高等代数第二版课件§3.1 消元法
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
高等代数§3.1 消元法
ai 1 对任意 2 i s, 将 1 ( ) i ,得 a11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 a 2 x2 a xn bs s sn
解集合是空集时方程组的解平面直线的交点方程组的解集空间平面的交集直线平行相交重合解的个数01无穷平面平行相交重合解的个数0无穷无穷4同解的线性方程组定义如果两个线性方程组有相同的解集则称它们是同解的
§3.1 消元法
一、一般线性方程组的基本概念 1、一般线性方程组 定义 一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 (1) a s1 x1 a s 2 x2 a sn xn bs 的方程组，其中 x1 , x2 , , xn代表 n 个未知量；
1 2
(1)
s
(1) 若 ai 1 0( i 1, , s ), 则原方程组对 x1无限制,
即 x1可取任意值.从而方程组可以看作是 x2 , , x s 的方程组来解．
(2) 若 a11 , a21 , , as1 不全为0, 利用互换变换可使 第一个方程中 x1 的系数不为0.
可不妨设 a11 0.
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换
（1）交换方程次序；
（2）以不等于0的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
高等代数第二版课件§3[1].3 线性相关性
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在解几中，向量空间 R 3 中的任一个向量α可由 i, j , k 和
一、向量组的线性关系
1 , 2 ,, r
线性表出。
第三章 线性方程组
例3.3.2 在 F 中，任一向量 a1 , a2 , , an 可由向量组 1 1, 0,, 0 , 2 0,1,, 0 ,, n 0, 0,,1 线性表示， i 称为n维单位向量。 1 , 2 ,, n 在 F n 中有重要的作用。 这回答了本段开头提出的问题， 它有哪些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？ 下面将给予回答。 注1：零向量是任一向量组的线性组合。 n 定义2：对于 F 中r个向量 1 , 2 ,, r ，若存在F中不全为 k11 k2 2 kr r 0 ，则称 零的数 k1 , k2 , , kr ，使 1 , 2 ,, r 线性相关，否则称 1 , 2 ,, r 线性无关， （即不存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr ，使
（否则得 n l11 ln 1 n 1 , 矛盾）， 不妨设 ln 0, 于是 因此，向量组（Ⅲ）1 , 2 ,, n , n 1 ,, s 与向量组（Ⅳ） 1 ,, n 1 , n ,, s 等价。
ln 1 ln 1 ls l1 1 n n 1 n 1 n 1 s ln ln ln ln ln
1 , 2 ,, r r 2
第三章 线性方程组
三、向量组的等价和替换定理
定义4
设向量组（Ⅰ）： 1 , 2 ,, r 和向量组（Ⅱ）：
1 , 2 ,, s 是向量空间 F n 中的两个向量组，如果组（Ⅰ）
大学文科数学3-1 线性方程组的消元解法ppt
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此 对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只 对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上， 记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有
高等代数--第二章 线性方程组
• 用初等变换化方程组为阶梯形方程组就 相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯 形矩阵. 所以，解方程组一般用增广矩阵 化简.
x1 2 x2 x3 2 x4 1 • 例 2 2 x1 4 x2 x3 x4 5 x 2 x 2 x x 4 2 3 4 1
答案：当 1 时，方程组无解 当 1 时，方程组有解
§2 n维向量空间 R
n
消元法是解方程组的一个行之有效的算 法。但有时需要直接从原方程来判是否 有解？并且，消元法化为阶梯形方程组 的过程中，最后剩下来的方程个数是否 是唯一的？这些问题都需要用向量的知 识来解决。
n维向量及其线性运算
2 x1 x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
方程组的解为（9，-1，-6）。
其中用到
1、互换两个方程的位置(位置变换)； 2、用一个非零数乘某一个方程(倍法变换)； 3、把一个方程的倍数加到另一个方程上 (消法变换). 定义1 变换1、2、3称为线性方程组的 初等变换.
