浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用
复变函数与积分变换课程在几门工科类专业课中的应用
复变函数与积分变换课程在几门工科类专业课中的应用
复变函数与积分变换课程在几门工科类专业课中的应用
复变函数与积分变换课程是一门涉及数学和物理学的专业课程，它主要涉及复变函数、积分变换、无穷级数等数学技术，以及物理学中的函数分析。
该课程能够为学生提供核心能力，有助于他们在工程领域的应用。
因此，它可以广泛应用于工程类专业中的课程。
具体来说，可以应用于以下几门课程中：
第一，信息工程专业的信号与系统课程。
信号与系统课程是信息工程专业一门必修课，其中，学生将学习复变函数、积分变换以及无穷级数等技术来分析或设计系统。
此外，学生还将学习反变换、傅里叶变换以及LAplace变换等数学技术，有助于信号的处理与分析，为信息处理提供技术支持。
第二，电气工程专业的自动控制课程。
自动控制课程是电气工程专业的一门必修课，它将重点讲授复变函数、积分变换和无穷级数等数学技术，以解决和分析电气系统中控制问题。
此外，学生还可以学习傅里叶变换、Laplace变换和Z变换等数学方法，以便解决电气系统中存在的控制问题。
第三，计算机工程专业的数字信号处理课程。
在数字信号处理课程中，需要学习复变函数、积分变换等技术来分析数字信号，以及傅里叶变换、Laplace变换等方法，来有效地处理和分析数字信号，从而为计算机系统提供技术支撑。
综上所述，复变函数与积分变换课程可以应用于工程类专业中的
多种课程，如信号与系统课程、自动控制课程以及数字信号处理课程中，这能够更好地帮助学生掌握知识，有助于他们在工程领域的应用。
复变函数与积分变换 电装
复变函数与积分变换电装复变函数与积分变换在电路领域中扮演着重要的角色。
复变函数是一种在复平面上取值的函数，其实部和虚部分别代表了信号的实部和虚部，可以用来描述电路中的频率响应、传输函数等。
而积分变换则是对信号进行积分操作的一种数学方法，可以用来处理电路中的阻抗、电压、电流等问题。
本文将探讨复变函数与积分变换在电路设计与分析中的应用。
复变函数在电路设计中有着广泛的应用。
通过复变函数，我们可以将电路中的各种元件、信号进行数学建模，进而分析电路的性能。
例如，通过复变函数可以方便地计算电路中的频率响应，从而评估电路在不同频率下的表现。
此外，复变函数还可以用来描述电路中的传输函数，帮助工程师设计滤波器、放大器等电路。
积分变换在电路分析中也扮演着重要的角色。
通过对信号进行积分变换，我们可以求得信号的积分值，从而计算电路中的电压、电流等参数。
积分变换可以帮助工程师分析电路中的动态响应，比如电路的瞬态响应、稳态响应等。
此外，积分变换还可以用来求解电路中的阻抗，帮助工程师设计匹配电路、调整电路的阻抗匹配。
综合利用复变函数与积分变换，工程师可以更加深入地理解电路的性能，并进行更为精确的设计与分析。
通过对电路中信号的复变函数建模，工程师可以直观地了解电路的频率特性、传输函数等重要参数，从而指导电路设计。
而积分变换则可以帮助工程师分析电路中的动态响应、阻抗匹配等问题，提高电路的性能与稳定性。
在实际工程中，工程师们经常会利用复变函数与积分变换对电路进行建模与分析。
通过计算复变函数的实部、虚部，工程师可以得到电路的频率响应曲线，进而评估电路的性能。
而通过积分变换，工程师可以求解电路中的电压、电流等参数，帮助设计师更好地理解电路的特性。
总的来说，复变函数与积分变换在电路设计与分析中发挥着重要的作用。
工程师们通过这些数学方法，可以更加深入地理解电路的性能与特性，指导电路的设计与优化。
因此，掌握复变函数与积分变换的知识，对于电路工程师来说是至关重要的。
积分变换及复变函数的应用
积分变换及复变函数在电气工程中的应用姓名：学号：学院（系）：专业：指导老师：评阅人：积分变换及复变函数在电气工程中的应用【摘要】：积分变换及复变函数作为数学的一个重要分支广泛地应用在我们学习电路与模拟电子技术的相关知识中。
本文着重对●应用拉普拉斯变换把一个时间域的函数变换为复变函数来解决线性动态电路问题；●应用系统函数的零点极点在复平面的分布来研究有关冲激响应的问题进行讨论。
【关键词】：拉普拉斯变换时域复频域线性动态电路零点极点冲激响应【正文】：拉普拉斯变换提出问题:在研究一阶电路和二阶电路时，所应用的方法是根据电路定律和原件的电压、电流关系建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程。
求解常微分方程即可得到电路变量在时域的解答，这种方法叫做经典法。
当电路简单，激励是直流或正弦交流等简单函数时，经典法十分方便，但对于具有多个动态原件的复杂电路，显然经典法较为困难。
例如对一个n阶方程，直接求解时需要知道变量及其各阶倒数直到(n-1)阶倒数在t=0+时刻的值，而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时刻的值，从这些求得所需初始条件的工作量很大。
那么有没有更简单的方法来求解高阶复杂动态电路哪？分析问题：对于一个定义在[0,∞）的函数f(t),它的拉普拉斯变换式定义为：⎰∞-=0)()(dt e t f s F st ， 式中ωσj s +=为复数F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。
从式中可以看出拉普拉斯变换可以把已知的时域函数f(t)变换到s 域内的复变函数f(s),从而把时域函数的微分方程化为频域的代数方程。
这样的话，我们不难想到，在电气工程中分析线性定常时域网络时我们可以将时域激励信号变为复频域的象函数，将时域中的电路模型变为复频域中的模型。
先求出电压或电流的象函数，再经拉普拉斯反变换得到待求电压或电流的时间函数。
首先我们来了解一下电阻、电容、电感的复频域模型。
复变函数与积分变换在电路中的应用
<<复变函数与积分变换>>结业论文复变函数与积分变换在电路中的应用系别：电气与电子工程系专业：自动化姓名： 444444444学号： ***************指导教师：***摘要：众所周知，复变函数在众多专业课程中都有着非常重要的作用，就如在正弦稳态电流分析中，将复杂的三角函数方程利用欧拉公式转化为复平面内求解（相量法）或利用运算法（拉斯变换），从而把正弦稳态问题归结为以相量或象函数为变量的线性代数方程。
关键词：相量法，拉斯变换，正弦稳态，电路分析，复变函数，运算法。
相量法是分析研究正线电流稳定状态的一种简单易行的方法，它是在数学理论和电路理论的基础上建立的一种系统的方法。
根据电路的基本定律VCR 、KCL 和KVL ，编写含有储能原件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微（积）分方程.现以如图一所示电路RLC 为例 例1 已知：R =15Ω, L =12mH, C =5μF, 1002cos(5000)u t s =， 求电路中的电流i 和各元件的电压相量，以及电路的等效导纳和并联等效电路。
