概率论第4-1讲资料

{X=k}的
频率
N充分大
∑k*P{X=k}
X取值的平均
定义 1 设离散型随机变量X的分布律为
P(X=xk)=pk , k=1,2,...
若级数
xk pk 绝对收敛，则称它为X的
k 1
数学期望或均值, 记作 E( X ),
E( X ) xk pk k 1
若 | xk | pk 发散，则称X的数学期望不存在. k 1
np
P( X k) ke
k!
k 0,1,2,
分布
概率密度
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
ab 2
E()
ex , x 0,
f (x)
0,
其它
1
N(, 2)
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
3 随机变量函数的数学期望 问题: 求Y=g(X)的数学期望 方法一：
解：设旅客的候车时间为 X（以分记）
(1) X 的分布律： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6
EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)
（2）旅客8：20分到达 X的分布率为
X 10 30 50
70
90
P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)
本
随机变量的平均取值 —— 数学 期望
章 随机变量取值平均偏离平均值的
内
情况 —— 方差
容 描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
§1 数学期望
❖ 离散型随机变量的数学期望 ❖ 连续型随机变量的数学期望 ❖ 随机变量函数的数学期望 ❖ 数学期望的性质 应用
1.离散性随机变量的数学期望
f
(
x)
(1
1
x2
)
,
x
但
| x | f (x)dx
| (1
x
| x2
)
dx
发散
它的数学期望不存在
常见随机变量的数学期望
分布
概率分布
期望
参数为p 的 0-1分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
p
B(n,p)
()
P( X k) Cnk pk (1 p)nk k 0,1,2,,n
这正是
xi f ( xi )xi
i
x f (x)dx 的渐近和式.
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果
x fห้องสมุดไป่ตู้(x)dx
绝对收敛, 定义X的数学期望为
E( X ) x f (x)dx
例5:设X服从U[a,b],求E(X)。 例6:设X服从参数为的指数分布，求E(X)
xi1 f ( x)dx xi
f ( xi )( xi1 xi ) f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替.
因此X与以概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数学期望是
第四章 数 字 特 征
讨论原因:
(1)实际中，有的随机变量的概率分 布难确定，有的不可能知道，而它的 一些数字特征较易确定。
（2）实际应用中，人们更关心概率分 布的数字特征。
（3）一些常用的重要分布，如二项分 布、泊松分布、指数分布、正态分布 等，只要知道了它们的某些数字特征， 就能完全确定其具体的分布。
绝对收敛， 则Y的数学期望存在，且为此积分。
设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(X,Y)，若二 维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=xi, Y=yj )=Pij , i,j=1,2,... 且有级数
E(X )不存在
例4
按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰
有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两
者到站的时间相互独立，其规律为：
到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50
概率
1/6
3/6
2/6
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
引例：射手打靶练习 射手每次射击得分数X是随机变量，射击N次， 得1分a1次，得2分a2次，得3分a3次。
总得分sum=1*a1+2*a2+3*a3，
每次平均得分
e1
e3e2
=sum/N=1*a1/N+2*a2/N+3*a3/N.
每次平均得分
=sum/N=1*a1/N+2*a2/N+3*a3/N
=∑k* ak/N.
说明：
（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体 现了随机变量取值的平均；
(2)要注意数学期望存在的条件：绝对收敛；
(3)当X服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为E(X) .
例1： 设X服从参数为p的0-1分布，求E(X)
例2：设XB(n,p)，求E(X)
n
解：E( X ) kP(x k)
根据g(X)的分布，求出对应的期望E[g(X)].
方法二： 设Y =g(X),若离散型随机变量X的分布律为 P(X=xk)=pk , k=1,2,...， 级数
g(xk ) pk
k 1
绝对收敛， 则Y的数学期望存在，且为此级数.
设Y =g(X),若连续型随机变量X的概率密度为f(x),
g(x) f (x)dx
k 0
n k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
n
n k
11
n
n!
p k (1 p)nk
k1 (k 1)!(n k)!
np
n k 1
n k
11
p
k
1
(1
p) n1(k 1)
np
例3：设X服从参数为的泊松分布，求EX。
注意：不是所有的随机变量都有数学期望
例如 P(X (1)k 2k ) 1 , k 1,2,, k 2k
例7: X ~ N (, 2 ) ， 求E(X).
解：E( X )
x
1
exp( (x )2 )dx
2
2 2
设x y
EX
( y)
1
y2 exp( )dy
1
2
exp(
y2 )dy
2
2
2
y exp( y 2 )dy
2
2
注意：不是所有的随机变量都有数学期望
例如：Cauchy分布的密度函数为
EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)
到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50
概率
1/6
3/6
2/6
2. 连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x), 在数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落 在小区间[xi, xi+1)的概率是