高数一第一章复习题

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高等数学第一章总习题及答案

7. 已知 lim
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 求 lim f ( x) . x →0 x 2 2x − 1
解
因为 lim(2 − 1) = 0 , lim
x →0
x
ln(1 +
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 故必有 lim ln(1 + f ( x) ) = 0 , x →0 sin x 2x − 1
2
2
x
1 1 . = ( )2 = 2 2
1
(4) (5) (6)
lim
x →0
1 x sin x 1 = lim 2 2 = . x →0 2 x
1
x
lim(1 + 3tan 2 x)cot
x →0
= [lim(1 + 3tan 2 x) 3tan x ]3 = e3 .
2
x →0
设 k 为任一个大于 2c 的自然数, 则当 n > k 时,
0 < x ≤ e, 在 x = e 处, lim+ f ( x) = ln e = 1 , lim− f ( x) = 1 , x →e x →e x > e,
故 f ( x) 在 x = e 处连续, 故函数连续区间为 (0, + ∞) .
9.
⎧ cos x , x ≥ 0, ⎪ ⎪x + 2 设 f ( x) = ⎨ 要使 f ( x) 在 (−∞, + ∞) 内连续, 应如何选择 ⎪ a − a − x , x < 0, ⎪ x ⎩
n →∞ n →∞
(B) 无界数列必定发散; (D) 单调数列必有极限.
yn . xn

高等数学第一章课后习题答案(带解析)

第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。

高数上复习题1-6章

高数上第一章复习题1. 计算下列极限: (1)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→;(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;(3))1311(lim 31x x x ---→;(4)xx x 1sin lim 20→;(5)xx x arctan lim ∞→.(6)145lim1---→x x x x ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.(8)xx x sin ln lim 0→;(9)2)11(lim xx x +∞→;(10))1(lim 2x x x x -++∞→;(11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(12)30sin tan lim xx x x -→;2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？4. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .5. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) .第二章复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);(2) y =sin 2x ;(3)22x a y -=;(4)xx y ln 1ln 1+-=; (5)xx y 2sin =; (6)x y arcsin=; (7))ln(22x a x y ++=;(8)x x y +-=11arcsin.(9)x x y -+=11arctan ;(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(11))1ln(2x x e e y ++=;2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =(sinx)^n(2) y =x e x .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxy d.4.求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d :5. 求下列函数的微分:(1)21arcsin x y -=;(3) y =tan 2(1+2x 2);(3)2211arctan xxy +-=;6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.第三章复习题1.设F(x)=(x-1) 2f(x),其中f(x)在[1,2]上具有二阶导数且f(2)=2,证明:至少存在一点ξ∈(1,2),使得F ”(ξ)=0.2.设b>a>0,证明：(b-a)/(1+b 2) <arctan b –arctan a<(b-a)/(1+a 2).3. 用洛必达法则求下列极限: (1)x e e x x x sin lim 0-→-;(2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;(3)x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→;4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;5.判定曲线y=x arctan x的凹凸性:6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1)y=xe-x (2) y=ln(x2+1);7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.第四、五、六章复习题1. 求下列不定积分:(1)⎰dx e x x 3;(2)⎰+++dx x x x 1133224;(3)⎰dt t t sin;(4)⎰-+dx e e x x 1;(5)⎰--dx x x 2491;(6)⎰-+dx x x )2)(1(1;.(8)⎰-dx x x 92;(9) ⎰-xdx e x cos ;(10)⎰dx x 2)(arcsin ;(11)⎰xdx e x 2sin .(12)dx x x )1(12+⎰;2. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.3. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; (2)dx x ⎰-2022;4. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.5.计算曲线y=sin x(0≤x≤π)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积..。

考研高数第一章试题及答案

考研高数第一章试题及答案# 考研高数第一章试题及答案## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则L的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在x=2处的切线斜率是（）A. -4B. -3C. 0D. 54. 已知\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3 dx \)的值为（）A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是（）A. \( (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)## 二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( f(x) = 2x - 3 \)，则\( f'(2) = _______ \)。

7. 函数\( g(x) = \sqrt{x} \)的导数是\( g'(x) = _______ \)。

8. 极限\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)的值是 _______。

9. 函数\( h(x) = e^x \)的原函数是 _______。

10. 定积分\( \int_1^2 2x dx \)的值是 _______。

## 三、解答题（每题30分，共60分）11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的导数，并求在x=2时的导数值。

高等数学I(1)复习题

一、填空题1．函数)(x f 在点0x 处极限)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在点0x 处连续的_____条件.2．)(x f 在点0x 处连续是函数)(x f 在点0x 处可导的______条件. 3．)(x f 在点0x 处可导是函数)(x f 在点0x 处连续的______条件.4．x ＝3是函数22)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.5．x ＝3是函数2)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点. 6．x ＝2是函数)2()2tan()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.二计算下列极限 1．30sin sin tan limx x x x -→. 2．20)1(sin tan lim --→x x e x x x . 3．)1ln(sin tan lim 20x x xx x +-→. 4．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→5．232)11(lim n n n +∞→ 6．nn n 3)111(lim ++∞→ 7．n n n 5)11(lim +∞→ 8．242)11(lim n n n -∞→ 9．13)111(lim -∞→--n n n 10．23)11(lim -∞→-n n n第二章练习题1．7sec sin ln 2-+=x x x x y ，求y ' 2．⎰++=21cos ln sin xdx x x x x y 求y '.3．方程y xe y=+1确定函数)(x y y =，求=x dxdy.4．方程0sin cos 52=-++y y y x 确定函数)(x y y =，求dx dy .5．方程0sin 21=+-y y xe y确定函数)(x y y =，求dy dx dy 及.一、利用罗比达法则求极限 1．30sin limx x x x -→ 2．30sin tan limx xx x -→3．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→ 4．20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→5．)3ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 6．)3ln()1ln(lim 7x x x +++∞→二、求函数251 +=-xy 的凹凸区间和拐点。

高数第一章复习资料

⾼数第⼀章复习资料第⼀章预备知识⼀、定义域1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。

答案：(0,1)2. 求32233()6x x x f x x x +--=+- 的连续区间。

提⽰：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。

答案：()()(),33,22,-∞--+∞⼆、判断两个函数是否相同？1. 2()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表⽰同⼀函数？答案：否2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同()2ln 1(1) (),()11(2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性1. 判断()2x xe ef x --= 的奇偶性。