解；求出相关变 01000u s ⋅=∠60z j l j lω==-Ω 140z j j c c ω=-=-Ω 15604015202553.13z z z z j j j eq r l c=++=+-=+=∠Ω 1000453.132553.13u s A I z eq ⋅⋅∠===∠-∠ 42cos(500053.13)i t A =-15453.136053.13U R V I R⋅⋅==⨯∠-=∠-14090453.13160143.13U j V I C cω⋅⋅=-=∠-⨯∠-=∠- 6090453.1324036.87U j C V I Lω⋅⋅==∠⨯∠-=∠11153.13(0.0240.032)252553.13Y S j S eq z eq ===∠-=-∠0.024G S =11 6.250.0325000l mH eq B ω===* 正弦稳态电路方程是一组同频正弦函数描述的代数方程，电路基本定律所涉及的正弦电流，电压的运算，不会改变电流电压同频正弦量的性质，即正弦量乘常数（Ri ）、正弦量的微分，正弦量的微分和同频正弦量的代数和（KCL ）、（KVL ）等运算，其结果仍是同频正弦量。
论复变函数与积分变换在电学中的作用
0 ＜ ρ ＜ Ｒ； n = 0 ， 1， 2 ……） 且展开式是唯一的． ζ － a | = ρ，
数学学习与研究 2014. 1
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专 题 研 究
ZHUANTI YANJIU
2 j） = " y1 f（ i， j） － " y2 f（ i， j） = f （ i ， j + 1 ） + f（ i， j－ " y f（ i，
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2 2 2 2n － ) +…+( － = ． (2 2 3 n n + 1) n + 1 训练 4 （ 2013 年高考湖南（ 文） ） 设 S n 为数列｛ a n ｝ 的
*
n∈ N + ， 倍， 且1 ≤n≤l｝ ． （ 1 ） 求集合 P11 中元素的个数； （ 2 ） 求集合 P2000 中元素 的个数． 本题主要考查集合、 数列的概念与运算、 计数原理等基 础知识， 考查探究能力及运用数学归纳法分析解决问题的 能力及推理论证能力． 答案 （ 1 ） 集合 P11 中元素的个数为 5 ． （ 2 ） 集合 P2000
j） 拉普拉斯算子梯度， 此矩阵即为图像 f（ i， 其最后得到 模为：
2 j） " f（ i，
= ［ "2 j） x f（ i，
2
+
2 j） " y f（ i，
2
1 /2 ］
j） 为： L（ i， j ） = | "2 f （ i ， j） | 令最后的边缘图像为 L（ i， 4． 结 论 复变函数与积分变换是数学专业的一门重要课程， 但 是其在电学中的应用意义已经远远超越数学理论范围 ． 在 电学中的各个分支， 无论是强电还是弱电， 无论是系统分析 还是信号处理， 无论是基本理论研究还是电学新发展理论 研究， 复变函数与积分变换都起着基础工具的作用 ． 它在电 信号分析， 各种场的分析， 以及图像 学专业中的系统分析， 分析中， 随着研究的深入， 将起到越来越重要的作用 ． 【参考文献】 ［ 1］ ． 北京： 高等教 钟玉泉． 复变函数论（ 第三版） ［M］ 育出版社． ［ 2］ ．西 丁玉美， 高西全． 数字信号处理（ 第二版） ［M］ 安： 西安电子科技大学出版社 ． ［ 3］ ． 北京： 清华大 郑君里． 信号与系统（ 第二版） ［M］ 学出版社． ［ 4］ 秦勤． 对于多种体制雷达多普勒干扰的探讨 ． 现代 2010 年 9 月． 电子技术，
浅谈复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业学习中的应用
复变函数论文浅谈复变函数与积分变换在电子信息工程专业学习中的应用专业名称：电子信息工程班级：0934091-75*名：**摘要：“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题，具有鲜明的物理背景。
“复变函数与积分变换”课程是电气工程及其自动化专业必修的专业基础课，是学习“电路理论”、“电机学”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础，学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。
建立在复变函数理论之上的积分变换方法，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系，既能简化计算，又具有明确的物理意义，在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。
关键词：复变函数;积分变换;电工程及其自动化;应用《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容, 一是复变函数的相关知识, 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。
在电气工程及其自动化专业中, 对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理; 对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。
因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。