答案
例5
x1 2 x2 x3 x4 x5 1 2 x x 3x 2 x x 0 1 2 3 4 5 x1 3x2 2 x3 2 x4 3x5 2 3x1 11x2 2 x3 2 x4 x5 2
（7）
这时，有无穷多组解。由（7）式，我们可以把
x1, x2 ,, xr 通过 xr 1,, xn 表示出来，这样一
组表达式称为方程组（1）的一般解， 而
xr 1,, xn 称为一组自由未知量。
• r>n，是不可能的 • 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组， 若
线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件
0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元 法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则 有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节 解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1
高等代数第3章线性方程组
3.1 消元法
线性方程组
3.1.1 高斯消元法及矩阵表示 3.1.2 矩阵表示 3.1.3 一般情形
3.1.1 高斯消元法
分析：用消元法解下列方程组的过程． 分析：用消元法解下列方程组的过程． 引例 求解线性方程组
2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2 x + x = 4, 1 2 3 4 4 x1 − 6 x2 + 2 x3 − 2 x4 = 4, 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9,
1 2
3
4 1 2
3
3
4
↔4 −23
4
用“回代”的方法求出解： 回代”的方法求出解：
x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 其中 为任意取值 . 其中x3 于是解得 x = −3 4
或令x3 = c , 方程组的解可记作
x1 = c + 4 x = c + 3 2 x3 = c x 4 = −3
阶 矩 : 行 梯 阵
（1）元素全为0的行全在下方； 元素全为0的行全在下方； 行的第一个非0元素的 （2）对于非零行，第i+1行的第一个非 元素的 对于非零行， 行的第一个非 列标大于第i行的第一个非 行的第一个非0元素的列标 列标大于第 行的第一个非 元素的列标
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0
3.1.3 一般情形
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
【VIP专享】1--消元法
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
r1 ( 2 ) r2
1 2 4 3 0 6 9 0
5
7
1
28
x1 2 x2 4 x3 3
6x2 9x3 0
5 x1 7 x2 x3 28
x1 2 x2 4 x3 3
1 2 4 3 阶
梯
( Ab) 1 2 4 3 0 2 3 0 形
5
7
1
28
0
0
13
26
矩 阵
解线性方程组的第 2 个步骤： 对 增广矩阵 进行初等行变换，将之化作阶梯形矩阵。
接下来，判断线性方程组是否有解。准则： 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列。 若在最后一列，则原来的线性方程组无解。否则有解。
x1 c1
x2 xn
c2 cn
线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .................................................
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
若常数项 b1，b2， ，bn 全为0，则称方程组为齐 次线性方程组； 否则称为非齐次线性方程组。
若 x1 c1，x2 c2， ，xn cn 满足方程 组，则称之为方程组的一个解。
通常我们将线性方程组的解写成列向量 的形式，并称之为一个解向量：
系数矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22 am 2
... a1n
...
高等代数消元法
对于方程组 (3)，首先检查 x1 的系数. 如果 x1 的系数 a11, a21,
· · · , as1 全为零，那么方程组 (3) 对 x1 没有任何限制，就可以取
任何值，而方程组 (3) 可以看作 x2, · · · , xn 的方程组来解. 如果
x1 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可以设 a11 ̸= 0 . 利
A = aa12... 11
a12
a22 ...
··· ···
aa12... nn
as1 as2 · · · asn
称为线性方程组 (1) 的系数矩阵.
实际上，有了 (2) 之后，除去代表未知量的文字外线性方程组
(1) 就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
消元法
解 第二个方程减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个
方程，就变成
2x1−x2
4x2 2x2
+3x3 = 1, − x3 = 2, − x3 = 4.
