初中数学-垂径定理及其应用巩固练习

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垂径定理练习题4套

1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。

1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

九年级数学解题模型之垂径定理专题训练卷

九年级数学解题模型之垂径定理专题训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，已知⊙O的直径CD＝8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，则AB 的长为（）A．2B．2C．4D．42．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（）A．12B．C．13D．163．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．4．如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，其中圆心O到AB 的距离为4cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（）cm2．A．B．C．D．5．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A．13B．14C．12D．286．日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知AC＝BD＝5cm，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，CD＝16cm，⊙O的半径r＝10cm，则圆盘离桌面CD最近的距离是（）A．6B．5C．2D．17．已知正方形ABCD的边长为4，点E是线段CD上一点，作点C关于BE的垂线交BE于点F，以F为圆心，CF为半径的圆交BE于点P，M在AB上，N在AC上，则C△PMN 的最小值为（）A．B．C．D．8．在⊙O中内接四边形ABCD，其中A，C为定点，AC＝8，B在⊙O上运动，BD⊥AC，过O作AD的垂线，垂足为E，若⊙O的直径为10，则OE的最大值接近于（）A．B．C．4D．59．如图，在半径为5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝8，垂足为E．则tan∠OEA的值是（）A．1B．C．D．10．如图，AB为⊙O'的直径，弦CD⊥AB于点O，分别以AB，CD所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，直线y＝﹣x﹣与⊙O′交于点A，E，若⊙O'的半径为5，则弦AE的长为（）A．B．C．2D．二．填空题（共10小题）11．利用如图所示4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，和数轴的正负半轴各交于一点，则数轴上左边A点表示的实数为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I 在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN ＝．13．如图，点C是的中点，弦AB＝8米，半径OC＝5米．则CD＝米．14．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径长为．15．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为．16．如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O．若BD＝6，则⊙O的半径长是．17．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米．18．中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝2km，则这段圆曲线（弧AB）的长为km．（结果保留π）19．如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是mm．20．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是．三．解答题（共10小题）21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠C+2∠BDC＝90°；（2）若，BC＝2米，求车轮的直径AB的长．22．如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现AM＝AB，将玻璃棒竖立起来（MN⊥AB）时，测得MN＝37.5cm．（1）求∠BAM的度数，并求AB的长；（2）求弧AMB的长；（3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度．23．阅读与思考直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线…证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明．添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直．图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，MN⊥EF，垂足为O，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，OF上滑动，当点B 恰好落在⊙O上时，∠PBO＝∠P AO，请判断此时AP与⊙O的位置关系并说明理由．小王的解题思路如下：AP与⊙O相切．理由：连接OP．∵点B恰好落在⊙O上，∴∠PBO＝∠POE（依据1），∠PBO＝∠P AO，∴∠POE＝∠P AO．∵MN⊥EF，∴∠POE+∠AOP＝90°，∴∠P AO+∠AOP＝90°．∵∠P AO+∠AOP+∠APO＝180°，（依据2）∴∠APO＝90°，∴AP与⊙O相切．任务：（1）依据1：．依据2：．（2）在图2中，⊙O的半径为3，AP＝4，求BP的长．24．如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为41cm，轮胎的最高点H比汽车底盘EF高61cm，轮胎与地面接触的长度AB＝18cm．（1）求汽车底盘EF到地面的距离．（2）现计划在E处加装挡泥板EQ（EQ⊥EF）．当车辆行驶时，泥沙会从点A处沿切线向后甩出．若轮胎中心O到EQ的距离是59cm，求挡泥板EQ至少要多长才能挡住泥沙．25．图1是某育花苗圆的木制园门，门上头是半圆，下部是长方形．现有一辆装满货物的小货车要从该木制园门（园门各部位尺寸见图2）开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m．问：这辆小货车能否通过该苗圆的木制园门？26．如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底截线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝20m，OE⊥CD于点E．（1）当测得水面宽时，①求此时水位的高度OE；②求水面以上的桥洞部分（即）的长；（2）当水位的高度比（1）上升1m时，有一艘宽为10m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？27．一条盘水管的截面如图所示，水面宽AB垂直平分半径OD．（1）求∠ODB的度数；（2）若⊙O的半径为6，求弦AB的长．（3）若连结AD，请判断四边形AOBD的形状，并给出证明．28．玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅•释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h，图2是一枚破损的汉代玉环，为器物原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB＝12，半径OC⊥AB于点D，测得CD ＝3，连接OB，求该玉环中孔半径的长．29．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．30．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD 经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：≈2.236）。

3++垂径定理同步练习2023-2024学年鲁教版数学九年级下册

3 垂径定理同步练习2023-2024学年九年级下册数学鲁教版知识点① 垂径定理1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE 的余弦值为( )A. 7113 B. 1213 C. 712 D. 13222.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米,⊙O 的半径长为4 米.若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是 ( )A.1米B.(4−√7)米C.2米D.(4+√7)米变式1如图所示的是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，若OM⊥CD,延长MO 交⊙O 于点E,并且CD=8m,EM=8m,则⊙O 的半径为 .变式2 如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为 10 cm ，水的最深处到水面AB 的距离为4cm,则水面AB 的宽度为 cm.(M9205004)变式3如图所示的是一张隧道断面结构图.隧道内部为以O 为圆心，AB 为直径的圆.隧道内部共A分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离为6.4m ,点 B 到路面的距离为4.0 m.求路面CD的宽度.(结果精确到0.1m)3.如图,AB 是⊙O 的一条弦,点C,D是⊙O上的点,连接CD交AB于点E,若∠ODC+∠AED=90°.求证:AC=BC.4.如图，有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度AB=60米,拱高 PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径的长；(2)当洪水泛滥到水面宽度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即当PE=4米时，是否要采取紧急措施?知识点❷垂径定理的推论5.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD 的长为 ( )A.5B.4C.3D.26.如图，B为⊙O上一点，A 为BC的中点，AB=3,∠ABC=30°,则⊙O的半径为 .7. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB̂=AĈ,AO=5,BC=6则△ABC 的面积=8.某个工件槽的两个底角均为90°，尺寸(单位：cm)如图所示.将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.9.如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于C,D,则点 D的坐标为 ( )A.(4−2√6,0)B.(−4+2√6,0)C.(−4+√26,0)D.(4−√26,0)10.如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y=√33x+2√33与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 .11.为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴，实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推——も广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD=2m,底部BC=4√3m，那么BC所在圆的半径为 m.12.如图,AB是⊙O 的直径,点 P 是AB 上一点,且点 P 是弦CD的中点.(1)依题意画出弦CD；(不写作法，保留作图痕迹)(2)若AP=4,CD=16,求⊙O的半径.13.如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,点 C 在 BO 延长线上,且cos∠ABC=45,OC=12OB.(1)求⊙O 的半径;(2)求∠BAC的正切值.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C, D两点,且C为AEE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为(-1,0),AE=4.(1)求点 C 的坐标;(2)连接MG,BC,求证:MG∥BC.。