答案：奇函数四、有界性, 0?∈?>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。

有界函数既有上界，⼜有下界。

1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界？答案：⽆界2. 221x y x=+ 是否有界？答案：有界，因为2211<+x x 五、周期性1. 下列哪个不是周期函数（C ）。

A ．sin , 0y x λλ=>B ．2y =C ．tan y x x =D ．sin cos y x x =+注意：=y C 是周期函数，但它没有最⼩正周期。

六、复合函数1. 已知[]()f例：已知10)f x x x ??=+>，求()f x 解1：(11111()1f x x xf x x=+= ? ????=+ 解2：令1y x = ，1x y =，1()f y y =+，(11()1f x x x =+= 2. 设2211f x x x x ?+=+，求()f x 提⽰：222112x x x x ??+=+-3. 设(sin )cos 21f x x =+ ，求(cos )f x 提⽰：先求出()f x4. 设22(sin )cos2tan f x x x =+ ，求()f x 提⽰：2222sin (sin )12sin 1sin xf x x x=-+- 七、函数图形熟记arcsin ,arccos ,arctan ,cot ====y x y x y x y arc x 的函数图形。

高等数学第一章函数部分的知识点及例题

−
2 −1
（6）lim 2
→1 2 −−1
3
2 +1
− 1 > 0
（8） = ቐ 2 +2+1
3 +1
1
→∞ 2
（9） lim
+
2
2
≤0
+⋯

2
，求在0处的极限
五、两个重要极限
sin
lim
→0
一般形式：当 →
=1
sin
0时

，求k=
−3
→3
2 +1
（6） lim
→∞ +1
− + = 0，求a，b。
七、无穷小的比较
设和都是同一过程的无穷小

→0
= 0，则是的高阶无穷小 = 0
若 lim

→0
= ≠ 0，则是的同阶无穷小

若 lim
→0
= 1，则是的等价无穷小~
重点：利用函数连续性求极限
若（）为初等函数且在有定义
则 lim = 0
→0
若（）是连续的
则 lim
→0
= lim
→0
例题、求下列函数的极限
（1）lim ln
x→0
（4）
sin x
x
2x+3 x+1
lim
x→∞ 2x+1
（2）x→0
lim 1 + 2x
结论：
除0以外，无穷小于无穷大互为导数
无穷小与常数的乘积为无穷小
无穷小与有界函数的乘积为无穷小
例题、求下列函数的极限

高数第一章复习题和答案

高数第一章复习题和答案1. 极限的概念和性质- 极限的定义是什么？答案：极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某个确定的数值。

- 极限的性质有哪些？答案：极限的性质包括极限的非负性、极限的乘法法则、极限的加法法则等。

2. 无穷小与无穷大- 无穷小的定义是什么？答案：无穷小是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于0。

- 无穷大的定义是什么？答案：无穷大是指当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于正无穷或负无穷。

3. 极限的运算法则- 极限的加法法则如何表述？答案：如果极限存在，那么两个函数的和的极限等于它们极限的和。

- 极限的乘法法则如何表述？答案：如果极限存在，那么两个函数的积的极限等于它们极限的积。

4. 极限的计算方法- 极限的夹逼定理是什么？答案：如果对于任意的x，都有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，并且lim(x->a) f(x) = lim(x->a) h(x) = L，那么lim(x->a) g(x) = L。

- 极限的洛必达法则是什么？答案：如果两个函数的比值的极限形式为0/0或∞/∞，那么可以通过对分子和分母分别求导，再求极限来计算。

5. 连续性的概念- 连续性的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限存在且等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。

- 连续函数的性质有哪些？答案：连续函数的性质包括连续函数的和、差、积、商（分母不为0）都是连续的。

6. 连续函数的运算- 连续函数的和如何计算？答案：连续函数的和等于它们各自极限的和。

- 连续函数的积如何计算？答案：连续函数的积等于它们各自极限的积。

7. 间断点的分类- 可去间断点的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限存在，但不等于该点的函数值，那么该点称为可去间断点。

- 无穷间断点的定义是什么？答案：如果函数在某点的极限为无穷大，那么该点称为无穷间断点。

8. 连续函数的介值定理- 介值定理的内容是什么？答案：如果函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a) ≠ f(b)，那么对于任意的y在f(a)和f(b)之间，都存在一个c属于(a, b)，使得f(c) = y。

高等数学习题(第一章)

第一章函数与极限第一节映射与函数习题1.11.设),4()6,( A ，)4,9[ B ，写出B A ，B A ，B A \，)\(\B A A 。

2.设A 、B 、C 是任意三个集合，证明对偶律：cc c B A B A )(。

3.求下列函数的自然定义域：（1）x y cos；（2）)1tan(x y ；（3）)2arcsin( x y ；（4）xx y 1arctan5 ；4.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）)(x f =2lg x ，)(x g =x lg 2；（2）)(x f =334x x ，)(x g =x x x 1 ；5.设3,03,sin )( x x x x ，求6( ，4( ，)4( ，)2( ，并作出函数)(x y 的图形.6.试证下列函数在指定区间内的单调性：（1）xxy1，)1,( ；（2）x x y ln ，),0( 7.设)(x f 为定义在),(l l 内的奇函数，若)(x f 在),0(l 内单调增加，证明)(x f 在)0,(l 内也单调增加。

8.设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

9.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？（1）)1(24x x y ；（2）323x x y ；（3）)1ln(2 x x y .10.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2sin( x y ；（2）x y 4sin ；（3）x y 2cos .11.求下列函数的反函数：（1）y 35 x ；（2）xxy22；（3）)3ln(1 x y .12.设函数)(x f 在数集X 上有定义，试证：函数)(x f 在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界。