一、拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用互感在工程中应用极其广泛,因此对互感电路进行分析非常必要. 常见的基本分析方法有时域分析法、频域分析法、复频域分析法. 由于互感电路本身的复杂性,采用时域或频域进行分析都很繁琐. 本文从复频域角度,首先对互感元件进行s域变换,然后对互感电路进行复频域分析.（1）拉普拉斯变换对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难. 例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t = 0 +时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t = 0 +时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大. 拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一[1 - 4 ]. 在傅立叶变换中, 引入衰减因子e-σt (σ为实常数) ,根据不同信号的特征,适当选取σ的值, 使乘积信号f ( t) e-σt当t→±∞时信号幅度趋近于0,从而使f ( t) e-σt的定义式积分收敛.∞- ∞∫f ( t) e-σt e- jωt d t = f ( t) e- (σ+jω) t d t (1)其积分结果为s ( s =σ+ωj )的函数,则F ( s) = f ( t) e- st d t即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对. 引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能解决的零初始状态下的系统响应也可迎刃而解.（2）电路的s域模型分析电路的基本依据是基尔霍夫定律(KCL 和KVL)和元件端电压与其电流的约束关系. 在时域分析中,利用微分方程研究电路,当电路的网络结构复杂(支路和节点较多)时利用微分方程显得相当繁琐. 为简化分析过程,可先对电路进行s域变换,再把变换后的电压与电流用KVL和KCL联系起来.2. 1 s域元件模型[1 - 2 ]R、L、C元件的s域关系为VR ( s) = R IR ( s) , VL ( s) = sL iL ( s) - L iL (0) ,VC ( s) =1/sC I C ( s) +1/sv C (0) .其中sL,1/sC,因具有阻抗的量纲,称为电感和电容的等效阻抗. L iL (0) ,1/s v C (0)是由初始条件引起的附加电源. R、L、C元件的s域模型,可用电压源与等效阻抗的串联表示,如图1所示.图1R、L、C元件的s域模型也可以用电流源与等效阻抗的并联表示,如图2所示.图2 R、L、C元件的s域模型2. 2 互感元件的s域模型互感元件时域模型如图3所示,其时域关系为u1 ( t) =L1*di1 ( t)/dt+M *di2 ( t)/dt,u2 ( t) =L2*di2 ( t)/dt+M *di1 ( t)/dt.对以上两式两边进行拉普拉斯变换可得到其s域关系.V1 ( s) =L1 [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ] +M [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ], V2 ( s) =L2 [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ] +M [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ]. 互感元件s域模型如图4所示.也可以用互感化除后的电路, 其s域模型如下图5所示.图5互感化除后互感元件s域模型2. 3 电路定理的推广时域中的KCL 定理为Σi ( t) = 0 , 变换到s域为ΣI ( s) = 0 ;时域中的KVL 定理为ΣV ( t) = 0 , 变换到s域为ΣV ( s) = 0 ;在线性稳态电路中各种分析方法在进行s域分析时均适用.(3) 利用元件s域模型求响应根据上面的讨论,我们可以求图6所示电路开关闭合后的电流i1 ( t) . 当t≥0时该电路的s域等效电路图如图7所示. 当t < 0时, i1 ( t) = i2 ( t) = 0 A, 即i1 ( 0 - ) = i2 ( 0 - )= 0A .由图7即可根据KVL定理,求出I1 ( s) =0. 1s + 1/(s (0. 75 ×10 - 2 s2 + 0. 2s + 1),可求出其逆变换: i1 ( t) = 0. 5 ( e- 6. 67t - e- 20t )A.在互感电路分析中,动态元件(如L、C)的电压和电流间的约束关系是电压或电流变量间的导数或微分,所以基于这种约束关系的关系式一般是以时间t 为自变量的高阶微分方程,对其求解相当困难.但利用s域的代数方程式,即可方便地对网络进行分析求解;另外,拉普拉斯变换将电压和电流变量的初始值自动引入到代数方程式,而不必像时域分析时对初始条件要单独考虑. 可见,拉普拉斯变换亦是分析复杂动态电路的有效工具.二、描述线性系统的微分方程一个物理系统, 如果可以用常系数线性微分方程来描述, 那么这个物理系统称为线性系统.例如, 在RC 串联电路中( 如图1) , 电容器的输出端电压Uc ( t) 与R、C 及输入端电压e( t) 之间的关系可以用微分方程RCdu/dt=e（t）来描述,它就是一个线性系统。
复变函数论文
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
复变函数与积分变换 功率放大
复变函数与积分变换功率放大复变函数与积分变换在工程领域中有广泛的应用，特别是在功率放大的研究中。
本文将介绍复变函数、积分变换以及功率放大的相关知识。
1. 复变函数复变函数指的是定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量都是复数。
复变函数包括实部函数和虚部函数，通常用f(z)表示，其中z=x+iy表示复数，x和y分别是实部和虚部。
复变函数的性质和实变函数类似，包括连续性、可导性、解析性等。
对于复变函数f(z)，可以将它表示成实部函数u(x,y)和虚部函数v(x,y)的和的形式：f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中i是虚数单位。
实部函数和虚部函数可以表示成复变函数的共轭函数和虚轴旋转90度后的函数，即u(x,y) = (f(z) + f*(z))/2，v(x,y) = (f(z) - f*(z))/(2i)。
复变函数的导数可以通过以下公式计算：f'(z) = lim(h->0)((f(z+h) - f(z))/h)，其中h为实数。
如果该极限存在，则称复变函数f(z)在z处可导。
与实变函数类似，如果复变函数f(z)在某个区域内处处可导，则称该函数是解析的。
2. 积分变换积分变换是指将一个函数通过积分变换变成另一个函数的过程。
常见的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
在功率放大中，拉普拉斯变换和Z变换是比较常用的方法。
拉普拉斯变换是将一个函数f(t)在复平面上进行积分，得到一个新的函数F(s)，即F(s) = L{f(t)}。
s=a+bi是复数，L表示拉普拉斯变换算子。
拉普拉斯变换的逆变换是将变换后的函数F(s)通过积分变换得到原函数f(t)，即f(t) = L^{-1}{F(s)}。
Z变换是将一个离散时间函数f(n)变换到z域的过程，得到一个新的函数F(z)，即F(z) = Z{f(n)}。
