定矩阵，0x 是f(x)的极大点。

（3）H 的特征根有正有负，0x 不是f(x)的极值点。

（4）其余情况，则不能判定0x 是或者不是f(x)的极值点。

二元函数极值存在的充分条件：

设z=f(x,y)在()00,y x 的一个邻域内所有二阶偏导数连续，则

（1）若A>0，detH=AC-B 2>0，则H 正定，从而()00,y x 是f(x,y)的极小点。

（2）若A<0，detH=AC-B 2>0，则H 负定，从而()00,y x 是f(x,y)的极大点。

（3）若detH=AC-B 2<0，则H 的特征根有正有负，从而()00,y x 不是。

（4）若detH=AC-B 2=0，则不能判定()00,y x 是否为f(x,y)的极值点。