高数(一)试题(1)参考答案

高等数学（一）（第一章和第二章练习题）参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ） A.x 2+2x B.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x解：设：1cos x t -= c o s1x t ∴=+ ()()()21c o s 1c o s 1c o s 1c o s f x x x x -=-=+- ()()2112ft t t t t ∴=++=+ ()22f x x x =+ 2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ） A.2x 2B.x2xC.x 2xD.22x解：()2f t t = ()()22[()]222xx xf x f ϕ===3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)解：110x -> 10x x-> 01x ∴<< ()0,1x ∴∈ 4．设f(x)=⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,x ，则f(x)在点x=0处（ D ）A ．无定义B ．无极限C ．不连续D ．连续解：()00f = ()0lim lim 0x x f x x --→→== ()0lim lim 0x x f x ++→→==()0l i m 0x f x →∴= ()()0l i m 0x fx f →= 0x ∴=处连续5.函数2x x y -=的定义域是（ D ） A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]解：20x x -≥ ()10x x ∴-≥ []0,1x ∴∈ 6.∑∞==1n n)23ln (（） A.23ln 3ln - B. 3ln 23ln - C. 3ln 21-D. 3ln 2)3(ln n-解：此为等比级数，1ln 32a =ln 32q =11l n 3l n 3l n 32()212ln 312n n a q ∞====---∑ 7.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（ A ）A.x211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 解：设1t x= 1x t ∴= ()11111t f t t t∴==-- ()1212f x x ∴=-8.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（） A.x+3 B.x-3 C.2xD.-2x解：()()12;12f a b f a b -=-+==+=- 2;0a b ∴=-= ()2f x x∴=- 9.lim()1xx x x →∞=+（ B ） A.eB.e -1C.∞D.1解：111lim()lim 111xxx x x e x e x -→∞→∞⎛⎫ ⎪=== ⎪+ ⎪+⎝⎭ 10.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（ D ）A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,3解：()()30210x x x -≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩3x ∴≥ [)3,x ∴∈+∞11.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 ，　，在x=-1连续,则a=（ D ）A.1B.-1C.2D.0解：1x =- 处连续， ()()11lim x f f x →-∴-=()()()()()211112122ln 11lim 1ln 1limlim2lim 101111x x x x x x a x x x x x →-→-→-→-⋅++∴=++===-+=-++12.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ） A.x 2-6x+5 B.x 2-5x+6 C.x 2-5x+2 D.x 2-x 解：设1x t += 1x t =- ()()()22131256f t t t t t =---+=-+ ()256f x x x =-+13．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（） A ．[a,3a] B ．[a,2a] C ．[-a,4a]D ．[0,2a]解：0303x a a x a a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 324a x aa x a-≤≤⎧∴⎨≤≤⎩ 2a x a ≤≤ [],2x a a ∴∈14．=→xsin x 1sinx lim20x （ D ）A ．1B ．∞C ．不存在D ．0解：0,sin x x x →∴ 原式= 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==15．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ） A ．|x|≤1 B ．|x|<1 C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<1解：2010x >-≥⎪⎩ 011x x ≠⎧∴⎨-≤≤⎩ 01x ∴<≤16．0x lim →x 2sin2x1=（ A ）A ．0B ．1C ．-1D ．不存在解：0x lim →x 2sin 2x 1=017.函数y=1-cosx 的值域是（ C ） A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]D.(-∞,+∞)解：cos 1,110x y ==-=；()cos 1,112x y =-=--= 02y ≤≤ []0,2y ∴∈ 18.设2a 0π<<，则=→x x sin lim a x （ D ）A.0B.1C.不存在D.aasin 解：=→x x sin lima x sin aa19.下列各式中，正确的是（ D ）A.e )x 11(lim x 0x =++→B.e )x 1(lim x 10x =-→ C.e )x11(lim x x -=-∞→D.1x x e )x11(lim -∞→=-解：()1111lim(1)lim 1x x x x e x x -⋅--→∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ） A ．x(x-1) B ．x(x+1) C ．(x-1)2-(x-1) D ．(x+1)(x-2)解：设1x t -= 1x t =+ ()()()()22111f t t t tt t t ∴=+-+=+=+()()1fx x x =+21．设f(x)=ln4,则0x lim →∆=∆-∆+x)x (f )x x (f （ C ）A ．4B ．41C ．0D ．∞解：0x lim→∆=∆-∆+x )x (f )x x (f 0ln 4ln 4lim0x x∆→-=∆ 22.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ） A.[0，2] B.[0，16] C.[-16，16]D.[-2，2]解：204x ≤≤ 24x ≤ 22x -≤≤ []2,2x ∴∈-23.xx x 1lim→=（ C ）A.0B.1C.-1D.不存在解：11limlim 1x x x xx x→→== 24.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ） A.t 2+1 B.t 4+2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2解：()21f x x =+ ()()2224211122ft t t t ∴+=++=++25.数列0，31，42，53，64，…的极限是（） A.0 B.n2n - C.1 D.不存在解：11n n x n -=+ 111l i m l i m l i m1111n n n n n n x n n→∞→∞→∞--∴===++ 26．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x解；设1x t -= 1x t =+ ()()3321133f x t t t t ∴=+-=++()3233f x x x x ∴=++ 27．下列极限存在的是（ D ） A ．11lim-→xx eB ．xx e 1lim → C ．x x sin lim ∞→D ．221limx x x -∞→解：2221limlim 1111x x x x x →∞→∞==--- 28.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞)解：()0,ln1x f x ==；()1,ln 25x f x ==； ()ln1ln 2f x ≤≤ 29.设函数g (x)在x = a 连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f (a) =（ D ） A.０ B.g '(a) C.f (a)D.g (a)解：()()()()()()()()f x x a g x x a g x g x x a g x ''''=-+-=+- ()()()()()f ag a a a g a g a''=+-= 30．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x xx x f ,则x =0是f (x )的（ A ） A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．连续点解：()00f =()000111lim 2x x x x f x →→→→====()()0l i m 0x fx f →≠ 但极限存在，此为可去间断点31.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ） A.(-1,1) B.[-1,1] C.[-1,0] D.[0,1]解：1211x -≤-≤ 022x ∴≤≤ 01x ≤≤ []0,1x ∴∈ 32.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B )A.(a a 2,1)B.（a a 1,2) C.(a ，2a)D.(a a,2]解：12ax << 0a < 12x a a ∴>> 21,x a a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭33．函数f (x )=2211⎪⎭⎫⎝⎛--x 的定义域为（ B ）A ．[]1,1-B ．[]3,1-C ．(-1,1)D ．(-1,3)解：21102x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 2112x -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭1112x --≤≤ 212x -≤-≤ 13x -≤≤ []1,3x ∴∈-34．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：()0f k = ()00sin 2lim lim2x x xf x x→→== 0x = 处连续()()00lim x f f x →∴= 2k ∴=35.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数解：1sin 1x -≤≤ 12s i n 3x ∴≤+≤ 22212s i n 303111x x x x +∴≤≤≤≤+++ 36．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ） A ．(-1,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(0,1)解：010x x >⎧⎨->⎩ 1x ∴> ()1,x ∈+∞37．极限=→xxx 62tan lim0（ B ）A ．0B ．31C ．21D ．3解：0,tan 22x x x → 00tan 221limlim 663x x x x x x →→==二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.解；设1x t += 1x t =- ()()21f t t ∴=- ()()21f x x ∴=-2．无穷级数 +++++n 31313112的和等于________.解：此为等比级数，111,3a q ==1211113113331213n a q +++++===-- 3.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________. 解：212212x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩ 1331x x -≤≤⎧∴⎨-≤≤⎩11x -≤≤ []1,1x ∴∈-4.=-++∞→]x ln )2x [ln(x lim x ___________.解：22lim [ln(2)ln ]lim ln lim ln 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222lim ln 1lim ln 1ln 2xxx x e x x ⋅→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．函数y=x ln ln 的定义域是 . 解：0ln 0x x >⎧⎨>⎩1x x >⎧⎨>⎩ 1x ∴> ()1,x ∴∈+∞ 6．nn 999.0lim ⋅⋅⋅∞→= . 解：1lim0.999lim 1110n n n n→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭7．=∞→x21sinx 3lim x . 解：1110,0,sin 222x x x x →∴→∴ 113l i m 3s i n l i m 3222x x xx x x →∞→∞=⋅= 8.设⎩⎨⎧<-≥+=0x ,1x 0x ,1x )x (f ，则f (-1)= ___________.解：()1112f -=--=-9.=-+∞→)n 1n (n lim n ___________.解：n n =1l i l2n n n→∞====10.2x2xlim2x--→= ___________.解：()()()2222lim2x x xx xx→→→--==-2l i22x→=11.设函数1x2y+=，其反函数的定义域是________________.解：反函数的定义域是原函数的值域；而原函数的值域为0y≥其反函数的定义域是()0,+∞12.=--+∞→)nnn3n(limn________________.解：nn→∞=4l i l211 n n nn n+-=====+13.在一个极限过程中，变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α，其中α是极限过程中的________________.解：无穷小14．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________.解：设11x+=0x=()10c o s01f=+=15．.__________1n5n)n1(lim233x=++-∞→解：()()33333323233331111(1)lim lim lim151515111n n nnn nnn nn nn nn n n→∞→∞→∞⎛⎫--⎪--⎝⎭====-++++++16．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.解：()1ln 2y x -=+ 12y x e -+= 12y x e-∴=- 反函数是12x y e -=-17. =∞→xxarctan limn _______.解：arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞=⋅=18.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学第一章总复习

