高中数学必背公式——立体几何与空间向量
高中数学第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系1-2空间两点间的距离公式北师大版选择性必修第一册
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
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[教材要点]
要点 空间两点间的距离
1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的
x2 − x1 2 + y2 − y1 2 + z2 − z1 2
距离为|PQ|＝_____________________________．
答案： 3
解析：|AB|＝ t 2 + t − 2 2 + 1＝ 2 t − 1
∴当t＝1时，|AB|的最小值为 3.
2
+ 3，
5．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)
的距离最小．
解析：由已知，可设M(x，1－x，0)，
则|MN|＝ x − 6 2 + 1 − x − 5 2 + 0 − 1 2 ＝ 2 x − 1
x1 − x2 2 + y1 − y2 2 ；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是
x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．( × )
(2)空间两点间的距离公式不适合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一平面内的两点．( × )
(3) 将 空 间 两 点 间 距 离 公 式 中 两 点 的 坐 标 对 应 互 换 ， 结 果 会 改
解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|，
得 0 − 4 2 + 0 − 5 2 + z − 6 2＝ 0 + 5
解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6).
空间向量与立体几何公式
空间向量与立体几何公式一、空间向量1、空间向量是一种简单的数学表达形式，表示一组相同类型数据成员之间的关系。
它可以描述空间中的每个点与另一个点之间的连接情况，而连接情况是由三个不同的坐标表示的。
换言之，空间向量就是描述空间中一个点到另一个点的方向及距离，作为一种数学实体而存在的。
2、空间向量可以用一个有向箭头来表示，并用数学记号标注出来。
通常来说，它的数学记号是表示坐标系中的另一个点在第一个点的坐标上的偏移量，如a→b表示b点在a点上的偏移量。
3、空间向量形式可以表示一条从原点到某个点的路径，通过它可以确定在x、y和z轴上的平移量，即偏移量，从而避免了我们有时在空间中运行物体时会误解运动方向的困难。
从更宏观的角度来说，空间向量可以用来表示以位置、速度和加速度等。
二、立体几何公式1、立体几何是几何学分支之一，它学习的内容是空间中的点、线、面和体的特性、关系及其变化规律，其中关于立体图形的内容被称为立体几何。
立体几何的定义是关于空间中的点、线、面和体的研究，以及它们之间的关系，其中主要考虑的就是位置、形状、大小以及一般的空间概念。
2、立体几何公式包括：立体几何定义、立体几何变换、立体几何性质、其他立体几何相关概念以及三角几何相关公式。
例如，立体几何定义涉及的公式有：空间中的点的位置关系（a-b=c），线的距离关系（L=1/2×Z1×Z2），面的面积关系（S=1/2×Z1×Z2×cosX），以及球体表面积（S=4×π×R2）等公式。
3、另外，立体几何公式还包括三角几何公式，它主要涉及到角度、正弦、余弦、正切、反正切等相关公式。
这些公式用来解决各种形状三角形以及其他更复杂的立体图形以及相关空间距离关系的问题。
高中数学公式大全立体几何与空间向量
高中数学公式大全立体几何与空间向量高中数学公式大全：立体几何与空间向量一、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中的几何图形及其性质的分支，对于高中生来说，常见的立体几何包括了体积、表面积等方面的内容。
下面是一些常用的立体几何公式：1. 立方体体积公式立方体是一种边长相等的六个正方形围成的立体。
其体积公式为：V = 边长³。
2. 正方体体积公式正方体是一种六个面都是正方形的立体。
其体积公式为：V = 底面积 ×高。
3. 长方体体积公式长方体是一种六个面都是矩形的立体。
其体积公式为：V = 长 ×宽×高。
4. 圆柱体积公式圆柱体是一种底面为圆形的立体。
其体积公式为：V = π × 半径² ×高。
5. 圆锥体积公式圆锥体是一种底面为圆形，顶点和底面中心连线垂直于底面的立体。
其体积公式为：V = 1/3 × π × 半径² ×高。
6. 球体积公式球体是一种所有点到球心的距离都相等的立体。
其体积公式为：V= 4/3 × π × 半径³。
7. 棱柱表面积公式棱柱是一种顶面和底面是平行的多边形，侧面是平行四边形的立体。
其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。
8. 棱锥表面积公式棱锥是一种底面为多边形，侧面是由底面上的点和顶点连线形成的三角形的立体。
其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。
二、空间向量空间向量是指具有大小和方向的箭头，可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
在高中数学中，空间向量常用于解决线性相关、平面垂直、平面平行等问题。
下面是一些常用的空间向量公式：1. 两点之间的距离公式设空间中的两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则两点之间的距离公式为：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