部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为　400π　.（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是　5　cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为　26　寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　10　m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为　7.5　cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为　26　米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。

【人教版】数学九年级全一册24.垂直于弦的直径——垂径定理的推论及应用随堂练习(课件版)

用垂径定理及其推论解决实际问题
【例 3】如图，实线为一条公路，公路有一段是圆弧 (弧 AB)，已知 AB＝12 米，CD＝2 米，半径 OC⊥AB，求 OA 的长．
解：∵半径 OC⊥AB，∴AD＝A2B ＝6. 在 Rt△AOD 中， OA2＝OD2＋AD2＝(OC－DC)2＋AD2＝(OA－2)2＋62. ∴OA2－(OA－2)2＝62. 解得 OA＝10. 答：OA 的长为 10 米．
AD＝12 AB＝5.
∴OA2＝(OA－1)2＋52. 解得 OA＝13. ∴⊙O 的半径为 13.
3.如图，M 是⊙O 中弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交⊙O 于点 E，并且 CD＝6，EM＝9，求⊙O 的半径．
解：如图，连接 OC. ∵M 是弦 CD 的中点，EM 过圆心 O， ∴CM＝MD，EM⊥CD. ∵CD＝6，∴CM＝3. 设 OC＝x，则 OM＝9－x. 在 Rt△COM 中，根据勾股定理，得 32＋(9－x)2＝x2. 解得 x＝5. ∴⊙O 的半径为 5.
垂径定理的推论
【例 1】如图，在⊙O 中，点 A 是圆上一点，OA 与弦 CD 交于点 B ，且 BC ＝ BD ，则 ∠OBD ＝
_______9_0__°_______，A⌒C ＝____A⌒_D______．
2.如图，CD 是直径，AB 是弦，CD 平分 AB，则下列
结论正确的有_①___②__③__④__．(填序号)
(2)求证，AB∥CD， ∴EF⊥CD. ∵EF 过圆心 O，∴CF＝DF. ∴EC＝ED.
8.如图是一块残破轮片的示意图，点 O 是这块轮片
的圆心，AB＝120 mm，C 是A⌒B 上一点，OC⊥AB，
垂足为 D，CD＝20 mm，求原轮片的半径 r.

垂径定理—巩固练习(提高)

垂径定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③»»AC BC=；④»»AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75° D．15°或75°5.（2015•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．COBDA7题图 8题图9题图9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC ，AB =6cm ，AC=4cm ，则⊙O 的半径等于______cm ． 10．（2015•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为E ，连接AC ．若∠CAB=22.5°，CD=8cm ，则⊙O 的半径为 cm ．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm ，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为．(第12题)12．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= . 三、解答题13.如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD=15，35OE OC ∶∶，求弦AB 和AC 的长．14．如图所示，C 为¼ACB的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE ⊥BC 于E ，若BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，求弦AB 的长．15．如图所示，已知O 是∠MPN 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A 、B 和C 、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.AEOFBP16.（2015•杭州模拟）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 交于点E ，OE 平分∠BED．（1）求证：AB=CD ；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE ﹣AE 的值．EODCBA【答案与解析】一、选择题 1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ．【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则()()22221R R =+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C ；【解析】连接CD ，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】42 ．【解析】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE 为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=4cm，故答案为：411．【答案】23cm.【解析】连接OC,易求CF= 3.CD=23cm.12.【答案】5.【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=15.2AB=三、解答题13.【答案与解析】连结OA，∵CD=15，35OE OC=∶∶，∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴222222227.5 4.562126335AE OA OEAB AE AC AE CE=-=-====+=+=，14.【答案与解析】因为C为¼ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB.由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，设,,BP a CP b==则22222221046a ba b⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得210a=，2410AB a cm==.15.【答案与解析】（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.∵ PO平分∠MPN∴ OE=OF，PE=PF∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.A A E EP O P O F FC C PA=PC PA=PC16.【答案与解析】解：（1）过点O 作AB 、CD 的垂线，垂足为M 、N ，如图1，图1NMEODC BA∵OE 平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD， ∴OM=ON， ∴AB=CD；（2）如图2所示，A BC DOEMN图2由（1）知，OM=ON ，AB=CD ，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON 与Rt△EOM 中， ∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL ）， ∴NE=ME，∴CD﹣DN ﹣NE=AB ﹣BM ﹣ME ，即AE=CE ，∴DE﹣AE=DE ﹣CE=DN+NE ﹣CE=CN+NE ﹣CE=2NE ， ∵∠BED=60°，OE 平分∠BED， ∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．。

圆中垂径定理综合应用(解析版)-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》(人教版)