参考答案
一、 1、x 0为可去间断点；x =kπ为无穷间断点. 2、f ( x )在x =1连续，连续区间为（-,+）. 3、x 1为跳跃型间断点，连续区间为（-,1）（1，+）. 4、x 2为跳跃型间断点，连续区间为 [0,2）（2，+）. 二、 1 1、a=0,b=1. 2、n . 3、k 3. 4 1 1 4、a 4, b 1. 5、- . 6、x . 12 2
0 x
是阶无穷小，则k等于多少.
(4)求正常数a与b, 使等式 1 lim x 0 bx sin x 0
x
t
2 2
at
dt 1成立.
1 2 2 x 1 1 x (5)求极限 lim 2 . 2 x 2 x0 (cos x e ) sin x 1 (6)求 lim 2 n n

i 1
n
( nx i ) ( nx i 1) , ( x 0).
三、计算题
1.lim(1 3 x )
x 0 2 sin x 1
; 2.lim(cos x ) ;
x 0
x2
π 2 1 x 3.lim tan( ); 4.lim ; n x 1 ln x 4 n x 5. lim ; 6. lim x ( x 1 x 1); x x 0 1 cos x 1 1 tan x 1 sin x 7.lim(cot x 2 ); 8.lim ; 2 x 0 x 0 x x ln(1 x ) x
第一章：函数与极限
一、讨论下列函数的连续性，如有间断点说明其类型.
1 x2 x ,x 1 (1) y (2) f ( x ) 1 x sin 2 x 2, x 1 1 x (3) f ( x ) lim n 1 x 2 n n 2 x (4) f ( x ) lim ( x 0) 2n 2n n 2 x

高数大一(上)复习题(按章节分)