⾼中数学知识点总结⼤全空间向量与⽴体⼏何⾼中数学知识点总结空间向量与⽴体⼏何⼀、考点概要：1、空间向量及其运算（1）空间向量的基本知识：①定义：空间向量的定义和平⾯向量⼀样，那些具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量，并且仍⽤有向线段表⽰空间向量，且⽅向相同、长度相等的有向线段表⽰相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共⾯，那么对于空间任⼀向量，存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的⼀个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间⼀个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当⼀个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常⽤表⽰。
ⅳ空间四点共⾯：设O、A、B、C是不共⾯的四点，则对空间中任意⼀点P，都存在唯⼀的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量（平⾏向量）：ⅰ定义：如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平⾏的充要条件是：存在实数λ，使。
④共⾯向量：ⅰ定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量；空间的任意两个向量都是共⾯向量。
ⅱ向量与平⾯平⾏：如果直线OA平⾏于平⾯或在α内，则说向量平⾏于平⾯α，记作。
平⾏于同⼀平⾯的向量，也是共⾯向量。
ⅲ共⾯向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共⾯的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共⾯的条件：当、、都是⾮零向量时，共⾯向量定理实际上也是、、所在的三条直线共⾯的充要条件，但⽤于判定时，还需要证明其中⼀条直线上有⼀点在另两条直线所确定的平⾯内。
ⅴ共⾯向量定理的推论：空间⼀点P在平⾯MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意⼀定点O，有。
⑤空间两向量的夹⾓：已知两个⾮零向量、，在空间任取⼀点O，作，（两个向量的起点⼀定要相同），则叫做向量与的夹⾓，记作，且。
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量是数学中的两个重要分支，它们都涉及到三维空间的计算和处理。
下面是它们的知识梳理：
一、立体几何
1. 立体几何基本概念：点、线、面、立体、平行、垂直、角度、投影等。
2. 立体图形的性质：体积、表面积、对称性、切割等。
3. 立体几何基本公式：立方体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积公式。
4. 立体几何运用：解决物体体积和表面积的计算问题，如容器的容积、房间的面积等。
二、空间向量
1. 空间向量定义及表示：三维空间中的有向线段，可以用起点坐标和终点坐标表示。
2. 空间向量的运算：加、减、数乘、点乘、叉乘等。
3. 空间向量的性质：模长、模长计算公式、向量方向，空间向量的平行性、垂直性等。
4. 空间向量的应用：用向量来表示物理量，如力、速度、加速
度等。
总结
立体几何和空间向量是数学中两个重要的分支，它们在三维空间中进行计算和处理。
在应用方面，立体几何可以解决物体的体积和表面积计算问题，而空间向量则可以用来表示和处理物理量。
在学习过程中，要注意掌握基本概念和公式，熟练掌握基本运算和性质，逐渐深入到应用层面。
高中数学空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
立体几何和空间向量综合知识点(高中数学)
立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。
2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。
3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。
（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。
（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。
《空间向量与立体几何》章末复习
[例 3] 已知空间四边形 OABC，M段 MN 上，且MGNG＝2，设O→G＝
xO→A＋yO→B＋zO→C，则 x、y、z 的值分别是
()
A．x＝13，y＝13，z＝13
B．x＝13，y＝13，z＝16
C．x＝13，y＝16，z＝13
D．x＝16，y＝13，z＝13
从而F→E＝(－a3，b3，3c)，A→C1＝(－a，b，c)， ∴F→E＝13A→C1. 又 FE 与 AC1 不共线，所以直线 EF∥AC1.
(2)∵D1(0,0，c)，B1(a，b，c)，A1(a,0，c)，B(a，b,0)， ∴D→1B1＝(a，b,0)，A→1B＝(0，b，－c)． ∵EF 是两异面直线 B1D1，A1B 的公垂线， ∴FF→ →EE··DA→→11BB＝1＝00，，
2 a·2 a
因此，二面角
M－BN－C
的大小为
π－arccos
3 3.
[例7] 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA ＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的大小； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系． (1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)， B1(2,3,2)，E(1,3,0)
∴E→F与D→B成的角为3π ∴EF 与平面 ACC1A1 所成的角为6π.