故 (c1, c2, · · · , cn) 又满足 (4) 的第一个方程，因而是 (4) 的解. 这就证明了 (3) 和 (4) 是同解的.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
初等变换求线性方程组的解
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
+
(a12 +··
+ ka22)x2 · + a2nxn
高等代数课件第三章-线性方程组
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
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a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
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如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
01 第一节 消 元 法
第三章 线性方程组在第一章里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形，即线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数，且方程组的系数行列式不等于零的情形. 求解线性方程组是线性代数最主要的任务，此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用，因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论. 本章主要讨论一般线性方程组的解法，线性方程组解的存在性和线性方程组解的结构等内容.第一节 消 元 法分布图示★ 引例★ 线性方程组★ 线性方程组解的判定定理★ 例1 ★ 例2★ n 元线性方程组的求解★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9-1内容要点引例 用消元法求解下列线性方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+2875342622321321321x x x x x x x x x通常把过程①-④称为消元过程，矩阵④就是行阶梯形矩阵，与之对应的方程组④则称为行阶梯方程组.从上述解题过程可以看出,用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:(1)交换某两个方程的位置;(2)用一个非零数乘某一个方程的两边; (3)将一个方程的倍数加到另一个方程上去.以上这三种变换称为线性方程组的初等变换. 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组, 显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得原方程组的解. 如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程.将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以，同一个方程组的行行阶梯形方程组也不是唯一的. 特别地，我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为行最简形方程组, 从而使我们能直接“读”出该线性方程组的解.通常把过程⑤-⑧称为回代过程.从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换.对一般线性方程组(1)是否有同样的结论? 答案是肯定的. 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论.设有线性方程组)1(22112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其矩阵形式为 b AX = (2)其中 ,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 称矩阵)(b A （有时记为A ~）为线性方程组(1)的增广矩阵.当m i b i ,,2,1,0 ==时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 显然，齐次线性方程组的矩阵形式为0=AX (3)定理1 设n a A n m ij ,)(⨯=元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.)(n A r <定理2 设n a A n m ij ,)(⨯=元非齐次线性方程组b Ax =有解的充要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵)(~b A A =的秩, 即 ).~()(A r A r =注：记)(b A =A ~，则上述定理的结果，可简要总结如下:(1) 有唯一解；b Ax n A r A r =⇔==)~()((2) 有无穷多解；b Ax n A r A r =⇔<=)~()((3) 无解；b Ax A r A r =⇔≠)~()((4) .0)(只有零解=⇔=Ax n A r(5) .0)(有非零解=⇔<Ax n A r而定理的证明实际上给出了求解线性方程组(1)的方法:对非齐次线性方程组，将增广矩阵A ~化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当n r A r A r <==)~()(时，A ~的行阶梯形矩阵中含有r 个非零行，把这r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余r n -个作为自由未知量.对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.例题选讲例1 判断下列方程组是否有解? 如有解, 是否有唯一的一组解? ⎩⎨⎧=+++=+-+.0,13243214321x x x x x x x x解 方程组的系数矩阵=A ,11111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 显然A 有一个2阶子式1121,01≠-=，因此.2)(=A r 增广矩阵=A ~,0111111321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-显然,2)~(=A r 因此该方程组有解. 但方程组的未知数个数为4，因此应有无穷多组解.例2 判断方程组是否有解?⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-=++=++-.02,12,0,14332131321321x x x x x x x x x x x解 利用初等变换法求增广矩阵A ~的秩.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----021111020111141321r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0211110214130111 14131223r r r r r r -++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---030013201740011132r r ↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0300174013200111232r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0300110013200111343r r +.3000110013200111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-因此.4)~(,3)(==A r A r 由于),~()(A r A r ≠故原方程组无解.例3 (E01) 求解齐次线性方程组 .0340222022432143214321⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++x x x x x x x x x x x x解 对系数矩阵A 施行初等行变换.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221A 13122r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------463046301221)3(223-÷-r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000042101221 212r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00003421035201 即得与原方程同解的方程组 ⎩⎨⎧--=-=432431)4(2)5(2x x x x x x (43,x x 可任意取值).令,,2413c x c x ==把它写成向量形式为.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴c c x x x x 它表达了方程组的全部解.