第一章函数与极限一、无穷小的应用1、 (09)设0x →时,tan e e x x -与n x 是同阶无穷小,则n =_________3______；2、(07) [3分] 设()572xxf x =+-，则当0x →时（B ）A.()f x 与x 是等价无穷小量B. ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量C. ()f x 是比x 高阶的无穷小量D. ()f x 是比x 低阶的无穷小量二、求定义域、极限、特殊极限、连续性 1．(06)[3分] 函数1arcsin3x y -=的定义域是[]{}2,40⋃ 2、(06) [3分]201cos3limx x x →-=923、(06) [3分] 极限lim 23x x →∞+ （D ）A. 2=B.2=-C.2=±D. 不存在4、(08) [5分] 设)sin n a n n π=，求lim n n a →∞解：lim lim n n n n n a n π→∞→∞====5、(07) [3分]()20lim 1sin xx x →+=2e6、(08) [5分]求极限011cos lim 12xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解：原式22ln cos22000ln cos 112lim cos1lim 1lim 2ln102xxx x x x xx x e x x x→→→⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-===⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦7、(07) [3分]在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B ）(A) ()sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (B) ()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ (C)()00,0x f x x ≠=⎪=⎩(D) ()1,00,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩三、间断点的判断及类型 1、(08) [3分] 设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为0x =，它是第二类间断点2、(09)已知)1(||)(22--=x x xx x f ，指出函数的间断点及其类型． 1230,1,1x x x ===-为间断点……….2分222200(00)lim 1,(00)lim 1,(1)(1)x x x x x xf f x x x x →-→+---==-+==---2222101011(10)lim ,(10)lim ,(1)2(1)2x x x x x x f f x x x x →-→+---==+==-- ()221010(1)(10)lim ,(10)lim ,(1)1(1)x x x x x x f f x x x x x →--→+----==+∞-+==-∞--+--………3分从而10x =为第一类跳跃间断点，21x =为第一类可去间断点，31x =-为第二类无穷型间断点………………………………………………………………………………..1分3、(06) [本小题8分]设)()()()()1b x b f x x a x -=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值解由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠ 因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =第二章导数与微分导数、定义、高阶导数2．(06) [3分]设x ey x π=+，则y '=1ln x e ex ππ-+2．(08) [3分]若()()()()()1232008f x x x x x x =----，则()0f '=2008!2．(09)设x y 211+=，则=)()6(x y 76)21(!6)2(x +-；2、(08) [5分] 已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()sin 1limln x f x f x →-解：原式=()()()()()()0sin 0sin 11lim011ln ln 0sin 0ln 0x x f x f x f f x f x x f x x →=-'=⋅⋅=--'⎡⎤⎣⎦-2(07)求曲线x y xe -=在拐点处的切线方程解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x x y e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x -----=--=-2、(07) [3分] 设()()()2,d f x g x h x x dx ==，则()()d f h x dx=（D ） A. ()2g x B. ()2xg x C. ()22x g x D. ()22xg x微分2．(07) [3分]设y =0x dy==4dx 2．(06) [3分] 设()220xy a a x =≠+，则=dy ()22222a x dx a x-+2．(08) [3分]设()f u 可微，且()2sin3y fx =，则dy =()()6sin3sin3cos3f x f x xdx '2．(09)由方程02=+-y x x y 确定了隐函数)(x y y =，求微分d y ．()()ln ln 2ln ln 20y x y x d e x y e xdy yd x dx dy -+=+-+=……………5分即()2ln 20,1ln y y y y x y x xdy x dx dx dy dy dx x x x x -+-+==+……………1分隐函数方程2(08)设函数()y y x =)0,0x y =>>确定，求dydx解：对方程两边求导书ln ln ,ln ln y xy y x x x y=⇒= 两边求导书，得ln 1(ln 1)ln 1,ln 1x y y x y y +''+=+⇒=+参数方程2(08)设函数()y y x =由参数方程3292x t ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求曲线()y y x =向下凸的x 的取值范围解：()22222223222322239,39399(3)t t t dy t d y t dx t dx t t '-⎛⎫ ⎪+--+⎝⎭===+++ 曲线下凸要求()0y x ''>，即()()()232310,1,3t t t t t +-=-+>∈-因此对于()39,10,54x t t x =+∈-，由于在端点连续，可取x 的取值范围为[]10,54-2．(09)求由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定函数的二阶导数22d d y x ． )1)(23(++=t t dxdy……………3分 t t t dxy d )1)(56(22++=…………….3分 2(07) 设参数方程()2220ln 11t x t u y du u ⎧=+⎪⎨=⎪+⎩⎰，求22d y dx 解：2221221t dy t t t dx t +==+，222211122241d y d dy d t dt t t dxdx dx dt dx t t +⎛⎫⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+2(06)设(ln sin x t y ⎧=⎪⎨⎪=⎩确定了y 是x 的函数，求22d y dx解sin t t y dx dy dy t dt dt dx x '====='()()221s i n s i n c o s i nd y d d y d d d t t t t t dx dx dx dx dx dt dxdt⎛⎫===⋅=⋅= ⎪⎝⎭分段函数的连续性、可导性2(07) [本小题8分] 确定常数,a b 的值，使函数(),0()arcsin ,0xe b xf x ax x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续且可导解：()()()000lim lim arcsin 0x x f f x ax →+→++===，()()000lim lim ()1xx x f f x e b b →-→--==+=+()001f e b b =+=+，由()f x 在0x =处连续知()()()000,10,1f f f b b +=-=+==-()()()()0000110lim lim lim 10x x x x x f x f e b b e f x x x-→-→-→--+-+-'====-()()()()0000arcsin 00limlim lim 0x x x f x f ax axf a x xx +→+→+→---'====- 由()f x 在0x =处可导知()()00,1f f a +-''=⇒=2(08)设()x ϕ具有二阶连续导数，且()00ϕ=，若()(),0,0x x f x x a x ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（1）确定a ，使()f x 在(),-∞+∞内连续；（2）求()f x '解：（1）连续则必有()()()()()000lim lim00x x x a f f x x ϕϕϕ→→-'====-(2)当0x ≠时()()()2x x x f x xϕϕ'-'=而()()()()()()()20000000limlim limx x x x f x f x x xf x x xϕϕϕϕ→→→'-'--'===--()()()001lim022x x xϕϕϕ→''-''== 所以()()()()2,010,02x x x x x f x x ϕϕϕ'-⎧≠⎪⎪'⎨⎪''=⎪⎩ 2(09)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=-1,1e1,ln )()1(22x x a x x f x b 在点1x =处可导，求,a b 的值．()()()11010f f f =+=-从而()(1)1010(1)0lim lim e10,0b x x x f a -→+→-===-==…………3分()()()10101ln 11(1)limlim 111x x f x f x f x x +→+→+-+-'===--()()()1101011(1)lim lim 11b x x x f x f e f b x x --→-→+--'===--由可导知(1)(1)(1),1f f f b -+'''===……………………………………………………..2分2(06) [本题9分]设()21,0,2,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，讨论()f x 及()f x '在0x =处的连续性解因为()()2001lim lim20x x x e f x f x→→-===，故()f x 在0x =处的连续 ()()()2222000012012220lim lim lim lim 202x x x x x x x e f x f e x e x f x x x x→→→→------'=====- 当0x ≠时，()()22221x x xe e f x x--'=()()()22220214,lim limlim 202x x xx x x xe e xe f x f x x→→→--''==== 故()f x '在0x =处连续2 (06) [本题10分]设()f x 在(),a b 连续、可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈，()()()()00000,.,f x f x x x x x x f x x xϕ-⎧≠⎪-=⎨⎪'=⎩证明：()x ϕ在(),a b 内也单调增解因()()()0lim 00x x f ϕϕ→'==，故()x ϕ在0x 处连续()()()()0020()()()f x x x f x f x x x x ϕ'---'=-记()()()()()()()()000,g x f x x x f x f x f x f x x ξξ'''=---=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在x 与0x 之间当()()()00,,,0x x x x f x f g x ξξ''<<<<> 从而在()0,a x 内()0x ϕ'>。