[例6] 如图所示，已知ABCD是正方形，过A作AP⊥平 面ABCD，，且AP＝AB＝a，M，N分别为BP、AC的中点．
(1)求证MN⊥CD； (2)求二面角M－BN－C的大小．
[解析] (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(a,0,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，C(a，a,0)， M(a2，0，a2)，N(a2，a2，0)
高中数学必修2--空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
第一章 空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。
空间向量与立体几何公式大全
以下是部分空间向量与立体几何的公式：1. 向量的模：向量的长，可参考点点距离求模。
2. 向量的加法：三角形法则或平行四边形法则。
3. 向量的减法：三角形法则。
4. 向量的数乘：m*(x,y,z)=(mx,my,mz)。
5. 向量的积：向量m*向量n=m模*n模*cos<m,n>。
6. 向量的数乘：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) λa=(λx1，λy1，λz1) a·b=x1x2+y1y2+z1z2 a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2 a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0。
7. 法向量与方向向量解答如下关系：线线平行：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m=y*n；线面平行：法向量与方向向量垂直；面面平行：法向量平行；线线垂直：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m*n=0；线面垂直：法向量与方向向量平行；面面垂直：法向量垂直；线线夹角：方向向量乘积公式求角；线面夹角：方向向量与法向量乘积公式求角；面面夹角：法向量乘积求角。
8. 点点距离：向量模长公式；点面距离：设点为o，取平面内点p，向量op*法向量n；线线距离：直线a，b，E、F为线a，b上点；直线ab距离d为=向量EF*公垂线方向向量n/向量n模；直线方向向量求法：(1)直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为=(-b,a)或(b,-a)。
(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为=(1,k)。
(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB所在直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)。
9. 法向量求法：法向量(a,b,c)与面内向量乘积为零，带入求解方程。
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2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件新人教A版选择性必修第一册
组向量是
()
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，2a＋b}
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行或重合，
故①错；两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内， 故②错；三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥 P－ABC 中，P→A，P→B，P→C两两共面，但它们不是共面向量，故③错；根据空间向
三个向量有什么条件？ 【答案】提示：三个向量不共面．
空间向量的正交分解
1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量__两__两__垂__直__，且长度为1，那
么这个基底叫做__单__位__正__交__基__底__，常用{i，j，k}表示．
2 ． 对 空 间 中 的 任 意 向 量 a ， 均 可 以 分 解 为 xi ， yj ， zk ， 使 a ＝ ____x_i＋__y_j_＋__zk___把空间向量分解为三个__两__两__垂__直__的向量，叫做把空间 向量进行正交分解．
(2)当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． (3)由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以作为基 底．
2．以下四个命题中正确的是
()
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构
成空间向量的另一组基＝2，BC＝2，AA1＝6，且记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝ c．
(1)用 a，b，c 表示B→D1，B→1C； (2)求异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值．
解：(1)B→D1＝B→A＋A→D＋D→D1＝－a＋b＋c， B→1C＝B→1B＋B→C＝－c＋b． (2)∵a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝4，|b|2＝4，|c|2＝36， ∴B→D1·B→1C＝－32，|B→D1|＝2 11，|B→1C|＝2 10， cos〈B→D1，B→1C〉＝－8111010＝－4 51510． ∴异面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值为4 51510．
数学人教A版-选择性必修第一册-考前必背
考前必背第一章空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.二、空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b32.空间向量常用结论的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).结论坐标表示共线a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0向量长度|a|=√a·a=√a12+a22+a32向量夹角公式cos<a,b>=a·b|a||b|=112233√a12+a22+a32·√b12+b22+b323.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l,m 的方向向量分别为μ,v,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R 线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v=0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0线线夹角l,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u)u,点P 到直线l 的距离PQ=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2.3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=y 2-y 1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率若直线l 的斜率为k,则直线l 的一个方向向量为(1,k)4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2.位置关系 判定 特例 平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行 垂直 l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1 一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围: 名称 几何条件 方程 适用条件斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y-y 0=k(x-x 0)两点式过两点y-y 1y 2-y 1=x-x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式横、纵截距x a +y b=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解. 位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合 方程组有无数个解 2.距离公式 距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l:Ax+By+C=0d=00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax+By+C 1=0,l 2:Ax+By+C 2=0d=12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合圆的 标准式 (x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)圆心坐标:(a,b) 半径为r方程一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圆心坐标:(-D2,-E2)半径r=12√D2+E2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断;(2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断.