专题4.1圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】【题型1直接运用勾股定理求线段】1．（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴，在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理可得：．故选：C．2．（2023•安徽模拟）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，则DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四边形OHEF为正方形，∴OE＝EH＝2．故选：A．3．（2022秋•泉港区期末）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长为（）A．2B．3C．4D．8【答案】D【解答】解：连接OA，∵OC为弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故选：D．4．（2021秋•澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：B．5．（2021秋•新昌县校级期中）如图，⊙O的半径为4，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四边形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故选：A．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故选：C．7．（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）【答案】D【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，∵AB过A，∴MB＝NB，∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），故选：D．【题型2勾股定理与方程综合求线段】8．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4.2C．5.8D．6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．9．（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5B．6C．4D．2【答案】A【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OF＝r，OE＝EF﹣OE＝8﹣r，又∵OE⊥弦AB于点E，∴AE＝＝＝4，在Rt△AOE中，AO2＝OE2+AE2，即，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5．故选：A．10．（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【答案】AB的长．【解答】解：连接OB，OD，则：，∵DE＝EB＝2，即E为BD中点，∴AC垂直平分BD，又∵EC＝1，∴OE＝OC﹣CE＝OB﹣1，由勾股定理得：OE2+EB2＝OB2，即：（OB﹣1）2+22＝OB2，解得：，则AE＝AC﹣EC＝2OA﹣1＝4，∴．即：AB的长．11．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD 的面积．【答案】．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．【题型3垂径定理在实际中应用】12．（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．米C．3米D．米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，连接OC交AB于D，则OC⊥AB，，在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2，∴，∴，即点C到弦AB所在直线的距离是米，故选：D．13．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．3B．4C．D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故选：A．14．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，∴EM⊥CD，∵CD＝6，∴CM＝CD＝3，设OC是x米，则OM＝9﹣x，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴OC＝5．故选：B．15．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．16．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O 是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴，设半径为r，则OD＝r﹣10，在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，即（r﹣10）2+302＝r2，解得r＝50m，答：这段弯路的半径为50m．17．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】（1）下水管半径为0.5米；（2）水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，则CD＝0.1米，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3米，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+BC2，∴OB2＝（OB﹣0.1）2+0.09，∴BO＝0.5，即下水管半径为0.5米；（2）如图，过点O作OH⊥MN于H，∴NH＝MH，∵水位又被抬升0.7米，∴OH＝0.1+0.7﹣0.5＝0.3米，∴NH＝＝＝0.4米，∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．18．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】0.4米．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．19．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB＝60米，MP＝18米，OP⊥AB，∴AM＝AB＝30（米），OM＝OP﹣MP＝（x﹣18）米，在Rt△OAM中，由勾股定理得OA2＝AM2+OM2，∴x2＝302+（x﹣18）2，∴x＝34（米）．当PN＝4时，∵PN＝4，OP＝x，∴ON＝34﹣4＝30（米），设A′N＝y米，在Rt△OA′N中，∵OA′＝34，A′N＝y，ON＝30，∴342＝y2+302，∴y＝16或y＝﹣16（舍去），∴A′N＝16，∴A′B′＝16×2＝32（米）＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．【答案】（1）圆的圆心如图所示；（2）13．【解答】解：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；（2）连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD＝（r﹣8）cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB＝24cm，∴AD＝12cm，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+122，解得：r＝13．21．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝AB＝3.6m．又∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4﹣2＝0.4m，∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5m，在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．22．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？”（注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺＝10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．）【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA，如图所示：∵AB⊥CE，∴AD＝BD，∵AB＝10，∴AD＝5，在Rt△AOE中，∵OA2＝OD2+AD2，∴OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13，∴CD＝2A0＝26；即直径为26寸．23．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．24．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直径AB＝26m，∴OD＝，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD＝5：24，∴OE：ED＝5：12，∴设OE＝5x，ED＝12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．25．（2022秋•东台市期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。

中考数学专题训练---垂径定理培优练习(含解析)

∴OP＝
，
故选：B．
9．解：连接 BE，
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4，设 OA＝x，
∵CD＝2， ∴OC＝x﹣2，在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5， ∴OA＝OE＝5，OC＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE 是直径， ∴∠B＝90°，
P 的所有弦中，弦长是整数的共有（）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
5．（2019•金华模拟）如图，以 M（4，0）为圆心，3 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B，P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA 与 PB 分别交 y 轴于点 C、D，以 CD 为直径的⊙ N 交 x 轴于点 E、F，则 EF 的长（）
中考数学专题训练---垂径定理培优练习
一．选择题 1．（2019•哈尔滨模拟）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝2BC，连接
OA、OC，若∠OAC＝45°，则 tan∠C 的值为（）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O 中，已知弦 AB 长为 16cm，C 为的中点，OC 交 AB 于点 M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（）

PB，AE＝ AB＝3，
∴BD＝DP，在 Rt△AEO 中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝
＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°， ∴△AOE∽△ABD，
∴ ＝，即＝，
∴BD＝， ∴BD＝PD＝，即 PB＝， ∵AB＝AP＝6， ∴∠ABD＝∠APC， ∵∠PAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CPA，