大一高数一二章复习题

大一高数一二章复习题# 大一高数一二章复习题第一章：极限与连续一、选择题1. 函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处的极限是：A. 1B. 0C. 2D. 不存在2. 判断下列函数在 \( x = 0 \) 处是否连续：- \( g(x) = \sin x \)- \( h(x) = x^2 \)- \( i(x) = \frac{1}{x} \)- \( j(x) = |x| \)二、填空题1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是________。

2. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的极限是________。

三、解答题1. 证明函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的极限存在，并求其值。

2. 计算 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)。

第二章：导数与微分一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x \) 的导数是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( 3x^2 + 4x + 5 \)C. \( 3x^2 - 4x + 5 \)D. \( 3x^2 + 4x + 5 \)2. 判断下列函数的导数是否正确：- \( f(x) = e^x \) 的导数是 \( e^x \)- \( g(x) = \ln x \) 的导数是 \( \frac{1}{x} \)- \( h(x) = \sin x \) 的导数是 \( \cos x \)- \( i(x) = \frac{1}{x} \) 的导数是 \( -\frac{1}{x^2} \)二、填空题1. 函数 \( f(x) = \ln x \) 的导数是 ________。

高数练习题第一章函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习第一章函数、极限与连续________系_______专业班级姓名______ ____学号_______习题一函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1）（B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数（B ）非奇非偶函数（C ）偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。

(word)重点高中数学必修一第一章复习参考题及解答

高中数学必修一第一章复习参考题及解答A 组〔人教A 版〕1．用列举法表示以下集合：〔1〕A {x|x 2 9}；〔2〕B{x N|1 x 2}；〔3〕C{x|x 23x 20}.解：〔1〕方程x 2 9的解为x 13,x 2 3，即集合 A{3,3}；〔2〕1x2，且x N ，那么x 1,2，即集合B {1,2}；〔3〕方程x 2 3x 2 0的解为x 1 1,x 2 2，即集合C {1,2}．2．设P 表示平面内的动点，属于以下集合的点组成什么图形？〔1〕{P|PA PB}(A,B 是两个定点)；〔2〕{P|PO3cm}(O 是定点).解：〔1〕由PA PB ，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{P|PA PB}表示的点组成线段 AB 的垂直平分线；〔2〕{P|PO 3cm}表示的点组成以定点 O 为圆心，半径为 3cm 的圆．设平面内有ABC ，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{P|PAPB}I{P|PA PC}的点是什么.解：集合{P|PAPB}表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{P|PAPC}表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{P|PAPB}I{P|PAPC}的点是线段AB 的垂直平分线与线段 AC 的垂直平分线的交点，即ABC 的外心．4.集合A{x|x 21}，B{x|ax1}.假设BA ，求实数a 的值.解：显然集合 A{1,1}，对于集合B{x|ax1}，当a 0时，集合B，满足BA ，即a 0；当a0时，集合B {1}，而BA ，那么1 1，或 1 1，aa a欢迎阅读得a1，或a1，综上得：实数 a 的值为 1,0，或1．5.集合A {(x,y)|2x y 0}，B{(x,y)|3x y0}，C{(x,y)|2x y3}，求AIB ，AIC ，(AIB)U(BIC).解：集合A I B2x y 0 {(0,0)}，即AIB {(0,0)}；(x,y)|y 03x集合AIC(x,y)|2x y 0，即AIC；2x y 3集合BIC(x,y)|3x y 0 3 92x y 3{(,)}；55那么(AIB)U(BIC){(0,0),( 3, 9)}.5 5求以下函数的定义域：〔1〕y x 2 x5；〔2〕yx 4.|x| 5x 2 0 2，解：〔1〕要使原式有意义，那么5 ，即xx 0得函数的定义域为[2,)；2〕要使原式有意义，那么得函数的定义域为x 4 04，且x5，|x|5，即x[4,5) U(5,)．7.函数f(x)1 x，求：1 x〔1〕f(a)1(a1) ；〔2〕f(a1)(a2) .解：〔1〕因为f(x)1 x ，1 x11a2，所以f(a)1 a，得f(a) 11 a 1 a 1 a即f(a)11 2；a欢迎阅读〔2〕因为f(x)1 x ，1 x所以f(a1)1 (a 1) a，1 a 1 a 2即f(a1)a ．a28.设f(x)1x 2，求证：〔1〕f( x)f(x)；〔2〕f(1)f(x).1 x 2x证明：〔1〕因为f(x)1 x2 ，所以f(x) 1 ( x)21 x2 f(x)，即f(x)f(x)；1 x 21 ( x)2 1 x 2〔2〕因为f(x)1 x2 ，所以 f(1)1 x 2x1 (1) 21 x 21xf(x)，即f(x).1x 2 1f()1 ) 2x(x9.函数f(x)28在[5,20] 上具有单调性，求实数k 的取值范围.4xkx 解：该二次函数的对称轴为 xk，函数f(x)4x 2kx8在[5,20]上具有单调性，那么k20，或k85，得k 160，或k 40，即实数k 的取值范围为k160，或k40． 8810．函数yx2，1〕它是奇函数还是偶函数？2〕它的图象具有怎样的对称性？3〕它在(0,)上是增函数还是减函数？4〕它在(,0)上是增函数还是减函数？解：〔1〕令f(x)x2，而f( x)(x)2x 2 f(x)，即函数yx 2 是偶函数；〔2〕函数yx 2的图象关于y 轴对称；〔3〕函数yx 2 在(0, )上是减函数；〔4〕函数yx 2 在(,0)上是增函数．组学校举办运动会时，高一〔1〕班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有 14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？欢迎阅读解：设同时参加田径和球类比赛的有 x 人，那么15 8 143 3x28，得x3，只参加游泳一项比赛的有 15 3 3 9〔人〕，即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有 9人．2.非空集合 A {x R|x 2 a}，试求实数a 的取值范围.解：因为集合 A，且x 20，所以a0．3.设全集U{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，C U (AB)1,3，A (C U B)2,4，求集合B .解：由C U (AB)1,3，得AUB{2,4,5,6,7,8,9}，又A(C U B)2,4，所以集合B{5,6,7,8,9}.4.函数f(x)x(x 4),x 01)的值.x(x 4),x.求f(1)，f(3)，f(a解：当x0时，f(x)x(x 4) ，得f(1)1 (14) 5；当x时，f(x) x(x 4)，得f(3)3 (3 4)21；f(a 1)(a 1)(a 5),a 1(a 1)(a 3),a．15.证明：〔1〕假设f(x) axb ，那么f(x 1x2)f(x 1)f(x 2)；22〔2〕假设g(x)x2ax b ，那么g(x 1x2)g(x 1)g(x 2).22证明：〔1〕因为f(x)axb ，得f(x 1x 2)ax1x 2 ba(x 1x 2)b ，22 2f(x 1)f(x 2)ax 1bax 2ba(x 1 x 2)b ，222所以f(x 1x2)f(x 1)f(x 2)；22〔2〕因为g(x)x 2 ax b ，得g(x 1x 2)1(x 12x 22 2x 1x 2)a(x 1x 2)b ，2421(x 12x 22)a(x 12 x 2)b ，因为12112x 2 22 2)(x 1x 2)20，4(x12x 1x 2)2 (x 1 x 2 4即12x 2 22x 1x 2)122) ，4(x12(x1x 2欢迎阅读所以g(x1x2)g(x1)g(x2). 226.〔1〕奇函数f(x)在[a,b]上是减函数，试问：它在[b,a]上是增函数还是减函数？2〕偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，试问：它在[b,a]上是增函数还是减函数？解：〔1〕函数f(x)在[b,a]上也是减函数，证明如下：设 b x1x2a，那么a x2x1b，因为函数f(x)在[a,b]上是减函数，那么f( x2) f(x1)，又因为函数f(x)是奇函数，那么f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)，全月应纳税所得额税率(00)所以函数f(x)[b,a]上也在不超过1500元的局部是减函超过1500元至4500元的局部数；超过4500元至9000元的局部20〔2〕函数g(x)在[b,a]上是减函数，证明如下：设bx1x2a，那么a x2x1b，因为函数g(x)在[a,b]上是增函数，那么g(x2)g(x1)，又因为函数g(x)是偶函数，那么g(x2)g(x1)，即g(x1)g(x2)，所以函数g(x)在[b,a]上是减函数．7.?中华人民共和国个人所得税?规定，公民全月工资、薪金所得不超过3500元的局部不必纳税，超过3500元的局部为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为303元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？解：设某人的全月工资、薪金所得为x元，应纳此项税款为y元，那么由该人一月份应交纳此项税款为303元，得5000x8000，45(x5000)10%303，得x7580，所以该人当月的工资、薪金所得是7580元．欢迎阅读。

