信号相关分析

S x ( ) Rx ( )e j d


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当τ = 0时，
|X(f)|
1 Rx (0) lim T T

T 2 T 2
x (t )dt
2


Sx ( f )df
0 f
可见：自功率谱密度曲线下与 频率轴所包围的面积是信号的 平均功率，它是信号功率沿频 率轴的分布，反映了信号幅值 的平方，因此，与信号幅值谱 相比，自功率谱的频率结构特 征更明显。
通常一个测试系统往往受到内部和外部噪声的干扰，从而输出也会 带入干扰。但输入信号与噪声是独立无关的，因此它们的互相关为 零。这一点说明，在用互谱和自谱求取系统频响函数时不会受到系 统干扰的影响
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（2）相干分析 相干函数又称为凝聚函数，常用于描述输入、输出信号之间 的因果性，其定义为 2
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求两个周期信号互相关函数？
x(t ) x0 sin(w1t )
当 w1 w2
y(t ) y0 sin(w1t )
1 T Rxy ( ) lim x t y t dt T T 0 1 x0 y0 cos( w ) 2


0
A2 Rx ( ) 2

2 0
A2 sin sin( )d cos 2
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2.信号的互相关: 描述信号x(t)与y(t)的相似程度,定义互自相关函数 为:
1 Rxy ( ) lim T T
xt yt dt
T 0
y (t ) x(t ) h(t )
根据卷积定理，上式在频域中可化为 在上式两端乘以X(f)的复共轭并取绝对值，则有
Y ( f ) X ( f )H ( f )
Y ( f ) X ( f ) H ( f ) X ( f ) X ( f ) 进而有
Sxy ( f ) H ( f )Sx ( f )
当 w1 w2
Rxy 0
两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保 留了原信号的相位信息。因此，互相关函数取得最大值时， 反应了信号的滞后； 西安理工大学机制系
相关函数具有以下的性质： 两周期信号的互相关函数仍 然是同频率的周期信号，且 保留原了信号的相位信息。 两个非同频率的周期信号互 不相关。 互相关函数 由此可见,互相关函数是在噪声背景下提取有用信息的 一个非常有效的手段,称为相关滤波.
(f)
2 xy
S xy ( f )
S x ( f )S y ( f )
2 xy ( f )≤ 1
2 xy ( f )
是一个无量纲系数，其取值范围为 0≤
若
2 xy ( f )=0
2 xy ( f )=1
称信号x(t)和y(t)在频率f上不相干； 称x(t)和y(t)在频率f上完全相干； 说明信号受到噪声干扰，或说明系统具有非线性。
信号幅值谱
Sx(f)
0
f
自功率谱 西安理工大学机制系
信号互谱密度 平稳随机过程的互谱密度函数 Sxy () 是互相关函数
Rxy ( ) 的傅立叶变换
S xy ( ) Rxy ( )e j d


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信号功率谱应用
（1）求系统频响函数
一个线性系统的输出y(t)等于其输入x(t)和系统的脉冲响应函数h(t)的卷积，即
案例：地下输油管道漏损位置的探测
X1
t
X2 西安理工大学机制系
案例：带钢运行速度的探测
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信号功率谱分析
随机信号不具备可积分条件，因此不能直接进行傅立叶变 换。于是，采用相关函数的傅里叶变换作为随机信号的频 域描述，称为功率谱密度函数。
（1）自功率谱密度 S x ( ) 是自相关函数 Rx ( ) 的傅立叶变换，简称自谱
信号自相关函数与自 相关系数的关系：
xt xt dt
T 0
x ( )
Rx

2 x
2 x
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相关函数具有以下的性质：
1、自相关函数是 的偶函数， RX()=Rx(- )； 2、当 =0 时，自相关函数具有 最大值,并等于该随机信号的均 方值.
信号的相关分析
信号的相关有互相关与自相关两种,分别用于描述两个信号x(t) 与y(t)或一个信号在一定时移前后x(t)与x(t+τ)之间的关系. 1.信号的 自相关 : 描 述信号样 本 x(t) 与 时移后的 样本 x(t+τ)的相似程度,定义自相关函数为:
1 Rx ( ) lim T T
若 当
2 xy ( f ) 0 1
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油压脉动与油管振动信 号相干分析
润滑油泵转速为n = 781 r/min，油泵齿轮的齿数 为z = 14，所以油压脉动 的基频是f0 = nz/60 = 182.24 Hz。
可以看到由于油压脉动引 起各阶谐波所对应的相干 函数值都比较大，而在非 谐波的频率上相干函数值 都很小。所以可以得出结 论，油管的振动主要是由 于油压脉动所引起的。
自相关函数
3、当足够大,对于周期信号x(t)的自相关函数仍然是同频 率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。
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（4）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快速衰减。 当足够大,随机变量x(t)与x(t+ )之间彼此无关, Rx()=ux2, Px()→0 由此可见,利用自相关函数可以有效识别信号中的周期成份
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信 号 相 关 性 的 图 形 描 述
y
y
x
xy 1
xy 1
x
两个随机变量完全相关 y
y
x
0 xy 1
x
xy 0
中等程度相关
完全不相关
图为X,Y两个变量数组成的数据点的分布,由图可见:两个变 量的相关系数的绝对值越接近1,他们的线性相关程度越好. 西安理工大学机制系
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信号的时域相关分析
x , y
信号的标准差，是信号方差的平方根称为标准差
信号x(t)的方差定义为：

2
x
E[( x (t ) E[ x (t )]) ] lim
2
T 1 T 0 T

( x(t ) x ) dt
2
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
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相关分析的工程应用
利用自相关分析:消除信号中的随机噪声。
案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
被测工件
相关分析
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案例：自相关测转速
实测信号 理想信号

干扰信号 自相关系数

利用自相关消除随机干扰噪声。 西安理工大学机制系
利用互相关函数保留相位信息的特点测量物体运 动速度，或者信号传播距离。
2.4 信号的相关分析
统计学中用相关系数来描述随机变量x，y之间的线性相关性。 变量x、y的相关系数定义为:
xy
E [( x x )( y y )]
xy 1
相关系数越接近1， 代表两 变量线性相关程度越好；
x y
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E 代表数学期望;
μx ,μy 信号的均值;
E[( x x )( y y )] 是两个随机变量波动量之积的数学期望
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求正弦信号自相关函数？
x(t ) A sin( wt )
由此可见：周期信号 的自相关函数是一个 1 T lim x(t ) x(t )dt 与原信号具有相同频 Rx ( ) T T 0 率函数，它保留了原 1 T 2 信号的幅值和频率信 A sin(t )sin[ (t ) ]dt T0 0 息，但失去了原信号 的相位信息。
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