初三数学下垂径定理—知识讲解(提高)+巩固练习

垂径定理—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，22552OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50．∵∠OCA=30°，∴=33，即=3，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.垂径定理—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③AC BC=；④AD BD=；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是( )．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心COBDA3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）A．2 B.3 C.4 D.5第3题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．A．15° B．45° C．75° D．15°或75°5.（•河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．（•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35OE OC∶∶，求弦AB和AC的长．14．如图所示，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（•杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．AEOFBPEODCBA【答案与解析】一、选择题 1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ．【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则()()22221R R =+-，由此得R=32，所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】C ；【解析】连接CD ，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°， ∴∠ABC=90°﹣25°=65°， ∵BC=CD ，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB ﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，∴=50°．故选C ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】.13 9．【答案】.13 10．【答案】42 ．【解析】解：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=DE=CD=4cm ，∵OA=OC ，∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE 为△AOC 的外角， ∴∠COE=45°，∴△COE 为等腰直角三角形， ∴OC=CE=4cm ，故答案为：411．【答案】23cm .【解析】连接OC,易求CF= 3. CD=23cm . 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=15.2AB =三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，35OE OC =∶∶， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴222222227.5 4.562126335AE OA OE AB AE AC AE CE =-=-====+=+=，14.【答案与解析】因为C 为ACB 的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB. 由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设,,BP a CP b ==则22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩解得210a =，2410AB a cm ==. 15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F.∵ PO 平分∠MPN∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.A A E EP O P O F FC C PA=PC PA=PC16.【答案与解析】解：（1）过点O 作AB 、CD 的垂线，垂足为M 、N ，如图1，图1NMEODC BA∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM=ON ， ∴AB=CD ；（2）如图2所示，A BC DOEMN图2由（1）知，OM=ON ，AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴DN=CN=AM=BM ，在Rt △EON 与Rt △EOM 中， ∵，∴Rt △EON ≌Rt △EOM （HL ）， ∴NE=ME ，∴CD ﹣DN ﹣NE=AB ﹣BM ﹣ME ，即AE=CE ，∴DE ﹣AE=DE ﹣CE=DN+NE ﹣CE=CN+NE ﹣CE=2NE ，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE﹣AE=2NE=2．11 / 11。

(完整版)垂径定理典型例题及练习(学生版)

垂径定理典型例题分析：例题1、基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4.已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5.如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.A E F例题3、度数问题1.已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2.已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A B D CE O。

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。

人教版数学九年级上学期课时练习-垂直于弦的直径-垂径定理(巩固篇)(人教版)

