第一讲矩阵的概念运算
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]
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所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质 定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2， ，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2
第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
第一讲矩阵基本运算
Af蠓 蠓 d12 d13 d14 d15 d16 d17 d18 d19 d23 d24 d25 d26 d27 d28 d29 d34 d35 d36
欧氏距 0.1217 0.1612 0.1720 0.2280 0.1612 0.2600 0.3162 0.4817 0.1020 0.0825 0.1612 0.0566 0.1442 0.1970 0.3945 0.1800 0.2600 0.0632
1 2 例1.矩阵 A= 矩阵 3 4 5 1 0 1 6 0 1 1 的Matlab输入： 输入： 输入 7 1 0 1 8 0 1 1
A=[1,5,1,0,1;2,6,0,1,1;3,7,1,0,1;4,8,0,1,1]; 注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示. 注意： 行尾分号的作用在于运算结果不显示
MATLAB— 入门
1. 双击图标，进入 双击图标，进入Matlab界面（command) 界面（ 界面 2. 单击 单击file New M—file 进入编辑 界面(Untitled1) ,进行编程之后，点击保存 进行编程之后， 界面 进行编程之后 时可以修改文件名. 时可以修改文件名
必须用英 3.要显示运算的结果，有两种方法： 文开头 要显示运算的结果， 要显示运算的结果 有两种方法：
现测得6只 蠓虫的触长,翅长数据如下 例9. 现测得 只Apf和9只Af蠓虫的触长 翅长数据如下： 和 只 蠓虫的触长 翅长数据如下： Apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), ： (1.28,2.00), (1.30,1.96) Af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), ： (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08) 计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、 计算两类蠓虫的各自之间的欧氏、绝对、马氏距离 解: Apf=[1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2; 1.30,1.96] ; Af=[1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82; 1.38,1.90 ; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08]； ；
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
线性代数总结笔记
对于非齐次线性方程组
a11x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
*1
Di D
（1）若 D aij 0 则 *1 有唯一解， xi
， Di 为 D 的第 i 列换为常数列；
6th
（2）若 *1 无解或有无穷多解，则 D 0 ； 注： D 0 仅是 *1 有无穷多解或无解的必要条件而非充分条件； 对于齐次方程组
a11 a12 a1n
例 1 计算上三角行列式 Dn
0
a22 a2 n ann
Dn 1
j 1
n
j1 j2 jn
a11a22 ann
注：同样地
n a11 0 aii * ann i1
类似地
* an1
1
a1n 0
0 an1
【分析】数学归纳法 递推公式 解： D2 a2 a1 ，
1 D3 a1 a
2 1
1 a2 a2
2
1 1 a3 a1 a3
2
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2
1 a3
1 0
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2 a1
1 a3 a1
注：1）在降阶时运用展开定理，降阶之前应先用性质将某一行（列）只剩一个非零元素； 2） a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13 则 a a a a A a A a A 0 21 22 23 21 21 22 22 23 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33
研究生矩阵论第1讲 线性空间
矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲 线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换和坐标变换；3.子空间和维数定理；4.线性空间的同构线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”和“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为α,β的和和积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1． 2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 和集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“∙”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ和它们对应，称δ为k 和α的数乘，记为αδ∙=k ．如果加法和数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=∙1；⑹ αα∙=∙∙)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα∙+∙=∙+l k l k )(；⑻ βαβα∙+∙=+∙k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法和数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数和矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
第三章 矩阵第一讲
则X=X1 X 2，其中X1 V1，X 2 V2，
3、设A、B、C、是三个n阶方阵r(A)=r(BA), 证明：AX=0的解显然是BAX=0的解.
则(AC)= r(BAC).
又r(A)=r(BA), AX=0与BAX=0的解空间的维数相同， 故 AX=0与ABX=0同解.
又 ACX=0的解是BACX=0的解，反之若X是BACX=0 的解， 令 CX=X1，则BAX1=0，即X1也是AX=0的解，即AX1=0，于是 ACX=0， 即BACX=0与ACX=0同解，于是 r(AC)=r(BAC).
6. 若AX=0与BX=0同解，则r A =r B . 7. r A =r AA =r AA .
二、例题
1. 设A= a ij
sn
, B bij
n m
, 证明：r AB r A +r B n 0 ， 0
书上的题看P49 起 3.5, 3.9, 3.10, 3.15
第一讲 矩阵的秩之间的关系
一、矩阵的秩之间的关系
I 0 1.r A r 存在可逆矩阵P、Q使PAQ= r （初等变换不改变矩阵的秩） . 0 0 若C=AB，其中A=Asn，B=Bnm，则r A +r B n r (c) min{r A ,r B }； 若A -1存在，则r AB =r B ； 若A B 0，则r A +r B n. 2. r A +r B r A+B .