例4 (E02) 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++--=--+7739183332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵)(b A 施以初等变换，化为阶梯形矩阵： )(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=77391111833312111151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------884140442704427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00000000004427011151⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------00000000007/47/47/21011151,42)()(<==A r b A r 故方程组有无穷多解. 利用上式回代回代,00000000007/47/47/2107/137/137/301⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=43243174727471373713x x x x x x取212413,(,c c c x c x ==为任意常数），由方程组的全部解为.747274713737132413212211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=--=cx c x cc x c c x例5 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=-++=-+=+++63243214132432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x .解 =)(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----61132413211411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----87510341101411013211⎪⎪⎭⎫⎝⎛----93600200001411013211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20000936001411013211因为,3)(=A r ,4)(=b A r ),()(A r b A r ≠ 所以原方程组无解.例 6 证明方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-515454343232121a x x ax x a x x a x x a x x 有解的充要条件是054321=++++a a a a a .在有解的情况下, 求出它的全部解.证 对增广矩阵A ~进行初等变换:=A ~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----543211000111000011000011000011a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a ~()(A r A r =∑==51,0i ia∴方程组有解的充要条件是∑==51.0i ia在有解的情况下，原方程组等价于方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-454343232121a x x a x x a x x a x x故所求全部解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+++=++++=544543354322543211a a x a a a x a a a a x a a a a a x )(5为任意实数x例7(E03) 讨论线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++t x x x x x px x x x x x x x x x x 432143214321432112105,3153,363,132 当t p ,取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的情况下, 求出全部解.解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=t p B 121051315133163113211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------191260066402242013211t p ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--53000422001121013211t p (1) 当2≠p 时，,4)()(==B r A r 方程组有唯一解； (2) 当2=p 时，有B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-53000420001121013211t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t 当1≠t 时，,4)(3)(=<=B r A r 方程组无解； 当1=t 时，,3)()(==B r A r 方程组有无穷多解.B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10000210001121013211－t ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000210001121013211 ，－⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000210003021080001 即 ,23284321⎪⎩⎪⎨⎧==+-=x x x x 故原方程组的全部解为).(203801204321R k k x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛例8（E04）假使你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案是否唯一呢?解：设公寓的每层采用同一种方案，有1x 层采用方案A ，2x 层采用方案B ，3x 层采用方案C ， 根据条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6654374347136988321321321x x x x x x x x x ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00006021340410266543410212013806654382041369886654374347136988~b A A因为()()32~<==A r A r ，故方程组有无穷多解.利用上面最后一个矩阵进行回代得到()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000060213404102b A该矩阵对应的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=323181315212x x x x 取c x =3(其中c 为正整数数)，则方程组的全部解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=c x c x c x 32181315212 又由题意可知321,,x x x 都为正整数，则方程组有唯一解6,2,8123===x x x .所以设计案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A ，2层采用方案B ，8层采用方案C.例9（E05）在一个原始部落，农田耕作记为F ，农具及工具的制作记为M ，织物的编织记为C 。
高等代数课件ppt3-1
２° d r 1
此时去掉 “０＝０” 的方程． 分两种情况：
i)
若r
n ．这时阶梯形方程组为
c11 x 1 c12 x 2 c1 n x n d 1 c 22 x 2 c 2 n x n d 2 c nn x n d n
设 ( c 1 , c 2 , , c n ) 是方程组（1）的任一解，则
§3.1 消元法
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 n c n b1 a 21c1 a 22 c 2 a 2 n c n b2 a s 1 c1 a s 2 c 2 a sn c n b s
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 x 2 x 3 2 2 x1 x 2 3 x 3 1 3 x1 2 x 2 5 x 3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 消元法
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 3 x3 9
第三个方程乘以
1
，得
3 x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 x3 3
设 k 1 , k 2 , , k n 是 n 个数，如果 x 1 , x 2 , , x n 分别用
k 1 , k 2 , , k n
代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,
( k 1 , k 2 , , k n ) 是（1）的一个解.