专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（）A．35OM≤≤≤≤B．45OMC．35OM<<<<D．45OM2．已知O的直径10cmAB=，⊥，垂足为M，且8cmCD=，AB是O的弦，AB CD则AC的长为（）A．B．C．或D．或3．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若DE=，则BC的长是（）AC=4A．1B C．2D．44．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊙BC于点D，AC＝4，则OD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.55．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6B．C．D．6．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠AC后，恰好经过点O，则AOC等于（）A．120°B．125°C．130°D．145°7．在Rt△ABC中，⊙ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A ．245B ．165C ．125 D ．958．如图，已知O 的直径AB CD ⊥弦于点,E 则下列结论不一定成立的是（）A ．CE DE =B ．AE OE =C ．COA DOA ∠=∠D ．OCE ODE ∆≅∆9．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．BAC BAD ∠=∠ D ．AC AD >10．如图，在⊙ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将⊙ACD 沿CD 对折得⊙A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm11．如图，在⊙ABCD 中，用直尺和圆规作⊙BAD 的平分线AG 交BC 于点E ．若AE ＝6，AB ＝5，则BF 的长为（）A ．5B ．6C ．8D ．1212．已知⊙O 的半径为7，AB 是⊙O 的弦，点P 在弦AB 上．若P A ＝4，PB ＝6，则OP ＝（）A B ．4C D ．5二、填空题13．如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD AB ⊥，若10OB =，12AB =，则AC 的长为______．14．如图，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点．若点M 的坐标是(2,1)-，则点N 的坐标是__．15．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点P ，且45APC ∠=︒，若2232PC PD +=，则O的半径为______．16．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．17．如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊙AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个．18．如图，在⊙O中，2＝，AD⊙OC于点D，比较大小AB___________2AD．（填AB AC入“＞”或“＜”或“＝”）．19．如图，⊙O的半径为6，OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P 点有_____个．20．如图，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的B 与y 轴的正半轴交于点()0,1A ，过点()0,7P -的直线l 与OB 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值是___________．21．如图，AB 是圆O 的直径，CD⊙AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF⊙AC 于点F ，BD=5，则OF=__________________________．22．如图，已知O 的半径为5，P 是直径AB 的延长线上一点，BP 1=，CD 是O 的一条弦，CD 6=，以PC ，PD 为相邻两边作▱PCED ，当C ，D 点在圆周上运动时，线段PE 长的最大值与最小值的积等于______．23．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．三、解答题24．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，(1) 求证：AC BD；(2) 求证：AM＝DM．26．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： (1)如图1，1O 的半径为4cm ，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB 沿弦AB 折叠后恰好过圆心1O ，求AB 长；(2)如图2，2O C ⊥弦AB ，垂足为点C ，劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过2O C 的中点D ，10cm AB =，求O 的半径．27．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△；(2)若C 、D 是AB 的三等分点，=OA⊙求OGC ∠；⊙请比较GE 和BE 的大小．28．【教材回顾】（1）如图⊙，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，连结DE ，则DE 是ABC 的一条中位线．则DE 和BC 的数量关系是____，位置关系是_____．【提出问题】如图⊙，AB 是以MN 为直径的⊙O 的一条弦，连结OA 、OB ，点M 在AB 的上方，点N 在AB 的下方，MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，点P 、Q 均在弦AB 上．已知5MN =，30OAB ∠=︒，求MP NQ -的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2）如图⊙，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，此时MP MA =，0NQ =（点看成是长度为0的线段），则MP NQ -=_____．（写出具体的数值）（3）如图⊙，当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，此时MP NQ -与OP 的数量关系是____，先根据条件易求OP 的长度，则MP NQ -=____．（写出具体的数值）【解决问题】（4）结合图⊙对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求MP NQ -的值．参考答案1．B【分析】由垂线段最短可知当OM ⊙AB 时最短，当OM 是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．解：如图，连接OA ，作OM ⊙AB 于M ，⊙⊙O 的直径为10，⊙半径为5，⊙OM 的最大值为5，⊙OM ⊙AB 于M ，⊙AM =BM ，⊙AB =6，⊙AM =3，在Rt △AOM 中，4OM ==；此时OM 最短，所以OM 长的取值范围是4≤OM ≤5．故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM 的最小值，所以求OM 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为d ，则有等式r 2=d 2+（2a ^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．2．C【分析】先画好一个圆，标上直径CD ，已知AB 的长为8cm ，可知分为两种情况，第一种情况AB 与OD 相交，第二种情况AB 与OC 相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC 的长；解：连接AC ，AO ，⊙圆O 的直径CD =10cm ，AB ⊙CD ，AB =8cm ，⊙AM =12AB =12×8=4cm ，OD =OC =5cm ，当C 点位置如图1所示时，⊙OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊙AB ，⊙OM =，⊙CM =OC +OM =5+3=8cm ，⊙AC；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM =3cm ，⊙OC =5cm ，⊙MC =5−3=2cm ，在Rt⊙AMC 中，AC =．故选C ．【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．3．C【分析】根据垂径定理求出OD 的长，再根据中位线求出BC =2OD 即可．解：设OD =x ，则OE =OA =DE -OD =4-x ．⊙AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点，AC =⊙12AD DC AC ===⊙OD 是⊙ABC 的中位线⊙BC =2OD⊙222OA OD AD =+⊙222x=-=+，解得1(4)x x⊙BC=2OD=2x=2故选：C【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．4．C【分析】由OD⊙BC，根据垂径定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位线，则可求得OD的长．解：⊙OD⊙BC，⊙CD＝BD，⊙OA＝OB，AC＝4AC＝2．⊙OD＝12故选C．【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．C【分析】作OD⊙AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.解：作OD⊙AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，⊙OA=OD=4，CD=2，⊙OC=2，=⊙AB=2AC=故答案为C.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.6．A【分析】连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到⊙ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得⊙COB=60°，得到⊙AOC=120°，于是得到结论．