6.设A、B、C是三个可乘的矩阵，证明： r ABC r AB r BC r B 证：设A=Asn，B=A nk，C=Ckm， I 令r B r1，则存在可逆矩阵P、Q使B=P r 0 0 Q. 0
1.二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵1.矩阵的概念① =OP → →[23][23]初赛复赛甲8090乙8688③概念一：象 的矩形数字（或字母）阵列称为矩[23]80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：（仅有一列）[a11a21]⑤向量＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵或a →[,]x y 列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习1：1.已知,，若A=B ，试求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B z y x ,,2.设，，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表称为二阶矩阵。
a,b,c,d a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即，记为0。
0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦②二阶单位矩阵：，记为E 2.1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23m 3－24—2—3—[80 9086 88]23324x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即＝＝ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α→a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021（2） ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3110212.=，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P在此旋转变换作用下的象。
2013考研数学线性代数必背公式知识点
α 1 ,α 2 ,Λ ,α n 的线性组合，组合系数是 B 的第 i 个列向量
的各分量。 类似地： AB 的第 i 个行向量是 B 的行向量组的线性 组合，组合系数是 A 的第 i 个行向量的各分量。
即 (c1 , c 2 , Λ , c n ) 就是解。
(− 1)τ ( j j Λ j )
1 2 n
⎧ x1 = c1 , ⎪x = c , ⎪ 2 2 其方程为 ⎨ ⎪ Μ ⎪ ⎩ xn = cn ,
第二讲 行列式
τ ( j1 j 2 Λ j n ) 的逆序数
1,2, Λ , n
=
j1 j2 Λ jn
(
) 化出的简单阶梯形矩阵应为
a1 j1 a 2 j2 Λ a njn
其中 j1 j 2 Λ j n 是 1,2, Λ , n 的一个全排列。 ③ a1 j1 Λ a njn 前面乘的应为
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 Ο 0 0
0 c1 ⎞ ⎟ 0 c2 ⎟ 0 Μ⎟ ⎟ 1 cn ⎟ ⎠
A+ B ≠ A + B
A = 0 时，解如何？
即唯一解 ⇒ ? A ≠ 0？ 改进： A ≠ 0 ⇔ 唯一解
A + B = (α 1 + β 1 ,α 2 + β 2 ,α 3 + β 3 )
A + B = α1 + β1 ,α 2 + β 2 ,α 3 + β 3 = α1 , α 2 + β 2 , α 3 + β 3 + β1 , α 2 + β 2 , α 3 + β 3
矩阵运算性质及其应用
第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不一样的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a 〔1,2,,i m =，1,2,,j n =〕排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也一样时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比拟特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E 〔也记作I 〕，它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭〔与行列式中一样，不写出的元素就是0〕.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -.运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B相乘的积记作AB .运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作k A .运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩kk E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或T A ，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。
等式两边取行列式可得因此同时充分...
第一讲矩阵及其运算矩阵第一讲矩阵及其运算教学目的:1.熟练掌握矩阵的概念,了解常用的特殊矩阵以及性质。
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。
教学重点与难点:1.矩阵的乘积2.矩阵可交换,及相关结论。
教学计划时数:2学时教学过程:矩阵的概念定义1:由个数排成行(横向)、列(纵向)的数表:称为矩阵,记作简记为 ,或,这个数称为矩阵A的元素,简记为元.其中为A 的第i行第j列的元素.如是3行4列的矩阵(外加方括号或圆括号),就称它为34的矩阵,这里,34是一个记号,表明矩阵有3行4列.注意:1. 行列式是算式,其行列数必须相同;矩阵是数表,其行列数可不同2. 元素为实数的矩阵称为实矩阵,元素为复数的矩阵称为复矩阵,本书中所讲的矩阵除特别说明外,均指实矩阵.矩阵的一些相关概念定义2:两个矩阵的行数相等、列数也相等时,称它们为同型矩阵.如,是同型矩阵.2.矩阵的相等定义3:设矩阵,为同型矩阵,若则称矩阵与相等,记为.如,当时,.二、一些常用特殊矩阵(1)行矩阵:只有一行的矩阵称为行矩阵,又称行向量.为避免元素间的混淆,行矩阵也可记作 (2)列矩阵:只有一列的矩阵称为列矩阵,又称列向量.(3)零矩阵:所有元素都等于0的矩阵,称为零矩阵,记作.注意:不同型的零矩阵是不同的.如,为矩阵,是行矩阵;为矩阵,是列矩阵;为零矩阵,为零矩阵,但 (4)阶方阵:当时,称为矩阵或阶方阵,有时用表示.1阶矩阵被约定当作“数”(即“元素”本身)对待.(5)上(下)三角阵:设阶方阵,若时,,则称为上三角阵;若时,,则称为下三角阵.如,是一上三角形阵,是一下三角形阵.(6)对角矩阵既是上三角阵、又是下三角阵的矩阵称为对角矩阵,简称对角阵.