高数(上)第1-7章复习题(含参考答案)

高数上第一章复习题1. 计算下列极限:（1）2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(2)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(3))1311(lim31x x x ---→; 解112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). (6)145lim1---→x x x x ;解)45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim22x x x x x --++∞→.解)())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xx x sin ln lim 0→;解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→; 解 )1()1)(1(lim)1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x 21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明因为1tan lim arctan lim0==→→yyxxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解(1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx , 0tan lim2=+→xxk x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=00 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞,+∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 0, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0,a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根.总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x . 8*、证明: 函数xxy 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xxy 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xxy 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2); 解 222212211)1(11xx x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(5)xx y 2sin =;解222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =;解2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=;解])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=.(8)xx y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ;解222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解)(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n xn xn . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dxyd .解方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ', ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dxyd :解t tt t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=,t t tt t dx yd 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(tt t t t t dx yd -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dtdh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdVh dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2); 解dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx . (3)2211arctan xx y +-=;解)11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数.第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x .4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的,在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e为最大值点.因此所求最大项为333max{ .,2}3第四、五、六章复习题1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3; 解C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(2)⎰+++dx x x x 1133224;解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin;解 ⎰⎰+-==C t t d t dt t t cos 2sin2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1; 解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(5)⎰--dx xx 2491;解 dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (7)⎰-12x x dx ;解 C xC t dt tdt t t t tx x x dx+=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或 C x x d x dx x x x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解 ⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=xx x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .（10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2,而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2（12）dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得 xx f y 1)(='=',所以C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xadt t f a x x F )(1)(.证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=.由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t tx dxx ⎰⎰⎰+=⋅=-2020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令2)2sin 21(20ππ=+=t t .6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2 a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 2. 设a =3i -j -2k ,b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18, a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k . (3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a .3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0, 于是23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c ); (3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8, (a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1,1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0. 解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π.设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。

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第一章函数及其图形复习提示本章重点：函数概念和基本初等函数。

难点：函数的复合。

典型例题分析与详解一、单项选择题1 下列集合中为空集的「」A ｛｝B ｛0｝C 0D ｛x｜x2+1=0，x∈R｝「答案」选D「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0是一个数，不是集合，故C 也不是空集。

在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集2 设A=｛x｜x2-x-60｝，B=｛x｜x-1≤1｝，则A∩B=「」A ｛x｜x3｝B ｛x｜x-2｝C ｛x｜-2「答案」选B「解析」由x2-x-60得x3或x-2，故A=｛x｜x3或x-2｝；由x-1≤1得x≤2，故B=｛x｜x≤2｝，所以A∩B=｛x｜x-2｝。

3 设A、B是集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且A∩B={1，3，7，9}，则A∪B是「」A {2，4，5，6，8}B {1，3，7，9}C {1，2，3，4，5，6，7，8，9}D {2，4，6，8}「答案」选A「解析」由A∪B=A∩B={1，3，7，9}，得A∪B={2，4，5，6，8}4 设M={0，1，2}，N={1，3，5}，R={2，4，6}，则下列式子中正确的是「」A M∪N={0，1}B M∩N={0，1}C M∪N∪R={1，2，3，4，5，6}D M∩N∩R= （空集）「答案」选D「解析」由条件得M∪N={0，1，2，3，5}，M∩N={1}，M∪N∪R={0，1，2，3，4，5，6}，M∩N∩R= .5 设A、B为非空集合，那么A∩B=A是A=B的「」A 充分但不是必要条件B 必要但不是充分条件C 充分必要条件D 既不是充分条件又不是必要条件「答案」选B「解析」若A=B，则任取x∈A有x∈B，于是x∈A∩B，从而A A∩B 又A∩B A，故A∩B=A反之不成立例A={1，2}，B={1，2，3}，显然A∩B=A，但A≠B6 设有集合E={x-1故所求反函数为y=－x，0≤x≤4，x+4，-431 设f（x）在（-∞，+∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」A y=f（x）B y=-f（x）C y=-f（-x）D y=f（x2）「答案」选D「解析」由偶函数定义，D中函数定义域（-∞，+∞）关于原点对称，且y（-x）=f［（-x）2］=f（x2）=y（x），故y=f（x2）是偶函数32 函数f（x）=loga（x+1+x2）（a0，a≠1）是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数「答案」选A「解析」因该函数定义域为（-∞，+∞），它关于原点对称，且f（-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x=log31+x2-x21+x2+x=log31x+1+x2=-log3x+1+x2=-f（x）故f（x）=logax+1+x2为奇函数33 设函数f（x）=x（ex-1）ex+1，则该函数是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 单调函数「答案」选B「解析」因为f（x）的定义域是（-∞，＋∞），且f（-x）=-x（e-x-1）e-x+1=-x1-exex1+exex=x（ex-1）ex+1=f（x）。