z=re^{jw}是一个复数，Z表示Z变换算子。
Z变换的逆变换是将变换后的函数F(z)通过逆Z变换得到原函数f(n)，即f(n) = Z^{-1}{F(z)}。
复变函数与积分变换论文
复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。
但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。
通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。
辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。
二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。
由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。
所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。
【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。
复变函数在工程中的应用
浅析复变函数在工程中的应用作为一名学习电子信息的学生，我能感受到复变函数在学习中的大量运用，现在正在学习的《电磁场与电磁波》，《信号与系统》中时刻出现复变函数的简单应用。
经过查阅，我想从自己熟悉的角度谈一下复变函数在工程中的应用，主要分为两个方面，一个方面是电磁场中的复变函数方法，一个方面是积分变换及其在通信中的应用。
导入：在学习电磁场的过程中，我曾经接触过这样一道题目，题目如下：由于在给某些定边值的静电场问题中，在直角坐标系中无法找到简单形式的试探解。
通常采用叠加原理和傅里叶级数来构成一个满足边界条件的试探解，然后运用傅里叶级数的相关知识求出待定系数即可。
例如此题中是将Vs（x）= V0用傅里叶级数做了展开而An的求法便是应用复变函数中的傅里叶级数知识，看到这道题后你的第一思路可能是这种不能凑成势能相应形式的题目没有办法解，但是当你深入到复变函数中的傅里叶中的级数展开，你的思路便展开了，由于傅里叶级数可以展开成无数个频率不同，幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦形式的解的形式我们是可以解答的，所以我们可以解出这道题，由求出的系数带入到原来的傅里叶级数∅，便可以求出最终解。
经过这道题目，我初步了解到了复变函数的初步作用，即它可以提供一种逼近思想，它可以将一个常数经过傅里叶级数展开变成一个由无数多个不同幅度，不同频率的正余弦函数的和，用信号与系统中的分析思想就是由实数域转换到了复频域。
复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，我们在“静电场的标量位”这一章中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。
如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电场系统。
因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即∇2∅（x，y）=∂2(x,y)∂x2 + ∂2(x,y)∂y2我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。
因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。
自动化专业《复变函数与积分变换》教学方法浅析
自动化专业《复变函数与积分变换》教学方法浅析摘要：《复变函数与积分变换》是工科专业的必修课程，对于自动化专业更是一门重要的基础课程，是该专业后续专业课程的基础。
文章主要针对该课程学时少内容多，课程枯燥难理解的现状，结合自动化专业在学习过程中遇到的一些实际问题进行分析，探索提高该门课程教学效果的有效途径。
关键词：复变函数；积分变换；教学方法；课堂教学改革中图分类号：G642.4文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）02-0252-02收稿日期：2019-07-05基金项目：校级教改项目：基于创新能力培养的《电力电子技术》教学方法改革（XJG201826）作者简介：王波（1980-），女（汉族），辽宁阜新人，硕士研究生，广东海洋大学电子与信息工程学院，讲师，研究方向：信号处理、智能控制、数学建模。
*通讯作者：于跃（1991-），女（汉族），吉林梅河口人，硕士研究生，广东海洋大学电子与信息工程学院，助教，研究方向：电力电子技术、智能控制技术。
《复变函数与积分变换》课程中的知识是高等院校工科学生必须具备的数学知识，它是高等数学微积分的重要后续课程之一，它的理论与方法广泛应用于自然科学与工程科学的许多领域，对于自动化专业是非常重要的必修基础课程之一。
《复变函数与积分变换》既是一门理论性较强的课程，又是解决实际工程问题的有力工具，它为自动化专业课程如电路分析、信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具。
因此，学好这门课程非常必要。
针对自动化专业学生，如何提高《复变函数与积分变换》课程的课堂教学质量，提高学生对该门课程的学习兴趣，切实保证本专业学生必须具备的工程数学素养，学以致用，是该课程教学改革的核心问题。
下面结合自动化专业，本着“以生为本，促进学生全面发展”的教育理念，结合课堂教学及学生在学习过程中出现的一些问题，着重从以下几方面提出自己的浅见。
一、引导学生将所学内容与高等数学课程有机结合，进行类比教学《复变函数与积分变换》是高等数学的后续课程，在授课过程中，发现学生对本门课程涉及的高等数学相关内容印象模糊，概念不清，解题方法淡忘，例如《复变函数》中极限的概念，连续性、导数的定义、级数的概念、级数敛散性判断、泰勒级数展开等内容，在高等数学课程中都有涉及，故课前教师应该提醒学生，下次讲授的课程内容和高等数学哪些内容有关，留课后作业，在课后完成查找相关知识点的任务，督促学生做好课前预习工作。
复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用
复变函数和积分变换在电子信息工程专业中的应用专业：电子信息工程班级：姓名：摘要：在信号与系统的理论研究中，复变函数与积分变换是一种重要数学工具，利用拉普拉斯变换和z变换可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程而使其求解过程简化，本文主要从分析连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面着手，并通过专业中常用的经典方法进行比较，时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。