解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊙AC于D交圆O于E，⊙把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，⊙OD=12OE，OD AC⊥⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙OD⊙BC，⊙OA=OB，⊙OD=12BC，⊙BC=OE=OB=OC，OCB∴是等边三角形，⊙⊙COB=60°，⊙⊙AOC=120°，【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．7．A【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．解：如图，过O作OG⊙AB于G，连接OC、OM，⊙DE＝6，⊙ACB＝90°，OD＝OE，⊙OC＝12DE＝3，⊙OM＝3，⊙只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，⊙只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，过C作CF⊙AB于F，⊙G和F重合时，MN有最大值，⊙⊙ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙AB＝10，⊙12AC•BC＝12AB•CF，⊙CF＝245，⊙OG＝CF−OC＝249355-=，⊙MG125，⊙MN＝2MG＝24 5故选:A【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小是解题的关键．8．B【分析】根据垂径定理得出=CE DE ，由此可判断A ，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明OCE ODE ∆∆≌，进而可判断C 、D ，而AE 与OE 不一定相等，由此可判断B ．解：⊙O 的直径AB CD ⊥于点，⊙=CE DE ，故A 选项结论成立；在OCE ∆和ODE ∆中，90CEO DEO OCE ODEOC OD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⊙OCE ODE ∆∆≌，故D 选项结论正确；⊙COA DOA ∠=∠，故C 选项结论正确；而AE 与OE 不一定相等，故B 选项结论不成立；故选：B ．【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9．D【分析】根据垂径定理逐个判断即可．解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊙AB 垂足为E ，则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理．因而CE ＝DE ，BC BD =，⊙BAC ＝⊙BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．10．B【分析】由折叠性质得AA ′⊙CD ，AD = A ′D ，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD =AD =BD = A ′D ，可证得A 、C 、A ′、B 共圆且AB 为直径，利用垂径定理的推论和三角形A′B，进而可求解CE的长．的中位线性质证得DE=12解：由折叠性质得AA′⊙CD，AD= A′D，⊙90∠=，点D是AB的中点，ACBAB，⊙CD=AD=BD= A′D=12⊙A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊙CD，⊙AE= A′E，又AD=BD，⊙DE是⊙AB A′的中位线，A′B，⊙DE=12⊙14cmAB=，4cmBA'=，⊙CD=7cm，DE=2cm，⊙CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．11．C【分析】设AE交BF于点O，根据题意可得四边形ABEF为菱形，勾股定理求得BO的长度，即可求解．解：设AE交BF于点O，如下图：由题意可得：AF AB =，AG 平分FAB ∠，AF BC ∥，⊙AG 垂直平分BF ，AFB ABF ∠=∠，⊙EF BE =，2BF BO =，⊙EFB EBF ∠=∠，又⊙AF BC ∥，⊙AFB EBF ∠=∠，⊙EFB ABF ∠=∠，⊙//AB EF ，⊙四边形ABEF 为平行四边形，又⊙AF AB =，⊙平行四边形ABEF 为菱形， ⊙132AO AE ==，由勾股定理得，4BO ==，⊙28BF BO ==，故选：C ．【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．12．D【分析】连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，先利用垂径定理求得152AC BC AB ===，然后在Rt AOC ∆中求得OC =Rt POC ∆中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示，则12AC BC AB ==，7OA =， ⊙P A ＝4，PB ＝6，⊙4610AB PA PB =+=+=， ⊙152AC BC AB ===， ⊙541PC AC PA =-=-=，在Rt AOC ∆中，OC ===在Rt POC ∆中，5OP ===，故选：D【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．13．【分析】根据垂径定理求出AE =BE =6，根据勾股定理求出OE ，求出CE ，再根据勾股定理求出AC 即可．解：设AB 和CD 交于E ，⊙CD ⊙AB ，CD 过圆心O ，AB =12，⊙AE =BE =6，⊙OEB =⊙CEA =90°，由勾股定理得：22221068OE OB BE ，⊙CE =OC +OE =10+8=18，由勾股定理得：2222186610ACCE AE ，故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．14．(2,4)-【分析】首先过点P 作P A ⊙MN 于点A ，由垂径定理即可求得AM ＝12MN ，易证得四边形ABOP 是矩形，即可得AB ＝OP ，P A ＝OB ＝2，设OP ＝a ，在Rt △P AM 中，由PM 2＝AM 2+P A 2，可得方程a 2＝（a ﹣1）2+4，继而可求得答案．解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，⊙12AM MN =，在平面直角坐标系中，P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P 于M ，N 两点，设MN 交x 轴于点B ， ⊙90POB PAB ABO ∠=∠=∠=︒，⊙四边形ABOP 是矩形，⊙AB OP =，2PA OB ==，设OP a =，则PM OP a ==，⊙点M 的坐标是(2,1)-，⊙BM ＝1，⊙1AM a =-，在Rt ΔPAM 中，222PM AM PA =+，即22(1)4a a =-+，解得： 2.5a =，⊙ 1.5AM =，⊙23MN AM ==，⊙134BN BM M N =+=+=，⊙点N 的坐标为：(2,4)-．故答案为：(2,4)-．【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．15．4【分析】过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC 根据垂径定理可得,CE DE =根据45APC ∠=︒，得到,EP OE =对式子2232PC PD +=进行变换，即可求出半径.解：设O 的半径为R过点O 作,OE CD ⊥ 连接,OC,CE DE ∴=45APC ∠=︒，,EP OE ∴=()()2222,PC PD CE EP DE EP +=++- 222222,CE CE EP EP DE DE EP EP =+⋅++-⋅+2222,CE EP =+()222,CE EP =+()222,CE OE =+ ⊙2232,R =解得： 4.R=故答案为：4【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子2232PC PD+=进行变形是解题的关键.16．【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．⊙AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊙MN于点E，CD⊙MN于点F，⊙BE＝12AB＝12，CF＝12CD＝9，⊙9OE=，12OF=，⊙CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt⊙BCH中，根据勾股定理得：BC即PA＋PC的最小值为故答案为：【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．17．312【分析】过C作直径UL⊙x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．解：过C作直径UL⊙x轴，连接CA，则AC=12×10=5，⊙MN过圆心C，MN⊙AB，AB=8，⊙AO=BO=4，⊙AOC=90°，由勾股定理得：CO= ，⊙ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．18．=【分析】过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，根据解：如图，过点O作OF AB⊥于点E，交O于点F，AF BF ∴=，12AE AB =2AB AC = AOF AOC ∴∠=∠AD ⊙OC ，AE OE ⊥12AD AE AB ∴== 即2AB AD =故答案为：=【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．19．4【分析】过点P 最长的弦是12，根据已知条件，△OAB 的面积为18，可以求出AB ＜12，根据三角形面积可得，从而可知OP 的长有两个整数：5，6，且OP=6是P 在A 或B 点时，每一个值都有两个点P ，所以一共有4个．解：过O 作OC⊙AB 于C ，则AC ＝BC ，设OC ＝x ，AC ＝y ，⊙AB 是⊙O 的一条弦，⊙O 的半径为6，⊙AB≤12，⊙⊙OAB 的面积为18， ⊙223612182x y yx ⎧+=⎪⎨⨯=⎪⎩，则y ＝18x， ⊙2218()36x x+=，解得x ＝或﹣，⊙OC＝＞4，⊙4＜OP≤6，⊙点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，则P点有4个．故答案为：4【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值．20．8，9，10．