高等代数3.3 线性相关性
3.1 消元法
3.2 n维向量空间
3.3 线性相关性
3.4 矩阵的秩
3.5 线性方程组有解判别定理3.6 线性方程组解的结构
一、向量组等价
二、向量组的线性相关性
三、用定义判别线性相关性
四、线性相关性的判别定理
五、极大线性无关组
六、方程组与向量组的关系的进一步研究
向量组验证可
传递性的证明
证明定义12 与定义12'是等价的
证明
M1 M2M3
O
X 3
3
3
R
图3 –7
2x+3y+z=4
3x+8y-2z=13
x-2y+4z=-5
4x-y+9z=-6图3 –8
用消元法求解得，它有无穷多解，当然有非零解
线性相关.
证明
定理1即得向量组的一个基本
定理1
把定理2换个说法，即得：
验证如下
(), 因为
此，
证明
的推论3。
高等代数课件--第三章 线性方程组§3.1 消元法
增广矩阵
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as 2
a1 n b1 a 2 n b2 a sn bs
二、消元法
1．引例 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 2x x 2x 5 1 2 3
三、齐次线性方程组的解
定理1 在齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n 0
第三章 线性方程组
——解决一般的线性方程组的解的 相关问题，解的结构问题
§3.1 消元法
一、一般线性方程组
1．一般线性方程组是指形式为
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
成恒等式，则称有序数组(k1, k2,…, kn)是(1)的
一个解．
解集合 方程组(1)的解的全体所成集合称 为它的解集合．
解集合是空集时就称方程组(1)无解．
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合， 则称它们是同解的
4．方程组的系数矩阵与增广矩阵
系数矩阵
a11 a 21 A a s1 a12 a 22 as 2 a1 n a2 n a sn
方程．于是(1)就变成
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a s 2 x 2 a sn x n bs
高等代数线性方程组
高等代数线性方程组一、消元法顾名思义，就是不断通过消去未知量求得方程组的解消元法的三种基本变换（初等变换）：1）用一非零的数乘某一方程2）把一个方程的倍数加到另一个方程3）互换两个方程的位置是不是感觉矩阵变换的性质类似哈哈哈，没错消元法的过程就是反复施行初等变换的过程，初等变换总是把方程组变成同解方程。
1.当 r=n ,此时阶梯形方程组为其中 c_{ii}\ne0,i=1,2,···,n，从最后一个方程开始求解， x_{n},x_{n-1},···,x_{1}确定，方程有唯一解。
2. r<n ,此时阶梯形方程为显然，给定一组值x_{r+1},···,x_{n}就可以唯一确定x_{1},x_{2},···,x_{r}的值将x_{r+1},···,x_{n}称为自由未知量，方程有无穷个解。
3. r>n 情况不可能出现定理1：在齐次线性方程组中，如果 s<n ，那么它必有非零解。
增广矩阵：矩阵称为线性方程组的增广矩阵。
用初等变换化方程组成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵,从而解线性方程组的第一步可通过矩阵进行。
二、n维向量空间向量的性质：和： \gamma=\alpha + \beta交换律： \alpha+\beta=\beta+\alpha结合律： \alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma 定义6 \alpha-\beta=\alpha+(-\beta)定义7（数乘运算）：k\alpha=(ka_{1}+ka_{2},···,ka_{n})k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta(k+l)\alpha=k\alpha+l\alphak(l\alpha)=(kl)\alpha定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在他们上的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间。
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→
6 2 0 2 0 1 1 5 0 0 3 18
分别用 2 和 3 乘第1行和第3行
1
分别把第1个方程和第3个 1 1 方程乘以 和 3
1
x1
x3 3 x2 x3 5 x3 6
→
1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x2 x3 5
→
6 2 0 2 0 0 3 18 0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
把第2个方程与第3个 方程互换位置
2 x1
2
2 x3 6 x2 x3 5 3 x3 18
用 a111 乘第一行得：
1 b12 0 b22 A1 A2 0 bm 2
b1n b2 n bmn
b22 b2 n A2 中的右下角矩阵 类似考虑，若其为0， 对 b bmn m2
c1n c2 n ctn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（2）。
A 由定理3.1.3知， 中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法 变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C 化为
c1n c2 n ctn 0 0
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至 该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零； 若该行全为零，则它的下方元素也全为零。 证明：若A=0，则A已成阶梯形， 若 A 0 ，则A至少有一个元素不为0，不妨设 a11 0， （否则，设 aij 0 ，我们可经行、列变换，使 aij 位于
—（2）
其中 xi1 , xi2 ,, xin 是 x1 , x2 ,, xn 的一个排列。 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵 A A b 经一系列 行初等变换及列换法变换（但最后常数列不能交换）可化为矩 阵：
第三章 线性方程组
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第三章 线性方程组