得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个不可缺少的有力教学工具。
关键词：拉普拉斯变换z变换信号与系统正文：1．拉氏变换在电子信息工程专业的应用经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，两者有什么不同，哪种方法要好一点呢?我们通过对以下题目用不同的方法求解来进行比较1.已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程ttyx+tytyt)((),+8)(')(">=6初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解:经典方法(1) 求齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = 0的齐次解y h(t )特征方程为0862=++s s 特征根为4221-=-=s s ， 齐次解 t t K K t y 3221h e e )(--+= t >0(2) 求非齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = x (t )的特解y p(t )由输入x (t )的形式，设方程的特解为y p(t ) = C e -t t>0将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3) 求方程的全解t t t B A t y t y t y ---++=+=e 31e e)()()(42p h 131)0(=++=B A y 23142)0('=---=B A y 解得 A =5/2，B = -11/6 0,e 31e 611e 25)(42≥+-=---t t y t t t拉氏变换方法)()(8)]0()([6)0(')0()(s 2s X s Y y s sY y Sy S Y =+-+-----)(86186)0(6)0(')0()(22s X s s s s y y sy S Y +++++++=---2223)4)(2(8)4)(2()0(6)0(')0()(+-++=+++=++++=---s s s s s s s y y sy s y zi)()23()(42t u e e t Y t t zi ---=461221131)1)(4)(2(1)(+++-++=+++=-s s s s s s s Yzs t t t t zs e e e y 42)(612131---+-= 0;6112531)(42≥-+=---t e e e t y t t t2.已知某线性时不变系统的动态方程式为:y " (t )+5y ' (t ) +6y (t ) =4x (t ), t >0系统的初始状态为y (0-) = 1，y ' (0-) = 3，求系统的零输入响应y zi(t )。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
复变函数之美--浅谈复变函数与积分变换在电气专业的应用
浅谈复变函数与积分变换在电气专业的应用一学期的复变函数与积分变换就结束了。
从最初的复数与复变函数开始学起，到第二章的解析函数的概念，C-R条件，到第三章的复变函数的积分，第四章的解析函数的级数展开到第五章的留数再到之后的傅里叶变换与拉普拉斯变换。
该课程的学习为我们初步建立起了一套相对完整的在复数域下函数研究的理论体系，为我们今后的理工科学习打下了坚实的基础。
第一节课老师就把数学的大概分支给我们理顺了一次。
而复变函数从某种意义上来说可以就是大一所学高数的一种延伸与拓展。
高数中我们所研究讨论的对象都是实函数，但同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是到了我们电气专业方面的计算和问题中，实变函数就受限制了。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，先辈便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的方法技巧。
可以说复变函数很好地将理论性与实践性结合在了一起，用精确且富有技巧的数学理论工具，让一系列工程问题迎刃而解。
下面我将就复变函数与积分变换对电气工程专业的应用与拓展说几点浅见。
复数中的虚数部分，其不存在于三维坐标中，却存在于四维时间。
因时间有空间的方向性，它能做矢量代数，而做代数运算时，虚数就是时间。
在电路基础中，我们也用虚数去处理RLC电路中的相角关系，电感本身并不是虚的，而是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数存在的某些物理特征。
复数函数中的解析函数，如我们提出场的概念，即可用解析函数来解决。
其中的二维向量就能充分表示出二维向量场.即我们讨论平面向量场上解析函数的应用.在电磁学中，我们亦可以把问题变换成复变函数模型，进而进行分析。
即可把电场的问题放在一个三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性问题，我们可放在一个剖切面进行考虑，复变函数便是在平面解决问题的一个很好的工具。
利用静电场的复势可以统一研究电场力函数和电场势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。
复变函数和积分变换在电子信息工程中的应用
复变函数和积分变换在电子信息工程专业中的应用专业：电子信息工程班级：姓名：摘要：在信号与系统的理论研究中，复变函数与积分变换是一种重要数学工具，利用拉普拉斯变换和z变换可把信号与系统中的数学模型转化成简单的代数方程而使其求解过程简化，本文主要从分析连续信号、离散信号，从其零输入响应、零状态响应、完全响应方面着手，并通过专业中常用的经典方法进行比较，时域分析，频域分析，复频域分析方法比经典的常规方法更明了，简洁，规范。
得出在本专业学习中，复变函数与积分变换是一个不可缺少的有力教学工具。
关键词：拉普拉斯变换z变换信号与系统正文：1．拉氏变换在电子信息工程专业的应用经典解题方法和拉斯变换方法都能解决连续信号中的问题，两者有什么不同，哪种方法要好一点呢?我们通过对以下题目用不同的方法求解来进行比较1.已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程ttyx+tytyt)((),+8)(')(">=6初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。
