指数函数经典例题和课后习题

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指数函数及其基本性质

指数函数的定义

一般地，函数()10≠>=a a a y x

且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .

问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2

1

,2=

-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x

a 无意义）

(3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .

指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下：

指数函数平移问题（引导学生作图理解）

用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x

2的图象的关系（作图略），

⑴y =1

2+x 与y =2

2+x . ⑵y =12

-x 与y =2

2

-x .

f (x )的图象

向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象.

指数函数·经典例题解析

(重在解题方法)

【例1】求下列函数的定义域与值域：

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， 及时演练求下列函数的定义域与值域

（1）4

12-=x y ； （2）||

2()3

x y =；

（3）12

41

++=+x x

y ；

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是

[ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c

C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ．

及时演练 指数函数①

②

满足不等式

,则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小： (3)

解 (3)借助数，利用指数函数的单调性，，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得 ∴

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与，即为，如例2中的(3)． 及时演练（1）1.72.5 与 1.73

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

-

( 3 )

1.70.3 与 0.93.1

（４）

5

.31

.2和

7

.20

.2

【例５】已知函数f(x)＝a －

1

2x ＋1

，若f(x)为奇函数，则a ＝________. 【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a －120＋1

＝0.∴a ＝1

2.

解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即a －

12－x

＋1＝12x ＋1

－a ，解得a ＝1

2.

【答案】 1

2

及时演练

当x ＝0时，函数y 有最大值为1． (1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ． ∴函数f(x)为奇函数． 即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)

备选例题

1．比较下列各组数的大小：

（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较

与

；

（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若

，且

，比较a 与b ．

解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．

（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，

故

．从而

，这与已知

矛盾．

（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且

，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．

小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

,

2.已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．