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方 程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的 “变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开 具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 m n 个元素排成形如下数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 称为数域 F 上的m行n列 am1 am 2 amn 矩阵，简称 m n 阶矩阵，记为 Amn 或 aij mn 。aij 称为矩阵的 元素，i称为元素 aij 所在行的行下标，j称为元素 aij 所在列的 n 列下标。 当m=n时， n 矩阵亦称为方阵。
第三章 线性方程组
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c1n c2 n ctn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 dr 2 dn
若 dr 1 ,, dn 中有一个不为零，不妨设 dr 1 0，否则可经行变换 换到第r+1行，然后对r+2，…，n行进行行消法变换，可使 dr 2 dn 0 。于是 C1 就化为 C 由定理3.1.4 可知： 1、当 dr 1 0 时，方程组无解； 2、当 dr 1 0 时，
第三章 线性方程组
则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 0 ，用 b221bi 2 , i 3,, m 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 b221 乘第二行得：
1 b12 b13 0 1 c23 A2 A3 0 0 c33 0 0 c m3
第三章 线性方程组
a11 a12 a21 a22 若A an1 an 2
a1n a2 n ，则 ann
a11 a21 an1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
称为矩阵A的
行列式，记为 A 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换） 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换） 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以 下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与 原方程组同解。
左上角）。把第一行分别乘以 a111ai1 , i 2,3,, m 加到
第三章 线性方程组
第i行，则A化为
a11 a21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a12 a2 n 0 b22 A 0 b amn m2 a1n b2 n x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
第三章 线性方程组
→
2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
第三章 线性方程组
定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组。 证明：对第（1）种初等变换证明之。 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换， 因此由定理3.1.1，我们有 定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵 A 进行行初等 变换化为 B ，则以 B 为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同 解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问： 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
—（1）
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Cramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
第三章 线性方程组
组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表
第三章 线性方程组
定理3.1.3: 一个m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形
1 0 1 B 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2x 2 x3 6 1
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
→
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
给 xir1 ,, xin 一组值，就唯一定义出 xi1 ,, xir 的一组值从而得 方程组（1）的一个解。把 xi1 ,, xir 通过 xir1 ,, xin 表示出来， x 这样得到的解称为方程组（1）的一般解， ir1 ,, xin 称为 方程组的一组自由未知量。需要说明的是，在实际解线性方程 组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他 列互换，以及对列进行其他变换。
xi1 c1,r 1 xir 1 c1n xin d1 xi2 c2,r 1 xir 1 c2 n xin d 2 xir cr ,r 1 xir 1 crn xin d r 0 d r 1 00 00
第三章 线性方程组
把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程
分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行
9 x1 x2 1 x3 6
→
1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； 用一个非零数乘一个方程的两边； 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换： 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；
第三章
§3.1
线性方程组
消 元 法
§3.1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 2n n 2 对一般线性方程组 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .