用换元法解各种复杂方程(3周)
复杂解方程练习题10道带答案
复杂解方程练习题10道带答案一、多项式方程的解法1. 解方程：2x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0解答：首先，观察多项式，发现其中不含有常数项，即零次项系数为0，可知x=0为一个解；接下来我们使用二次换元法，将x^2用u代替，得到：2u^2 + 4u - 3x + 1 = 0；再次观察多项式，发现其次数较高，不便于直接分解因式，因此我们将其写为一个完全平方式：(u+1)(2u-1) - 3x + 1 = 0；将此式拆解为两个方程：u + 1 = 0 与 2u - 1 - 3x + 1 = 0；解得 u = -1；代入第二个方程得 2u - 1 - 3x + 1 = 0，即 -2 - 1 - 3x + 1 = 0，得 -3x = 2；因此，解为 x = 0 或 x = -2/3。
2. 解方程：5x^4 - 7x^2 + 2 = 0解答：我们可以使用二次换元法来解这个方程，将x^2用u代替，得到：5u^2 - 7u + 2 = 0；观察多项式，发现可以将其因式分解为 (5u - 2)(u - 1) = 0；令 5u - 2 = 0，解得 u = 2/5，代入原方程的第二个项得到 2x^2 = 2/5，解得x = ±√(1/5)；令 u - 1 = 0，解得 u = 1，代入原方程的第二个项得到 x^2 = 1，解得x = ±1；因此，解为 x = ±1 或x = ±√(1/5)。
二、指数方程的解法3. 解方程：5^(2x - 1) + 5^(x - 1) - 6 = 0解答：我们可以使用换元法来解这个指数方程，令 u = 5^(x - 1)，则原方程可写为 u^2 + u - 6 = 0；将此式进行因式分解，得到 (u + 3)(u - 2) = 0；令 u + 3 = 0，解得 u = -3，代入 u = 5^(x - 1) 得 5^(x - 1) = -3，没有解；令 u - 2 = 0，解得 u = 2，代入 u = 5^(x - 1) 得 5^(x - 1) = 2，进一步计算得 x - 1 ≈ log5(2) ，解得x ≈ log5(2) + 1 ；因此，解近似为x ≈ log5(2) + 1。
换元法解一元三次方程
换元法解一元三次方程要解一元三次方程，可以使用换元法。
换元法是一种变量替换的技巧，通过适当的变量替换，将原方程转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
为了说明这个方法，我们将以以下一元三次方程为例：\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \quad (1)\]其中，\(a \neq 0\)。
1. 首先，我们要通过一个变量替换将方程 (1) 转化为一个更简单的形式。
我们假设一个新的变量 \(y\)，使得 \(x = z - \frac{b}{3a}\)。
这样，我们可以将方程 (1) 变形为：\[a(z - \frac{b}{3a})^3 + b(z - \frac{b}{3a})^2 + c(z -\frac{b}{3a}) + d = 0\]\[az^3 + (-3bz + b^2/a)z + (2b^3/27a^2 - bc/3a + d -b^3/27a^2) = 0 \quad (2)\]2. 然后，我们要根据方程 (2) 的形式，选择一个适当的变量替换，以进一步简化方程。
我们注意到，方程 (2) 中的二次项系数是\(b^2/a\)，线性项系数是 \(-3b\)，常数项是 \(2b^3/27a^2 - bc/3a + d - b^3/27a^2\)。
为了消去二次项系数，我们选择新的变量 \(w\)，使得 \(z = w - \frac{b^2}{3a^2}\)。
这样，方程 (2) 可以进一步化简为：\[aw^3 + pw + q = 0 \quad (3)\]其中\[p = (-3b)(-\frac{b^2}{3a^2}) + \frac{b^2}{a} =\frac{2b^3}{a^2}\]\[q = (2b^3/27a^2 - bc/3a + d - b^3/27a^2) - (-\frac{b^2}{3a^2})(-\frac{b^2}{3a^2}) - \frac{2b^3}{a^2}(-\frac{b^2}{3a^2})\]3.现在，我们的目标是解方程(3)。
换元法解方程
换元法在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.1.10)3)(4(22+++-+x x x x2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x4.90)384)(23(22-++++x x x x5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x7.4482--a a8.yz z y x 2222+--9. 644+x10. 2214176y xy x --11. 581337622-++--y x y xy x12.1433181892022-+--+y x y xy x13. 2820152-+--y x xy x14.12)2)(1(22-++++x x x x15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.五.待定系数法1. 192256112--x x2.744272234+---x x x x3.156234+-+-x x x x六.因式定理余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p pq x x f n ),(.)(=.0的约数数a推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--1. 611623+++x x x2. 355223-+-x x x3.46423-+-x x x4.8292234+--+x x x x5.15132234----x x x x七.对称式 交代式 轮换式Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.如: ,z y x ++abcc b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4433, b a b a --等.Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.1.abc c b a 3333-++2.3333)(z y x z y x ---++3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++八．因式分解的应用1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.2.已知a=21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。
换元求解的技巧
换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。
它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。
在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。
一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。
例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。
解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。
2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。
例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。
解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。
由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。
二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。
例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。
解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。
然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。
三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。
例4：求解积分∫x^2 e^x dx。
解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。
然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。
通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。
四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。
用换元法解各种复杂方程
用换元法解各种复杂方程用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。
[内容综述]“换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。
在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。
[问题精讲]1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。
对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程。
例1，解方程(x 2+1)2=x 2+3分析:思路1：以x 2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2+1。
思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2进行换元。
解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0，解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根，由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。
解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根，由x 2=1解得x 1=1，x 2=-1。
注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。
在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。
例如在牛刀小试题1中，可以设4x 2+2=y ，则原方程化为y 2+y-12=0；也可以设4x 2+1=y ，则原方程化为y 2+3y-10=0（选C ），（还可以设4x 2=y 等等，学生可以自己练习）。
但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。
2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。
换元法解分式方程(可编辑修改word版)
1 +2 x x x + 2 x + 2 x x x + 2 x + 2 x x + 2 x1 2 1 2 1 换元法解分式方程毛彩猛换元法，就是引进新的变量，把一个较为复杂的数量关系转化成简单的数量关系的解题技巧。
下面用运用“换元法”了解分式方程的几个例子。
例 1 解方程( x x + 1 ) 2 + 5( x x + 1) + 6 = 0 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
x解 设 x + 1 = y ，于是原方程变形为y 2 + 5y + 6 = 0解得y 1 = -3，y 2 = -2 当y 1 = -3时， x x + 1 = -3，解得x 1 = - 3 ； 4当y 2 = -2时， x x + 1 = -2，解得x 2 = - 2 。
3 经检验x 1 = - 3 ，x 4 2 = - 2 均为原方程的根。
3 6 例 2 解方程 x 2 + x= x 2 + x + 1 分析 方程左边分式分母为x 2 + x ，可将右边x 2 + x 看成一个整体，然后用换元法求解。
解 设x 2 + x = y ，则原方程变形为 6 = y + 1 y解得y 1 = -3，y 2 = 2 当y = -3时，x 2 + x = -3，此方程无实根。
当y = 2时，x 2 + x = 2，解得x = -2，x = 1。
经检验，x 1 = -2，x 2 = 1都是原方程的根。
10 例 3 解方程 + = 3分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
10 解 原方程为 + = 3 设 = y ，则原方程可变形为y + 1 = 10 y 3 解得y 1 = 3，y 2 = 3 当y = 3时， = 3，解得x = 11 1 4⎩⎩ = 当y 2 = 1 时， 3 = 1 ，解得x 3 2= - 9 4 经检验x 1 = 1 ，x 42 = - 9 都是原方程的根。
快速解决复杂方程
快速解决复杂方程在数学领域中，复杂方程往往是许多学生的噩梦。
它们要求对各种数学概念和技巧有深入的理解和运用。
然而，有许多快速解决复杂方程的方法和技巧可以帮助我们更轻松地面对这一挑战。
本文将介绍一些常见的快速解决复杂方程的方法。
一、换元法换元法是解决复杂方程的一种有效方法。
它通过引入一个新的未知数来简化方程或消除方程中的特定项。
以下是一个例子：假设我们要解决方程3x + 5 = 13。
通过引入一个新的未知数u，我们可以将方程变为3u = 8。
然后，我们只需将u的值代入原方程中，即可得到x的值。
这种方法能够将复杂方程转化为更简单的形式，从而快速求解。
二、平方根法平方根法是解决一类特定方程的常用方法。
它适用于方程中含有平方项的情况。
以下是一个例子：假设我们要解决方程x^2 = 16。
通过开方，我们可以得到x = ±4。
这种方法能够快速求解含有平方项的方程。
三、分解法分解法是解决含有多项式的方程的一种有效方法。
它通过将多项式进行分解，从而将复杂问题转化为简单的子问题。
以下是一个例子：假设我们要解决方程x^2 + 5x + 6 = 0。
通过将该方程进行分解，我们可以得到(x + 2)(x + 3) = 0。
因此，我们可以得到x的解为x = -2或x = -3。
通过分解法，我们可以快速解决含有多项式的复杂方程。
四、因式分解法因式分解法是解决含有多项式的方程的另一种常用方法。
它通过将方程进行因式分解，从而找到方程的根。
以下是一个例子：假设我们要解决方程x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解，我们可以将方程转化为(x - 1)(x - 3) = 0。
因此，我们可以得到x的解为x = 1或x = 3。
通过因式分解法，我们可以快速解决含有多项式的复杂方程。
五、使用数学软件除了手工方法外，我们还可以借助数学软件来解决复杂方程。
数学软件能够对方程进行符号计算和求解，大大减少了人工计算的工作量。
例如，像Mathematica、Maple和Matlab等软件都提供了强大的方程求解功能，能够快速求解各种复杂方程。
运用换元法解几类特殊的无理方程(组)
( 武汉 师 院 汉
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)
解 无 理 方程 ( 组 通 常 的方 法 是
两 边 乘方
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将方 程 可 降低
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( 五 ) 运 用换 元 法 引 入 两 个 新 变 元
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换元法解方程的练习题
换元法解方程的练习题在数学中，换元法是一种解方程的方法，通过引入新的未知量来转换原始方程，从而简化解题过程。
在本文中，我们将通过练习题来展示如何使用换元法解方程。
1. 练习题一：解方程：3x + 4 = 19解题思路：首先，我们引入一个新的未知量，设为y，使得新的方程只包含这个未知量和已知量。
根据题目给出的方程，我们可以将方程改写为：3x + 4 = 19 → 3x = 19 - 4 → 3x = 15接下来，我们将3x转化为y，令y = 3x，并将原方程改写为：y = 15现在，我们可以看到新方程已经非常简单了，只包含一个未知量y 和一个已知量15。
我们可以直接得出y的解为y = 15。
最后，我们再将y = 15带入到我们的设定中，即y = 3x，得到3x = 15。
通过除以3，我们可以得出x的解为x = 15 / 3 = 5。
所以，原方程的解为x = 5。
2. 练习题二：解方程：2(x - 3) + 5 = 13解题思路：首先，我们将方程展开，得到2x - 6 + 5 = 13。
合并项后，我们得到2x - 1 = 13。
接下来，我们引入一个新的未知量y，使得新方程只包含一个未知量和已知量。
设y = 2x - 1。
将原方程改写为y = 13。
现在，我们可以直接得出y的解为y = 13。
最后，我们再将y = 13带入到我们的设定中，即y = 2x - 1，得到2x - 1 = 13。
通过加1并除以2，我们可以得出x的解为x = （13 + 1）/ 2 = 14 / 2 = 7。
所以，原方程的解为x = 7。
3. 练习题三：解方程：4(2x + 1) = 24 - 4x解题思路：首先，我们展开方程，得到8x + 4 = 24 - 4x。
接下来，我们引入一个新的未知量y，使得新方程只包含一个未知量和已知量。
设y = 8x + 4。
将原方程改写为y = 24 - 4x。
现在，我们可以直接得出y的解为y = 24 - 4x。
换元法解四次方程
换元法解四次方程换元法是解四次方程的一种常用方法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量，将原方程转化为一个更容易处理的形式，进而求解方程。
对于四次方程，一般形式是ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e是已知的实数系数。
我们可以通过适当的换元，将其简化为某个二次方程。
首先，我们引入一个新的变量y，令x^2 = y。
这样，原方程可以改写为ay^2 + by^(3/2) + cy + dy^(1/2) + e = 0。
我们可以看出，这是一个关于y的一元四次方程。
接下来，我们尝试将y的次数降低。
我们可以尝试令z =y^(1/2)，这样方程变为az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0。
现在，我们可以通过二次方程的求解方法来求解这个新方程。
设z = m + n，并将z的四次方展开，即(z^2)^2 = (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2。
将z的四次方进行展开，并代入az^4 + bz^3 + cz^2 + dz + e = 0中，整理得(am^2 + bm + c)m^2 + (2amn + bn + d)mn + (an^2 + e) = 0。
我们可以发现，fa(y) = (a + bm + cm^2)y^2 + (2amn + bn + d)yn + (an^2 + e)是一个关于y的一元二次方程。
根据二次方程的求解方法，我们可以求得y的值。
一旦求得y的值，我们可以通过y = x^2得到x的值。
注意，这里可能会有多组解，需要分别代入原方程检验。
总结一下，换元法是一种求解四次方程的有效方法。
通过引入新的变量，将四次方程转化为一个更简化的一元二次方程，从而解得方程的根。
需要注意的是，在求得新方程的解后，需要将其代入原方程进行检验，找出满足条件的实数解。
参考内容：1. 《高等数学题型与解题技巧》- 王天民：这本书对求解四次方程中的换元法进行了详细的介绍，包括具体的推导过程和实例演练，可以帮助读者更好地理解和掌握换元法的使用方法。
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
换元法解一元二次方程例题20道
换元法解一元二次方程例题20道
当我们使用换元法解一元二次方程时，我们通常会使用一个新的变量来替代原方程中的变量，以便简化方程的求解过程。
这个新的变量通常被选为方程中的一部分，以便将原方程转化为一个更容易解决的形式。
以下是20个例题，使用换元法解一元二次方程的示例：
1. 解方程 $x^2 4x + 3 = 0$。
2. 解方程 $2x^2 5x + 2 = 0$。
3. 解方程 $3x^2 + 7x 6 = 0$。
4. 解方程 $4x^2 12x + 9 = 0$。
5. 解方程 $x^2 6x + 8 = 0$。
6. 解方程 $2x^2 9x + 5 = 0$。
8. 解方程 $4x^2 8x + 3 = 0$。
9. 解方程 $x^2 7x + 10 = 0$。
10. 解方程 $2x^2 3x 2 = 0$。
11. 解方程 $3x^2 + 4x 4 = 0$。
12. 解方程 $4x^2 5x + 1 = 0$。
13. 解方程 $x^2 8x + 15 = 0$。
14. 解方程 $2x^2 7x + 3 = 0$。
15. 解方程 $3x^2 + 2x 1 = 0$。
16. 解方程 $4x^2 9x + 2 = 0$。
17. 解方程 $x^2 9x + 20 = 0$。
19. 解方程 $3x^2 + 8x 4 = 0$。
20. 解方程 $4x^2 7x + 2 = 0$。
希望以上例题能够帮助您更好地理解如何使用换元法解一元二次方程。
如果您需要更详细的解答或其他问题，请随时告诉我。
换元法解方程练习题
换元法解方程练习题近年来，数学领域中的换元法成为了解方程的常用方法之一。
换元法通过引入新的自变量来转化原方程，从而使得求解过程更加简单和直观。
本文将通过一些练习题，帮助读者巩固和加深对换元法解方程的理解。
1. 例题一解方程：4x^2 + 8x + 3 = 0解答过程：首先，我们观察方程中的二次项，发现系数4是一个平方数，即可尝试进行换元。
令u = 2x + 1，划线可发现u与x之间有如下关系：2x + 1 = u。
将这个关系带入原方程，得到：4(u - 1)^2 - 4(u - 1) + 3 = 0接下来，将上式化简并求解u：4u^2 - 12u + 7 = 0这是一个关于u的一元二次方程，可通过因式分解或配方法解得u 的值：(2u - 1)(2u - 7) = 0所以，u = 1/2 或 u = 7/2。
最后，将u与x的关系式2x + 1 = u带入，得到两组解：当u = 1/2时，2x + 1 = 1/2，解得x = -1/4；当u = 7/2时，2x + 1 = 7/2，解得x = 3/4。
因此，原方程的解为x = -1/4或x = 3/4。
2. 例题二解方程：8x^3 + 9x^2 - 18x - 2 = 0解答过程：观察方程中的三次项系数8，我们发现它并不是一个立方数。
此时，我们可以选择尝试换元，令u = 2x，划线后可得到u与x的关系式：2x = u。
将这个关系式代入原方程，并将方程整理：8(u/2)^3 + 9(u/2)^2 - 18(u/2) - 2 = 0简化得：u^3 + 9u^2 - 36u - 16 = 0化简后，我们可以通过合适的数值逼近或图像分析法来找到近似解。
假设u = 2是一个解，将u = 2带入方程中，得到：2^3 + 9(2)^2 - 36(2) - 16 = 0简化后等于0，所以u = 2是方程的解。
接下来，使用带余除法或多项式因式分解的方法，将方程除以(u - 2)，求得余式。
初中换元法解一元二次方程
初中换元法解一元二次方程一、什么是换元法解一元二次方程呢？嘿，小伙伴们！咱们来唠唠这个换元法解一元二次方程。
你可以把这个换元法想象成给方程来个大变身。
就好像给方程里的某些部分穿上了一件新衣服，让它看起来更简单，这样咱们就能更容易地找到答案啦。
比如说方程里有个复杂的式子，咱们就设这个式子等于一个新的字母，这样整个方程就变成了关于这个新字母的方程，解起来就方便多啦。
二、换元法的具体操作1. 找换元的部分你得先在一元二次方程里找一找，看看有没有那种看起来很复杂，但是又有点规律的部分。
比如说像(x + 3)^2这种，或者是x^2+ 2x + 1这种可以写成完全平方式的部分。
如果是像(x^2 - 2x)+(x^2 - 2x + 1)=5这样的方程，你就可以发现x^2 - 2x这个部分出现了两次，那这个时候x^2 - 2x就是咱们可以换元的部分啦。
咱们就设y = x^2 - 2x，这样原方程就变成了y+(y + 1)=5。
2. 解换元后的方程对于换元后的方程，像刚才的y+(y + 1)=5，这就是个简单的一元一次方程啦。
先把括号打开，y+y + 1 = 5，然后合并同类项，2y+1 = 5。
接着把1移到等号右边，2y=5 - 1，也就是2y = 4，最后解得y = 2。
3. 还原求出原方程的解咱们前面设了y = x^2 - 2x，现在y = 2，那就是x^2 - 2x =2。
这又变成了一个一元二次方程啦。
对于x^2 - 2x - 2 = 0，咱们可以用求根公式x=[-b±√(b² - 4ac)]/2a，这里 a = 1，b=-2，c=-2。
先算b² - 4ac=(-2)² - 4×1×(-2)=4 + 8 = 12。
然后x=[2±√12]/2，化简一下就是x = 1±√3。
三、换元法的小技巧1. 观察要仔细在一元二次方程里，有时候那些可以换元的部分可能藏得比较深，你得瞪大眼睛好好看。
换元法解分式方程
设 1 y x 1
★小技巧：当方程中具有相同的整体或者互为倒数的整
体时可用换元法.
3 知识检测
【练习3】用换元法解下列分式方程.
1
3x x2 3
x2 3 x
13 . 2
解得：x1 3 2 3, x2 3 2
3
x2
3x 1
12 x2 3x .
x2 1 2, x 1
即 x 2 2x 1 0 x3 1 2, x4 1 2.
经检验，x1 0, x2 1, x3 1 2, x4 1 2 是原方程的根.
★小技巧：分子、分母互换的两个分式换元时可以用一
个新元和它的倒数来表示.
3 知识检测
【练习2】下列各分式方程能用换元法进行换元吗？若能请
3
0.
解：设 x2 1 y ,则原方程可化为
x 1
y 2 3 0. y
整理得 y2 3 y 2 0, 解得 y1 1, y2 2.
当
y1 1 时，
x2 1 1, x 1
即 x 2 x 0 x1 0, x2 1.
当
y2 2 时，
2 直接换元
【例1】解方程
x
2
x 1
2
x
x 1
15
0.
解：设 x y,
x 1
则原方程可化为 y2 2 y 15 0,
换元法解分式方程 的一般步骤：
设元
换元
解得 y1 3, y2 5.
当
y1 3
时，
利用换元法解方程(组)
第6讲 利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x+换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一 局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =，4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =- 经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（ ） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】11x =21x = 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得1z =2z =0， ∴2z 舍去即m =n =12= 12=解得112x =+， 212x =-经检验11x =+212x =-是原方程的解∴ 方程的解是11x =+21x =- 【难度】一般类型二 均值换元【例题6】解方程：()()443182x x +++= 【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦ ()()2222412182y y +--=426400y y +-= 解得210y =-（舍），24y =即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三 倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =, 33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四 常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，212x -=，312x --= 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-= ()()2110x t x x t x ⎡⎤⋅++++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2110x x x x ⎡⎤⎤++-=⎣⎦⎦整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦)2110x x ++=或10x +=解得11x =，2x =，3x = 【难度】困难三、实战演练类型一 局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+=设22x x y +=，则 原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（ ） A ．2520y y -+= B. 2520y y +-= C. 2520y y --= D. 2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程）5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时， 22x x +=， 解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，332x -+=，432x --= 【解析】试题分析： 观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析： 解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得3x =，4x =经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =， 312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x = 312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =， 312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】1x =2x = 【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析：解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，213x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+ 试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =- 由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程： 213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析： 本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪-=【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=， 不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --=解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二 均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】1x =2x =3x =，4x = 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得1x =2x =由210y =-得25510x x +-=-，解得3x =4x =∴方程的解是152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++= 【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三 倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。
换元法解无理方程例题
换元法解无理方程例题换元法是解决数学问题的一种常用策略，特别是在处理复杂或难以直接解决的方程时。
以下是一个使用换元法解决无理方程的例子：例题：解无理方程√(x+1) + √(x-1) = 3解：1.设定新变量我们设定新变量以简化方程。