所以f（x）为偶函数。

34 设函数f（x）在（-∞，+∞）内有定义且为奇函数，若当x∈（－∞，0）时，f （x）=x（x-1），则当x∈（0，＋∞）时，f（x）=「」A -x（x+1）B x（x-1）C x（-x+1）D x（x+1）「答案」选A「解析」因为f（x）为奇函数，故当x0时，f（x）=-f（-x）=-［-x（-x-1）］=-x（x+1）。

35 设函数f（x）、g（x）在（－∞，＋∞）上有定义，若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则g［f（x）］为「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 有界函数「答案」选B「解析」因为g［f（-x）］=g［-f（x）］=g［f（x）］，故g［f（x）］为偶函数。

36 函数f（x）=x（1+cos2x）的图形对称于「」A ox轴B 直线y=xC 坐标原点D oy轴「答案」选C「解析」因f（x）的定义域为（-∞，+∞），它关于原点对称，又f（-x）=-x（1+cos2（-x））=-x（1+cos2x）=-f（x），故f（x）=x（1+cos2x）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称37 函数y=sinx的周期是「」A πB π2C 2πD 4π「答案」选A「解析」因为sin（x+π）=-sinx=sinx，故y=sinx的周期（最小正周期）为π38 下列函数中为周期函数的是「」A y=sinx2B y=arcsin2xC y=x｜sinx｜D y=tan（3x-2）「答案」选D「解析」因为tan［3（x+π3）－2］=tan（3x+π-2）=tan［（3x-2）+π］=tan（3x-2），所以y=tan（3x-2）是以π3为周期的周期函数。

39 设f（x）是以3为周期的奇函数，且f（-1）=-1，则f（7）=「」A 1B -1C 2D -2「答案」选A「解析」因为f（7）=f（1+2.3）=f（1）=-f（-1）=1.40 已知偶函数f（x）在［0，4］上是单调增函数，那么f（-π）和f（log128）的大小关系是「」A f（-π）C f（-π）f（log128）D 不能确定「答案」选C「解析」因为f（x）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f（x）在［－4，0］上是单调减函数又log128=log12（12）－3=-3－π，所以f（-π）f（log128）。

41 在R上，下列函数中为有界函数的是y=「」A exB 1+sinxC lnxD tanx「答案」选B「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B中函数y=1+sinx其定义域为R，且对任意x∈R，有1+sinx≤1+sinx≤2成立，故y=1+sinx 在R上是有界函数基础训练题单项选择题1 设A={x-3≤x≤3}，B={x0≤x≤5}，则A A BB A BC （A∩B） BD （A∩B） B「」2 下列集合为空集的是A {xx+5=5}B {xx∈R且x2+10=0}C {xx≥3且x≤3}D {xx+5≤0}「」3 若集合M={0，1，2}，则下列写法中正确的是A {1}∈MB 1 MC 1 MD {1} M「」4 函数y=1-x+arccosx+12的定义域是A -3≤x≤1B x1C （-3，1）D {xx1}∩{x-3≤x≤1}「」5 函数f（x）=（x+1）2x+12x2-x-1的定义域是A x≠-12B x-12C x≠-12且x≠1D x-12且x≠1「」6 若0≤a≤12及函数y=f（x）的定义域是［0，1］，则f（x+a）+f（x-a）的定义域是A ［-a，1-a］B ［-a，1+a］C ［a，1-a］D ［a，1+a］7 设函数f（x+a）的定义域为［0，a］，则f（x）的定义域为A ［a，2a］B ［-a，0］C ［-2a，-a］D ［0，a］「」8 函数f（x）=x｜x｜≤1sinx1｜x｜≤4，则f（x2）的定义域为A ［－4，4］B ［－1，1］C ［1，4］D ［－2，2］「」9 设g（x）=sinx，则g-sinπ2=A -1B 1C sin1D -sin1「」10 设f（x）是定义在实数域上的一个函数，且f（x-1）=x2+x+1，则f1x-1=A 1（x-1）2+3x-1+3B 1（x-1）2+1x-1+1C 1x2+x+1D 1x2+1x+1「」11 设f1x=xx-1，则f（2x）=A 21-xB 11-2xC 2（x-1）2xD 2（x-1）x「」12 设f（x-2）=x2+1，则f（x+1）=A x2+2x+2B x2-2x+2C x2+6x+10D x2-6x+10「」13 函数y=4-x2的值域是A ［0，1］B （0，1］C （0，+∞）D （-∞，+∞）「」14 下列函数中与y=x为同一函数的是y=A x2B lnexC elnxD （x）2「」15 函数y=sin1x是其定义域内的A 周期函数B 单调函数C 有界函数D 无界函数「」16 下列函数中在（0，+∞）内为单调减少的是A y=logxa，0C y=arctanxD y=lnx「」17 下列函数中为奇函数的是A y=ex-1ex+1B y=x2+sinxC y=cos3xD y=ln（x2+x4）「」18 函数y=1-x1+x的反函数是A y=x-1x+1B y=1+x1-xC y=1-x1+xD y=-x1+x「」提高训练题单项选择题1 如果集合A B，则下列正确的是A A∪B=AB A∩B=BC A∪B=BD A∩B= 「」2 设集合E={x-5≤x1}，F={x0。