解:经典方法(1) 求齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = 0的齐次解y h(t )特征方程为0862=++s s 特征根为 4221-=-=s s ，齐次解 t t K K t y 3221h e e )(--+= t >0(2) 求非齐次方程y ''(t )+6y '(t )+8y (t ) = x (t )的特解y p(t )由输入x (t )的形式，设方程的特解为y p(t ) = C e -t t>0将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3) 求方程的全解t t t B A t y t y t y ---++=+=e 31e e )()()(42p h 131)0(=++=B A y 23142)0('=---=B A y 解得 A =5/2，B = -11/6 0,e 31e 611e 25)(42≥+-=---t t y t t t拉氏变换方法)()(8)]0()([6)0(')0()(s 2s X s Y y s sY y Sy S Y =+-+-----)(86186)0(6)0(')0()(22s X s s s s y y sy S Y +++++++=--- 2223)4)(2(8)4)(2()0(6)0(')0()(+-++=+++=++++=---s s s s s s s y y sy s y zi)()23()(42t u e e t Y t t zi ---=461221131)1)(4)(2(1)(+++-++=+++=-s s s s s s s Yzs t t t t zs e e e y 42)(612131---+-= 0;6112531)(42≥-+=---t e e e t y t t t2.已知某线性时不变系统的动态方程式为:y " (t )+5y ' (t ) +6y (t ) =4x (t ), t >0系统的初始状态为y (0-) = 1，y ' (0-) = 3，求系统的零输入响应y zi(t )。
复变函数与积分变换在自动化专业中的应用
复变函数与积分变换在自动化专业中的应用广西大学电气工程学院作者： 学号：摘要: 本文主要简要的论述了复变函数与积分变换的相关定义以及复变函数与积分变换在自动控制专业中的应用。
到自动控制理论、线性系统等知识的浅析。
关键词: 自动控制； 线性系统；传递函数Abstract: This paper briefly discusses the relevant definitions and complex function and integral transformation of complex function and integral transformation in the automatic control of a professional application. On the automatic control theory, linear systems of knowledge.Keywords: automatic control; linear system; transfer function复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。
复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。
它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。
复数起源于求代数方程的根。
复变函数与积分变换在大学中是一门理工科基础必修课程。
该课程既是高等数学课程的延续，同时也为后继课程的学习提供进一步的知识和有效工具。
该课程的教学还担负着进一步锻炼和提高学生的思维能力和数学应用能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法的重要任务。
在大学中，我们学习的事《复变函数与积分变换》这门课程，它主要分为两大部分的内容。
一是复变函数的相关知识； 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。
在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理。
复变函数与积分变换在自动化专业中的应用
复变函数与积分变换在自动化专业中的应用广西大学电气工程学院作者： 学号：摘要: 本文主要简要的论述了复变函数与积分变换的相关定义以及复变函数与积分变换在自动控制专业中的应用。
到自动控制理论、线性系统等知识的浅析。
关键词: 自动控制； 线性系统；传递函数Abstract: This paper briefly discusses the relevant definitions and complex function and integral transformation of complex function and integral transformation in the automatic control of a professional application. On the automatic control theory, linear systems of knowledge.Keywords: automatic control; linear system; transfer function复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。
复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。
它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。
复数起源于求代数方程的根。
复变函数与积分变换在大学中是一门理工科基础必修课程。
该课程既是高等数学课程的延续，同时也为后继课程的学习提供进一步的知识和有效工具。
该课程的教学还担负着进一步锻炼和提高学生的思维能力和数学应用能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法的重要任务。
在大学中，我们学习的事《复变函数与积分变换》这门课程，它主要分为两大部分的内容。
一是复变函数的相关知识； 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。
在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理。
复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业中的应11