位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d=rΔ=0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离d>r1+r2无解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解第三章圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数轨迹类型a>c点M的轨迹为椭圆a=c点M的轨迹为线段a<c点M不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b 对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长;短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长焦距|F1F2|=2c离心率e=ca,e∈(0,1),其中c=√a2-b2a,b,c的关系a2=b2+c2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0轨迹类型a<c点M的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a=c点M的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a>c点M不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±ba x y=±ab x离心率e=ca,e∈(1,+∞),其中c=√a2+b2轴实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长;虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线符号语言集合P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)特例当F∈l时,动点M的轨迹是过F点垂直于l的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点F(p2,0)F(-p2,0)F(0,p2)F(0,-p2)离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向向右向左向上向下四、直线与圆锥曲线的位置关系的判断联立直线l与圆锥曲线C的方程,消去x(或y),得ay2+by+c=0(或ax2+bx+c=0),设其判别式为Δ,则有:(1)若a=0,则当b=0时,l与C相离(无交点);当b≠0时,l与C相交(1个交点).(2)若a≠0,则当Δ>0时,l与C相交(2个交点);当Δ=0时,l与C相切(1个交点);当Δ<0时,l与C相离(无交点).五、圆锥曲线的弦长公式当直线斜率存在时,不妨设直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则可得弦长公式:|y1-|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2或|AB|=√1+1k2·√(y1+y2)2-4y1y2(k≠0);y2|=√1+1k2当直线斜率不存在时,|AB|=|y2-y1|.。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
高中数学常用公式及结论（立体几何总结）
最新高中数学常用公式及结论（立体几何总结）-线线平行的判断：①如果一条直线和f平面平行，经过这条直线的平面和这个平相交，那么这条直线和交线平行。
直线和交线平行图②如果两个平行平同时和第三个平相交，那么它们的交线平行。
A交线平行图直线平行图二，线线垂直的判断:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射①影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直,②那么它和这条斜线的射影垂直。
线线垂直图③若一直线垂直m,这条直线垂直于平内所有直平线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平彳亍线中的另一条。
三.线面平行的判断:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么①这条直线和这个平面平行。
②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平,面面平行的判断:①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
五,线面垂直的判断:①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另f平面。
④如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
六,面面垂直的判断:f平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
七,空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）①异面直线所成的角:通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异面直线所成角的范围：0。
V a< 90。
;注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体，补成一底面是正方形的长方体。
②线面所成的角：斜线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。
高中数学立体几何向量公式
高中数学立体几何向量公式立体几何是数学中研究三维空间中图形和对象特性的一个分支。
而向量是立体几何中非常重要的一部分，可以用来描述空间中的位置、方向和大小等。
在高中数学中，常常使用向量来解决立体几何问题。
下面将介绍一些高中数学中常用的立体几何向量公式。
1.向量的模和坐标向量的模表示向量的长度，也称为向量的大小。
记向量AB为→AB，则向量的模记作，→AB，表示向量AB的长度。
向量的模具有非负性、同一性和三角不等式等性质。
向量的坐标表示向量在一些坐标系中的位置。
以三维坐标系为例，向量→AB的坐标记作(AB)=(x1,y1,z1)-(x0,y0,z0)，其中(x0,y0,z0)为向量起点A的坐标，(x1,y1,z1)为向量终点B的坐标。
2.向量的加法向量的加法表示将两个向量按照一定规则进行相加得到一个新的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的和记作→AB+→CD。
3.向量的减法向量的减法表示将两个向量按照一定规则进行相减得到一个新的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的差记作→AB-→CD。
向量的减法可以等价于向量的加法。
4.向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示两个向量的乘积的数量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的数量积记作→AB·→CD，满足以下计算公式：→AB · →CD = ，→AB，× ，→CD，× cosθ其中，θ为→AB和→CD之间的夹角。
从公式可以看出，数量积是一个标量，它表示的是两个向量之间的相似程度。
5.向量的向量积向量的向量积又称为叉积，表示两个向量的乘积的向量。
设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的向量积记作→AB×→CD，满足以下计算公式：→AB × →CD = ，→AB，× ，→CD，× sinθ × →n其中，θ为→AB和→CD之间的夹角，→n为单位向量，垂直于平面ABCD的法向量。
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立体几何与空间向量
求角：
（1）异面直线所成的角：
可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>r r
=||
||||
a b a b ⋅=
⋅r r r r （其中θ（090θ<≤o
o
）为异面直线a b ,所成角，,a b r r
分别表示异面直线a b ,的方向向量）。
（2）直线与平面所成的角：
在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角
sin ||||
AB m AB m β⋅=
(m
为平面α的法向量).
（3）二面角：
方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：夹角公式
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
cos 〈a ，b 〉
.
推论 2222222
112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. （m ，n
为平面α，β 的法向量）.
求空间距离：
（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；
（2）两条异面直线的距离：||||
AB n d n ⋅= （n
同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： ||||AB n d n ⋅= （n
为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。
△空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O ，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB 表示向量}。