理论力学《点的合成运动》答案

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动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
→ → →
B v v r = 1m / s θ
N
v e = 0.5m / s C
1000 m
A
v = ve + v r
1
v = ve2 + v r2 = 0.5 2 + 12 = 1.118(m / s ) θ = arctan AC = vr 1 = arctan = 63.435 0 ve 0.5
va = ve + vr v a = rω v BC va = 0 0 sin(180 − 120 − 90 + ϕ ) sin 120 0
0
vBC rϕ = 0 sin(ϕ − 30 ) sin 1200
v BC
sin( ϕ − 30 0 ) = ⋅ rω sin 120 0 1 sin( 0 − 30 ) 3 | ϕ =0 = ⋅ rω = 2 rω = − rω 0 sin 120 3 3 2
→ → →
va = ve + vr v A = v tan α
因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为：
vr
va = v A
α
ve = v
vB = v A = v tan α
[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长 OA = r 的曲柄，以匀角速度 ω 绕Ｏ轴转动。装在水平杆 ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成 60 角。求当曲柄与水平线的夹角 ϕ 分别为 0 、 30 、 60 时， 杆ＢＣ的速度。 解： 动点：Ａ。
n r
[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ １Ａ＝Ｏ ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ １Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角 速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件 都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。 解： 动点：Ｃ。 动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。 牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。
60 0
30 0
15 0 60 0
30 0 15 0
4
4
va
vr va vr
[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成 α 角。杆ＡＢ的Ａ端搁 置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度 v 向右运动，求活塞Ｂ 的速度。 解： 动点：Ａ。 动系：固连于凸轮上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。 相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。 牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
→ → →
v1
60 0
250 mm
v2
ve = 1m / s
θ
120 0
v = ve + v r
v = 12 + 2 2 − 2 × 1× 2 cos1200 = 2.65(m / s) v
vr = 2m / s
2
1 2.65 = 0 sin(60 − θ ) sin 1200
60 0 − θ = arcsin sin 120 0 = 19.07 0 2.65
→ → → → →
aa
y x
300 600 300
a a = a e + a r = ae + a rn + a τ r
上式在 x 轴上的投影为：
aτ r
a a cos 60 0 = ae cos 30 0 − a rn
arn
B
ae
7
2 vr a a = 3ae − 2a = 3ae − 2 ⋅ r 2 (1200) a a = 1.732 × 800 − 2 × = −8214.4( mm / s 2 ) ，负号表示方向向下。 300
.第七章
点的合成运动习题解
[习题7-1] 汽车A以 v1 = 40km / h 沿直线道路行驶， 汽车B以 v 2 = 40 2km / h 沿另一叉道行驶。 求在B车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A车。 动系：固连于B车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A相对于地面的运动。 相对运动：动点A相对于B车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。 ve = v 2 。由速度合成定理得：
1000 1000 = = 500( m ) ，即，船将在北岸下流５００m处靠岸。如图所示，Ａ为出 tan θ 2
发点，Ｂ为靠岸点。 渡河所花的时间： t1 = （２）
1000m = 1000( s ) = 16分 40秒 1m / s
α = arcsin
ve 0.5 = arcsin = 30 0 vr 1
→ → →
２
va
vr
300 900
B
ve
va = ve + vr
凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。
ve = v A
vBC = v B = va = ve cot 300 = v A cot 300 = 600 3 = 1039.23(mm / s)
vr =
→
ve = 2v e = 2 × 600 = 1200( mm / s ) sin 30 0
→ → →
v = v1
45 0
vr = v AB
ve = v 2
45 0
v = ve + v r 。用作图法求得： v r = v AB = 40km / h
（↑）
故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为 v r = v AB = 40km / h ，方向如图所示。 [习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m，流速为0.5m/s，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船 相对于水流的划速为1m/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间 需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解： （１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的 v 。 相对速度： v r = 1m / s ，方向如图所示。 牵连速度： ve = 0.5m / s ，方向如图所示。 由速度合成定理得：
6
绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于 O1 D 杆的速度。 牵连速度： O1 D 杆相对于地面的速度。
→ → →
ve
900
va
30 0
B
va = ve + vr
1 ve = O1 B ⋅ ω O1D = 4l × ω 0 = lω 0 4
vr
va =
ve lω 0 = = 1.155lω 0 0 cos 30 0.866
→ → →
v a = ve + vr
v r = 2 2 + 4 2 − 2 × 2 × 4 cos 75 0 = 3.98(m / s )
3
当 v r ⊥ v B 时，传送带Ｂ的速度为：
v B = v a sin 15 0 = 4 sin 15 0 = 1.04(m / s ) ve
ve
15 0
2
→ → →
va = ve + vr ve = v a sin 30 0 =
1 lω 0 2 1 = lω0 2
ve va
30
0
ve = O1 A ⋅ ωO1D
2l ⋅ ω O1D =
900
1 lω 0 2
vr
A
1 ω O1D = ω 0 4
动点：Ｂ。 动系：固连于 O1 D 杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。
v a = v AB = rω1 = 0.2 / 0.75 ω1 = 0.267 / r1 =
0.2 / 0.75 = 5.33( rad / s ) 0.05