复变函数与积分变换在电气工程及其自动化专业中的应用姓名：***学号：********学院（系）：兰州理工大学技术工程学院电气系专业：电气工程及其自动化指导教师：***批阅人:摘要：《复变函数与积分变换》是理工科院校学生继工科数学分析课程之后的又一门数学基础课。
通过本课程的学习，不仅能学到复变函数与积分变换中的基本理论及工程技术中的常用数学方法，同时还可以巩固和复习工科数学分析的基础知识，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在我们电气工程及其自动化中的应用非常重要，但仅在我们目前的课程中，运用的最多的是在专业课电路中应用拉普拉斯变换法分析线性电路还有是傅里叶级数所应用的非正弦周期电路和信号的频谱。
由此可知，学校开设此课程对我们电气系的重要性与必要性。
关键字：电气工程及其自动化复变函数电路积分变换正文《复变函数与积分变换》是大学教育数学课程中的基础课程，在培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，空间想象能力和科学计算能力等诸方面起着特殊重要的作用。
我们的这个教材可供高等工科院校的电类及与电类有关的各专业使用，也可供其他专业使用。
该课程在我们电气工程及其自动化专业中，目前，仅在《电路》这门课程中涉及到相关的应用。
在生产实践和科学试验中，通常会遇到按费正弦规律变化的电源和信号。
例如，通信工程方面传输的各种信号，如收音机，电视机收到的信号电压或电流，它们的波形都是非正弦波。
在自动控制，电子计算机等技术领域中用到的脉冲信号也都是正弦波。
另外，如果电路存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的电压和电流。
非正弦电流，电压又分为周期和非周期的两种。
首先应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压，电流或信号分解为一系列频率为周期函数频率的正整倍数的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算每一频率的正弦量单独作用下在电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
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复变函数论文
浅谈复变函数与积分变换在电子信息工程专业学习中的应用
专业名称：电子信息工程
班级：0934091-75
*名：**
摘要：“复变函数与积分变换”既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具复变函数起源于分析、力学、数学物理等理论与实际问题，具有鲜明的物理背景。
“复变函数与积分变换”课程是电气工程及其自动化专业必修的专业基础课，是学习“电路理论”、“电机学”、“信号与系统”等多门后继专业课的基础，学习这门课程对于培养学生的专业能力、创新精神以及未来的业务素质都是非常重要的。
建立在复变函数理论之上的积分变换方法，通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系，既能简化计算，又具有明确的物理意义，在电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成等领域中有着广泛的应用。
关键词：复变函数;积分变换;电工程及其自动化;应用
《复变函数与积分变换》这门课程主要是两大部分的内容, 一是复变函数的相关知识, 二是傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个主要的积分变换。
在电气工程及其自动化专业中, 对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时- 频域理论分析等内容要应用复变函数中的方法与拉普拉斯变换进行处理; 对线性系统的理论分析要应用拉普拉斯变换进行。
因此《复变函数与积分变换》这门课程对该专业的学习起着重要作用,下面仅就几个简单问题进行分析。
一、拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用
互感在工程中应用极其广泛,因此对互感电路进行分析非常必要. 常见的基本分析方法有时域分析法、频域分析法、复频域分析法. 由于互感电路本身的复杂性,采用时域或频域进行分析都很繁琐. 本文从复频域角度,首先对互感元件进
行s域变换,然后对互感电路进行复频域分析.
（1）拉普拉斯变换
对于具有多个动态元件的复杂电路,用直接求解微分方程的方法比较困难. 例如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t = 0 +时刻的值,而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t = 0 +时刻的值,从这些值求初始条件的工作量很大. 拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛的适应性,是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一[1 - 4 ]. 在傅立叶变换中, 引入衰减因子e-σt (σ为实常数) ,根据不同信号的特征,适当选取σ的值, 使乘积信号f ( t) e-σt当t→±∞时信号幅度趋近于0,从而使f ( t) e-σt的定义式积分收敛.
∞
- ∞∫f ( t) e-σt e- jωt d t = f ( t) e- (σ+jω) t d t (1)
其积分结果为s ( s =σ+ωj )的函数,则F ( s) = f ( t) e- st d t
即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对. 引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能解决的零初始状态下的系统响应也可迎刃而解.
（2）电路的s域模型
分析电路的基本依据是基尔霍夫定律(KCL 和KVL)和元件端电压与其电流的约束关系. 在时域分析中,利用微分方程研究电路,当电路的网络结构复杂(支路和节点较多)时利用微分方程显得相当繁琐. 为简化分析过程,可
先对电路进行s域变换,再把变换后的电压与电流用KVL和KCL联系起来.
2. 1 s域元件模型[1 - 2 ]
R、L、C元件的s域关系为
VR ( s) = R IR ( s) , VL ( s) = sL iL ( s) - L iL (0) ,
VC ( s) =1/sC I C ( s) +1/sv C (0) .