【分析】当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA＝5，得到B点坐标为（0，−4），再由P点坐标为（0，−7），得到BP＝3，由BP⊙CD，根据垂径定理得PC＝PD，然后在Rt⊙PBC中，根据勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可求解．解：当CD过圆心B时，此时CD为直径，CD＝10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，如图，⊙点A（0，1），BA＝5，⊙B点坐标为（0，−4），⊙P点坐标为（0，−7），⊙BP＝−4−（−7）＝3，⊙BP⊙CD，⊙PC＝PD，在Rt⊙PBC中，BC＝5，BP＝3，⊙PC4，⊙CD＝2PC＝8，⊙过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，⊙过P点的弦长为整数还有9，⊙弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．故答案为：8，9，10．【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐标的关系．21．5 2【分析】利用垂径定理可得BC BD=，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．解：⊙直径AB⊙弦CD，⊙BC BD=，⊙BD=BC=5，⊙OF⊙AC，⊙AF=FC，⊙OA=OB，⊙OF是三角形ABC的中位线,⊙2OF=15 BC22=，故答案为：52．【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．22．80.【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得OK CD⊥，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．解：连接OC.设CD交PE于点K，连接OK．四边形PCED 是平行四边形，CD 6=，EK PK ∴=，CK DK=3=，OK CD ∴⊥，在Rt COK 中，OC 5=，CK 3=，OK 4∴=，OP OB PB 6=+=，64PK 64∴-≤≤+，2PK 10∴≤≤，PK ∴的最小值为2，最大值为10，PE 2PK =，PE ∴的最小值为4，最大值为20，∴线段PE 长的最大值与最小值的积等于80．故答案为80．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．12.5【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径为r m ，连接OA ．根据垂径定理得10m AD =，再由勾股定理求解即可．解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，半径是r m ，连接OA ．根据垂径定理，得：110m 2AD AB ==，在Rt AOD △中，根据勾股定理，得22210(5)r r =+-，解得：12.5r =，即该拱桥的半径为12.5m ，故答案为：12.5．【点拨】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解．24．【分析】过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是正方形，利用垂径定理即可求得OM ，AM 的长度，然后在直角AOM ∆中利用勾股定理即可求得OA 的长度．解：过点O 分别作AB 、CD 的垂线OM 、ON ，则四边形OMEN 是矩形，连接OA ．AB CD =，AB CD ⊥，OM ON ∴=，∴矩形OMEN 是正方形．2CE =，6ED =，268CD ∴=+=，ON CD ⊥142CN CD ∴==， 2EN OM ∴==，同理：4AM =．在直角AMO ∆中，OAO ∴的半径长为【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．25．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）由在⊙O 中，AB =CD ，根据弦与弧的关系，可证得=AB CD ，继而可证得AC BD =；（2）首先连接AC ，BD ，易证得⊙ACM ⊙⊙DBM ，继而证得AM =DM ．解：(1)⊙在⊙O 中，AB ＝CD ，⊙=AB CD ，⊙=AB BC CD BC --，⊙AC BD =；(2)连接AC ，BD ，⊙=AB CD ，⊙AC ＝BD ，在⊙ACM 和⊙DBM 中，A D AC DBC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊙⊙ACM ⊙⊙DBM （ASA ），⊙AM ＝DM ．【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．26．(1)【分析】（1）如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO ，由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==，在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN 求出AN 的值，进而可求AB 的值；（2）如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r ，由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出满足要求的解即可． (1)解：如图1，作1O M AB ⊥交AB 于N ，交1O 于M ，连接1AO由题意知，1142cm 2O N MN ==⨯=，12AN BN AB ==在1Rt AO N 中，由勾股定理得AN =⊙AB =⊙AB 的长为．(2)解：如图2，延长2O C 交2O 于E ，连接2AO ，设半径为r由题意知15cm 2AC CB AB ===，由折叠和中点的性质可知213O D DC CE r ===，在2Rt AO C 中，由勾股定理得22221AC AO O C =-，即222253r r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得：r =r =-⊙半径的长为．【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．27．(1)证明见分析(2)⊙⊙OGC =90°；⊙BE ＞GE【分析】（1）先由平行线得出⊙COD =⊙ODE ，再用SAS 证△OCF ⊙⊙DOE 即可；（2）⊙先由C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，求得⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，由（1）知△OCF ⊙⊙DOE ，所以⊙OCF =⊙DOE =30°，即可由三角形内角和求解；⊙由⊙⊙OGC =90°，⊙OCF =⊙DOE =30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得OG =OF =2，又⊙OCF =⊙COF =30°，所以CF =OF ，又由△OCF ⊙⊙DOE ，所以OE =CF =OF =2，即可求得2GE =2BE =，再比较即可得出结论；(1)解：⊙DE AB 2AC =OC ，⊙⊙COD =⊙ODE ，⊙OC =OD ，OF =DE ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE (SAS )；(2)解：⊙⊙C 、D 是AB 的三等分点，⊙AOB =90°，⊙⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙⊙OCF =⊙DOE =30°，⊙⊙COG =⊙COD +⊙DOB =60°，⊙⊙OGC =90°．⊙⊙OA OC OB === ⊙OG又⊙⊙DOE =30°，⊙OF =2，⊙⊙OCF =⊙COF =30°，⊙CF =OF ，⊙⊙OCF ⊙⊙DOE ，⊙OE =CF =OF =2，⊙2GE OE OG =-=-2BE OB OE =-=，⊙40BE GE =>－，⊙BE ＞GE ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出⊙AOC =⊙COD =⊙BOD =30°，进而求得⊙OGC =90°是解题词的关键．28．（1）12DE BC =；//DE BC ；（2）52；（3）2MP NQ OP -=；52；（4）52【分析】（1）直接用中位线性质定理得出结论；（2）由等边三角形判定得出⊙MOA 为等边三角形，得到12MP MA MN ==，即可得到答案；（3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到1122OP OA ON ==，即OP PN =，计算即可得知答案；（4）过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PM 与CD 交于点F ，由中位线定理得出OF 是⊙MNP 的中位线，EF 是⊙PNQ 的中位线，得到2MP OF =，2NQ EF =，即()22MP NQ OF EF OE -=-=，计算即可得出答案．解：（1）⊙点D 、E 分别是ABC 的边AB 、边AC 的中点，⊙DE 是ABC 的一条中位线， ⊙12DE BC =，//DE BC ，故答案为：12DE BC =，//DE BC ．（2）⊙MN 为直径，O 为圆心，当点N 与点B 重合时，点Q 也与点B 重合，点P 与点A 重合，⊙⊙MAB ＝90°，O 为MN 的中点，⊙在Rt ⊙MAB 中，12OA MN =，OA OM OB ==， ⊙30OAB OBA ==︒∠∠，⊙60MOA ∠=︒，⊙⊙MOA 为等边三角形，⊙5MN = ⊙1522MP MA MN ===，0NQ =， ⊙52MP NQ -=，故答案为：52 （3）当MN AB ⊥时，P 、Q 重合，⊙30OAB ∠=︒，⊙在Rt ⊙AOP 中，1122OP OA ON ==， ⊙OP PN =，⊙OM ON =，⊙2MP NQ MP OP OM OP -=-==，⊙5MN =， ⊙52OM OA ON ===， ⊙1524OP PN OA ===， ⊙522MP NQ OP -==，故答案为：2MP NQ OP -=；52．（4）⊙MP AB ⊥于P ，NQ AB ⊥于Q ，⊙过圆O 作直径CD ⊙AB 交于点E ，连接PN 与CD 交于点F ，如图：⊙点O 为MN 的中点，////MP CD NQ ，⊙点F 为PN 的中点，点E 为PQ 的中点，⊙在⊙MNP 中，OF 是⊙MNP 的中位线，⊙2MP OF =，在⊙PNQ 中，EF 是⊙PNQ 的中位线，⊙2NQ EF =，⊙()22MP NQ OF EF OE -=-=，⊙在Rt ⊙AOE 中，30OAB ∠=︒，5MN =， ⊙15222OE OA MN ===， ⊙52MP NQ -=．【点拨】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．。

圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(解析版)--初中数学专项训练

圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是　52　．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。

初中-数学-人教版-5.3垂径定理-课堂巩固

5.3垂径定理-课堂巩固一、选择题1．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊙AB，垂足为N，则ON=（）A. 5B. 7C. 9D. 112．已知⊙O的弦AB为6cm，所对的圆心角为120°，圆心O到弦AB的距离为（）A. B. 3cm C. D.3．如图，A，D是⊙O上两个点，BC是直径．若⊙D=32°，则⊙OAC=（）A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin OCE∠= ______．6．若⊙O的半径为5cm，P为⊙O内一点，OP=3cm，则经过P点的最短弦的长为______cm，最长弦的长为______cm．三、解答题7．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．参考答案1、【答案】A【分析】【解答】2、【答案】C【分析】【解答】3、【答案】B【分析】【解答】4、【答案】4【分析】【解答】5、【答案】5 13【分析】【解答】6、【答案】8 10【分析】【解答】7、【答案】（1）略（2）8-【分析】【解答】答案第1页，共1页。

初中数学习题2：垂径定理

垂径定理的妙用例析垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，巧妙应用垂径定理可解决许多实际问题，现采撷几例加以分析，供大家学习．一、利用垂径定理巧测直径例1 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径．假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图1所示，则这个小孔的直径AB 是______毫米．分析：由垂径定理可知AB=2AC ，连接半径OA ，构造直角三角形利用勾股定理即可求得AC 的长解：连接OA ，因为OC ＝9－6＝3，在Rt △AOC 中， 22226333AC OA OC =-=-=．根据垂径定理，得263AB AC ==．二、利用垂径定理巧定中点例2 如图2，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．分析：本题是一道设计新颖独特的开放性作图题，用“无刻度单位的直角三角板”作弦的中点，又把问题放到一个有趣的脸谱中，去找两耳连线的中点D ，增强了题目的趣味性．解：如图3，画TH 的垂线l 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．依据是垂径定理（还有其它方法，请同学们探讨）．图3图2三、利用垂径定理巧平分弧形物体例3 如图4，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具？分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．作法：如图5，用表示自行车内胎的一部分．（1）连接AB ．（2）作AB 的垂直平分线CD ，交于点E ，则点E 为的中点．从点E 处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．三、利用垂径定理巧判断例4 某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为米，拱顶高出水面米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗?分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图6几何图形，实际问题就转化为求FN 的长度．解：设圆心为O ，连接OA 、0B ，作OD ⊥AB 于D ，交圆于点C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，D 为AB 的中点．设OA =r ，则OD =OC -DC =，1 3.62AD AB ==，在Rt△AOD 中，OA 2=AD 2+OD 2，即r 2=+（）2，解得r =，在Rt△OHN 中，22223.9 1.5 3.6OH ON NH =-=-=．所以FN =DH =OH -OD =（）=，因为米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．图6 图4图5。

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垂径定理及其应用
一．垂径定理的应用
1．半径、弦心距、弦长、弓形高之间的计算：求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角、求平行弦的之间的距离 2．证明线段相等、角相等、弧相等 3．解决实际问题二．垂径定理的推论的应用 1．求半径、求弦心距、求弦长、求弓形高、求角 2．等分弧（作图） 3．确定圆心与半径（作图） 4．解决实际问题思想方法：分类讨论、数形结合
1．已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2．在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝_____。

3．已知圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，半径r
＝7cm ，则腰长AB 为_________。

4．已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_______。

5． ⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是3,2，则∠BAC 的度数为______。

6．已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_____。

7．在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为______。

8．如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，
OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

9．在⊙O 中，半径OA ＝10cm ，AB 是弦，C 是AB 弦的中点，且
OC:AC=3:4，则AB=_____。

10．已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。

求证：AC ＝BD
11．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D
两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为_____。

12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AB ⊥CD ，垂足为H ，连结AC 、
AD 、BC 、BD ，指出图中相等的锐角、相等的直角、相等的劣弧、相等的线段；相似的直角三角形。

口决：
垂径定理不一般；
题设结论二推三；
定理推论也重要，
总结起来共十条；
求半径，连半径，
弦的计算与证明；
巧作垂线过圆心，
构造直角三角形。

13．如图所示，有一个破残的圆片，现要制作一个与原圆片同样大小的圆形零件。

请你根据所学知识，设计两种不同的方案确定这个圆的圆心与半径。

方案一：用过三点的圆
方案二：用垂径定理
14．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。

（1）在下面的三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都有的两条线段相等的结论（OA ＝OB 除
外），（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

15．如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C
与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。

（1）求证：AE ＝BF
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，
并求出这个定值，若不是，请说明理由。

练习：
1．半径为4.5的圆内有内接等腰三角形，其底边的高与一腰的和为10，求此三角形的高。

2． ⊙O 的两弦AB 、CD 垂直相交于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 的半
径。

垂径定理巩固练习
基础题：
1．下列命题中，正确的是（）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
2．下列命题中错误的有（）
①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图,在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则此弦和所对的弧的中点的距离为( )
A. 10cm
B. 15m
C. 40cm
D. 10cm或40cm
4. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，
cm
6
,
cm
10
CD
AB，则AC的长为（）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
5. 过⊙O内一点P的最长的弦长为13cm，最短的弦长5cm，则OP= .
6. 直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽800
AB mm，则水的最大深度CD为
_______mm.
6题图 7题图 8题图
7. 如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高2
2
CD cm，水面宽cm
AB2
2
．那么水管截面圆的半径是_________cm．
8. 如图，弦cm
24
AB，直径AB
CD 于M，且cm
8
CM，求⊙O的半径。

9. 如图3－5，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，若CE＝a，ED=b.
求：（1） = 的长；（2）AB的长.
10. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于
CD
AE E，CD
BF 于F.求证：FD
EC .
D。