对角矩阵可简记为.(7)数量矩阵又称标量阵对角阵中,若,则称之为数量矩阵.简记为.(8)单位矩阵数量矩阵中的矩阵称为单位矩阵,简称单位阵,记作或,即.如,为3阶对角阵,为3阶数量矩阵,为3阶单位阵.(9)对称矩阵:满足条件的方阵称为对称矩阵,简称对称阵.其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.(10)反对称矩阵:满足条件的方阵称为反对称矩阵,简称反对称阵.其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相反.如,为对称阵,为反对称阵.三、矩阵的运算1.矩阵的加法定义4:设两个矩阵,,定义与的和为,即注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.如, 对,记,称为的负矩阵.有以下结论1.2规定矩阵的减法为矩阵加法运算律 (设都是矩阵).(1);(2);(3);(4).2.矩阵的数乘定义5:设矩阵,为数,数与矩阵的乘积定义为,或记为.即矩阵数乘的运算律 (设都是矩阵,为数)(1);(2);(3);(4).矩阵的加法与矩阵的数乘合起来,统称为矩阵的线性运算.3.矩阵与矩阵相乘定义6:设,定义矩阵,其中为矩阵左乘矩阵之积,记作乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.例1 设,,求.解注意:1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘 2. 乘积矩阵的第行第列元素就是的第行元素与的第列对应元素的乘积之和.矩阵乘法的运算律(假设运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).例2 设.求与.解 ;.由此例题可归纳:一般地,对于单位矩阵,有或简写为可见单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.关于矩阵的乘法,我们还要注意以下三点:(1)矩阵乘法不满足交换律,即在一般情形下,.如,设,则 (2)非零矩阵相乘,可能是零矩阵,即由,不能推出或.如,设,则,但且(3)两个矩阵乘法不满足消去律,即由,不能推出.如,设,,,有则,但.定义7:如果两个矩阵相乘,有,则称矩阵与矩阵可交换,简称与可换.由,可知数量矩阵与矩阵的乘积等于数与的乘积.并且当为阶方阵时,有这表明数量矩阵与任意同阶方阵都是可以交换的.4.方阵的幂定义8:设是阶方阵,定义其中为正整数,这就是说就是个连乘,称为的次幂.注:只有方阵,它的幂才有意义.方阵幂的运算律1);2)(为正整数)一般地,对于两个阶方阵与,为正整数,只有当它们可交换时,才有其中为正整数.类似可知,例如,等公式,也只有当时才成立.例3 设,求解 ,.5.方阵的多项式设为的次多项式,为阶方阵,记,称为矩阵的次多项式.因为矩阵和都是可交换的,所以矩阵的两个多项式和总是可交换的,即总有,从而的几个多项式可以像数的多项式一样相乘或分解因式.例如6.矩阵的转置定义9:把矩阵行列互换所得到的一个新矩阵,称为矩阵的转置矩阵,记为.注:若为对称矩阵,则;若为反对称矩阵,则.矩阵转置的运算律(假设运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).证明第4式.证设矩阵易知与都是矩阵.而位于的第行第列的元素就是位于的第行第列的元素,因此等于位于的第行第列的元素就是位于的第行元素与的第列的对应元素之积的和显然,上述两个式子相等,所以例4 已知求.解法1 因为所以解法2 .7.方阵的行列式定义10:由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或.如,,则.矩阵行列式的运算律(设是阶方阵,是数)(1);(2);(3);(4).例5 已知,验证:.证因为,,所以又故 8.共轭矩阵定义11:设为复(数)矩阵,用表示的共轭复数,记称为的共轭矩阵.共轭矩阵的运算律(设是复矩阵,是数,且运算都是可行的)(1);(2);(3);(4).第二讲逆矩阵教学目的:1.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件。
第一讲行列与矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
第三章第一讲矩阵的初等变换
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
1 −2 1 1 −1 1 0 0
4⎞ ⎟ 0⎟ = B3 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 1 −3 ⎠
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 ⎪ x 2 − x 3 + x4 ⎪ ⎨ 2 x4 ⎪ ⎪ x4 ⎩
① ② ③ ④
通识教育必修课程——线性代数
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9. ⎩
②－③ ③－2×① ④－3×①
① ② ③ ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r1 − r2
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B4 0 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0 0⎠
r2 − r3
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
0 −1 0 1 −1 0 0 0
4⎞ ⎟ 3⎟ = B5 0 1 −3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎠
通识教育必修课程——线性代数
③ ④
④－2×③
= 4, ① = 0, ② = −6, ③ = −3. ④
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0
r3 ↔ r4 r4 − 2r3
1 −2 1 4 ⎞ ⎟ 1 −1 1 0 ⎟ = B3 0 0 2 −6 ⎟ ⎟ 0 0 1 −3 ⎠
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ x2 − x3 + x4 = 0, ⎪ ⎨ x4 = −3, ⎪ ⎪ 0 = 0. ⎩
线性代数考研第二讲
k
k A2
方阵的行列式
A1 O O A2 A1 A1
方阵的逆矩阵
A1 O O A11 A2
1
1 A2
第二讲 矩阵
分块矩阵
A O 例10 设 H C B
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
5. 矩阵的转置 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 的转置 1. 定义: A = … … … … am1 am2 … amn a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn
AT =
…
…
…
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
1 0 1 例1 设 A 0 2 0 1 0 1
T
，求 An 2 An1 (n 2).