其中sL,1/sC,因具有阻抗的量纲,称为电感和电容的等效阻抗. L iL (0) ,
1/s v C (0)是由初始条件引起的附加电源. R、L、C元件的s域模型,可用电压源与等效阻抗的串联表示,如图1所示.
图1R、L、C元件的s域模型
也可以用电流源与等效阻抗的并联表示,如图2所示.
图2 R、L、C元件的s域模型
2. 2 互感元件的s域模型
互感元件时域模型如图3所示,其时域关系为
u1 ( t) =L1*di1 ( t)/dt+M *di2 ( t)/dt,
u2 ( t) =L2*di2 ( t)/dt+M *di1 ( t)/dt.
对以上两式两边进行拉普拉斯变换可得到其s域关系.
V1 ( s) =L1 [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ] +M [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ], V2 ( s) =L2 [ sI2 ( s) - i2 (0 - ) ] +M [ sI1 ( s) - i1 (0 - ) ]. 互感元件s域模型如图4所示.
也可以用互感化除后的电路, 其s域模型如下图5所示.
图5互感化除后互感元件s域模型
2. 3 电路定理的推广
时域中的KCL 定理为Σi ( t) = 0 , 变换到s域为ΣI ( s) = 0 ;
时域中的KVL 定理为ΣV ( t) = 0 , 变换到s域为ΣV ( s) = 0 ;
在线性稳态电路中各种分析方法在进行s域分析时均适用.
(3) 利用元件s域模型求响应
根据上面的讨论,我们可以求图6所示电路开关闭合
后的电流i1 ( t) . 当t≥0时该电路的s域等效电路图如图7
所示. 当t < 0时, i1 ( t) = i2 ( t) = 0 A, 即i1 ( 0 - ) = i2 ( 0 - )= 0A .
由图7即可根据KVL定理,求出
I1 ( s) =0. 1s + 1/(s (0. 75 ×10 - 2 s2 + 0. 2s + 1),
可求出其逆变换: i1 ( t) = 0. 5 ( e- 6. 67t - e- 20t )A.
在互感电路分析中,动态元件(如L、C)的电压和电流间的约束关系是电压或电流变量间的导数或微分,所以基于这种约束关系的关系式一般是以时间t 为自变量的高阶微分方程,对其求解相当困难.但利用s域的代数方程式,即可方便地对网络进行分析求解;另外,拉普拉斯变换将电压和电流变量的初始值自动引入到代数方程式,而不必像时域分析时对初始条件要单独考虑. 可见,拉普拉斯变换亦是分析复杂动态电路的有效工具.
二、描述线性系统的微分方程
一个物理系统, 如果可以用常系数线性微分方程来描述, 那么这个物理系统称为线性系统.例如, 在RC 串联电路中( 如图1) , 电容器的输出端电压Uc ( t) 与R、C 及输入端电压e( t) 之间的关系可以用微分方程RCdu/dt=e（t）来描述,它就是一个线性系统。
图1
对于自动控制专业中的许多物理系统不仅可以用微分方程来描述, 而且可以用拉普拉斯变换求解。
例1: 如图2 所示的机械系统最初是静止的, 受一冲击力f(t)=A!(t)的作用使系统开始运动, 求由此而产生的振动。
解: 设系统振动规律为x=x( t) , 且当t=0时, x( 0) =x'( 0) =0, 冲击力f( t) =Aδ( t) , 弹性恢复力为- kx( x 为弹性阻尼系数) 。
根据牛顿第二定律, 有mx' '( t) =Aδ( t) - kx( t)即mx' '( t) +kx( t) =Aδ( t)设L[x( t) ]=X( s) , 对方程两边取拉普拉斯变换, 可得ms2X( s) +kX( s) =A
于是取拉普拉斯逆变换, 得
因此, 此振动规律是振幅为, 角频率为的简谐振动。
线性系统的传递函数
线性系统的两个主要概念是激励与响应,通常称输入函数为系统的激励, 而称输出函数为系统的响应( 见图3) 。
图三
如在RC 串联电路中, 输入端电压e( x) 为该系统的激励, 电容器的输出端电压uc ( t) 为该系统的响应。
要研究激励与响应同系统本身特性之间的关系, 这就需要有描述系统本性特征的函数———传递函数。
凡是可用一阶微分方程描述的系统, 称为一阶系统。
其标准形式的微分方程为a1y'+a0y=f( t) 。
在零初始条件下对其进行拉普拉斯变换,可以求得一阶线性系统的传递函数为。
显然, 在同一形式的输入信号作用下, 尽管这些系统的输出信号是各不相同的物理量, 但是它们的输出信号的形式是相同的。
正因为如此, 系统的理论分析才具有普遍意义。
例如: 在RC串联电路中, 其传递函数为G(s)=1/(RCs+1)。
因此, 学生想要学好专业课,《复变函数与积分变换》课程显然是必不可少的。
只有学好《复变函数与积分变换》, 学生在学习专业课中才能轻松自如地掌握相关知识, 并运用于实践.
三、动态过程的复频域分析
(1)、要在复频域中解决电路问题，必须把时域电路定律和时域电路元件通。