1 1 T T 例2 设 (1, 2, 3) , (1, , ) , A ，求A6. 2 3
1 1 1 例3 设 A 1 1 1 ，求A10. 1 1 1
… A1r +B1r … A2r +B2r . … … … Asr +Bsr
第二讲 矩阵
分块矩阵
分块数乘
A11 A21 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , 为常数. As2 … Asr
则A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
3. 矩阵的乘积 定义A = (aij)ms与B =(bij)sn的乘积是一个 mn矩阵C = (cij)mn , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.
选修4-2矩阵与变换知识点讲解
四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
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第一讲
Ⅰ 授课题目（章节）：
§2.1 矩阵的概念；
§2.2 矩阵的计算
Ⅱ 教学目的与要求：
理解矩阵概念；
掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。
Ⅲ 教学重点与难点：
矩阵的乘法
Ⅳ 讲授内容：
§2.1 矩阵
定义2.1 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij ΛΛ=排成的m 行n 列的数表
mn m m n
n a a a a a a a a a Λ
M
M M ΛΛ21222
2111211
称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。
否则，称它们是不同型的。
n 行n 列的矩阵n n A ⨯称为n 阶矩阵（或n 阶方阵），简记为n A 。
只有一行的矩阵)(21n a a a A Λ=称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n b b b B M 21 称为列矩阵,又称列向量.
定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即
),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ΛΛ===
那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.
元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ⨯，简记为O .不同型的零矩阵是不同的.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010001ΛM M M ΛΛn I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.
§2.2 矩阵的运算
1. 矩阵的加法
定义2.3 设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2. 数与矩阵相乘:
定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）：
)(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3. 矩阵与矩阵相乘:
定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩阵,那么规定矩阵
A 与矩阵
B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c
C =,其中
),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s
k ik sj is j i j i ij ΛΛΛ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =
例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律。
由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵相乘时必须注意顺序，AB 称为用A 左乘B ,BA 称为用A 右乘B 。
如果两个矩阵B A 与相乘，有BA AB =，则称矩阵B A 与可交换。
可交换的矩阵一定是同型方阵。
例2 若⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6342,2142B A ，求BA AB 及 解 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,1683216BA AB 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
例3 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ..................
......22112222212111212111中， 若令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯mn m m n n n
m a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211（称为线性方程组的系数矩阵），
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X M 21（称为未知数矩阵），⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m b b b b M 21（称为常数列矩阵） 则方程组可以表示为矩阵形式b AX =
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）
其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(
对单位矩阵I ,易知
n m n n m n m n m m A I A A A I ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AI IA ==
4. 方阵的幂
对于方阵A 以及自然数k ，43421个
k k A A A A ⋅⋅⋅=...称为方阵A 的k 次幂。
方阵的幂有下列性质：
)(i 2121k k k k A A A +=
)(ii 2121)(k k k k A A =
注：由于矩阵的乘法不满足交换律，一般而言有：
2121)()()(k k k k AB AB AB +≠，
22))((B A B A B A -≠-+等等
5. 矩阵的转置
定义 2.6 把矩阵A 的行列式同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A
矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的)
)(i A A T T =)(
)(ii T T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T A B AB =)(
定义2.7 设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij Λ== 则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等.
Ⅴ 小结与提问：
1．矩阵的线性运算（加减，数乘）；
2．矩阵的乘法运算（以及方阵的幂）；
3．矩阵的转置
Ⅵ 课外作业：
17~1105100）习题二（A P -。