令：√(x+1) = a√(x-1) = b由此，我们可以将原方程转换为：a +b = 32.构建新方程组根据我们设定的新变量，我们可以构建另一个方程来表示x：a^2 = x + 1b^2 = x - 1将这两个方程相减得到：a^2 - b^2 = 23.解新方程组现在我们有了一个新的方程组：a +b = 3a^2 - b^2 = 2解这个方程组，我们首先可以将第一个方程表示为a = 3 - b，然后代入第二个方程得到：(3-b)^2 - b^2 = 2展开并整理得：9 - 6b + b^2 - b^2 = 2进一步整理得：6b = 7从中解出b = 7/6。
代入a = 3 - b得到a = 11/6。
4.验证并求解x将得到的a和b的值代回原设定的等式中求解x：√(x+1) = 11/6 => x+1 = (11/6)^2 => x = (11/6)^2 - 1 √(x-1) = 7/6 => x-1 = (7/6)^2 => x = (7/6)^2 + 1注意这里出现了一个问题，两个表达式得出的x值不一致，这意味着我们前面在解方程组的过程中出现了错误。
实际上，在这个步骤中我们应该验证我们的解是否符合原方程，而不是试图从a和b的值中解出两个不同的x值。
正确的做法是选择其中一个表达式求解x，然后验证这个x值是否满足原方程。
由于我们在步骤3中计算错误，导致得到了不正确的b值。
实际上，我们应该重新检查步骤3并正确地解出a和b的值。
5.修正并重新解方程组回到步骤3中的方程组：a +b = 3a^2 - b^2 = 2我们可以使用差平方公式重写第二个方程为：(a+b)(a-b) = 2。
用换元法解方程
用换元法解方程例1、（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 解：令3x+27=y ，则6x+7=2y ，3x+4=y+21，x+1=31（y-21） 原方程变形为：（2y ）2（y+21）（y-21）=18， 即4y 4-y 2-18=0 解之得y 2=49 y 2=-21 所以y 1=23 y 2=-23 y 3=2i y 4=-2i 所以原方程的解：x 1=-32 x 2=-35 x 3=-67+32i x 4=-67-32i 例2、解方程x 1 +x211-=1235 解：由于定义域是0＜|x|＜1，可引入三角代换x=sin θ（-2π＜θ＜2π），于是原方程可变形为sin 1+cos 1=1235，即θθθ2sin cos sin +=2435 两边平方，得： θθ22sin 1sin2+=5671225 于是得到一个一元二次方程：1225sin 22θ-567sin2θ-567=0， 解之得 sin2θ=2524或sin2θ=-4924 所以 cos2θ=±257或cos2θ=±14735 因此，x=sin θ=±53，±54，±14735+，±14735- 经检验，x=-53，-54，14735+，±14735-都是增根，所以原方程的根是x 1=53，x 2=54，x 3=-14735+ 例3、解方程6622+-x x =21+2x-x 2解：将原方程变形为：x 2-2x+6+6622+-x x -27=0 令y=622+-x x ，则有y 2+6y-27=0。
解的y=3；y=-9（舍去）。
由622+-x x =3，解得x 1=-1，x 2=3，均为原方程的解例4、解方程-x236+x 72-11=（x-6）2解：将方程右边展开经变形可得：（x 2+12+x 236）-12（x+x6）+35=0 令u= x+x6，代入上式，得 u 2-12u+35=0，解得u 1=5，u 2=7. 由x+x 6=5，解得x 1=2，x 2=3；由x+x6=7，x 3=1，x 4=6，他们都是原方程的解 例4、 数列{n a }中，a1=1，1+n a =161(1+4n a +n a 241+)求n a . (构建{}n b ，使n b =n a 241+>0，则b1=5,2nb =1+24n a ,则2412-=n n b a ，故)24141(161241221n n n b b b +-⨯+=-+，所以()221)3(2+=+n n b b ，所以()32131-=-+n n b b ，{bn-3}是以2为首项，1/2为公比的等比数列，=-=2412n n b a 112231232--⨯+⨯+n n ）。
换元法解无理方程
换元法解无理方程一、引言解无理方程是数学学习过程中的一个重要内容。
在过去，求解无理方程的方法非常有限。
相反，在现代数学中，换元法是解无理方程的一个重要技巧。
本文将给出使用换元法来解无理方程的方法，易懂且具体。
二、什么是无理方程通俗来说，无理方程就是含有一个或多个根号的方程。
例如，在方程$x^2 - 3=0$中，方程的解为根号3。
无理方程的解一般是一个有理数和一个无理数的和。
三、换元法解方程对于一个一次的无理方程，我们可以使用简单的代入法来求解。
而对于一个高次的无理方程，推荐使用换元法。
例如，我们考虑如何解方程$x^2+1=2x+3\sqrt{x-1}$。
我们首先将方程两边都平方，得到$x^4-4x^3+6x^2+8x-15=0$。
然后，我们将$x-2$代入方程，得到$(x-2)^4-15=0$。
最终，我们得到$x=\sqrt[4]{15}+2$这个解。
换元法的步骤为：1. 找到一个合适的替换变量。
2. 将原方程用替换变量的平方进行转化。
这个时候，替换变量需要满足一定的条件。
例如，对于$x^2+px+q=0$，替换变量为$x=y-\frac{p}{2}$。
3. 将方程用替换变量转化为具有正整数次幂的多项式方程。
4. 求出解，并将解用替换变量表示，再用原始变量替换回。
四、换元法解方程的例子下面，我们来看几个例子，更加明确的理解换元法的过程。
例子1：解方程$3\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1}=1$解析：我们可以设$y=\sqrt{x-1}$，方程变为$3y-\sqrt{3y^2+10y+4}=1$。
将方程两边平方，消去根号得到$y^2-2y-1=0$。
解这个二次方程，得到$y=1\pm\sqrt{2}$。
将$y$带回替换变量$x$，得到$x=2\pm3\sqrt{2}$。
例子2：解方程$x=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}$解析：对于这个方程，设$y=\sqrt{1+x}$，然后将$x$和$y$消去，得到$y^4-y^2-2y+1=0$。
整体换元法解方程练习题
整体换元法解方程练习题整体换元法是一种常见的解方程方法，通过引入一个新的变量来改写原始方程，从而简化求解的过程。
本文将通过一些具体的练习题来介绍整体换元法的使用和应用。
练习题一：解方程：(2x - 5)^2 = 36解析：首先，我们观察到方程的左边是一个完全平方，所以我们可以通过整体换元法将左边进行改写。
令 u = 2x - 5，那么方程就可以重新表示为 u^2 = 36。
接下来，我们可以通过将方程转化成一元二次方程来求解 u。
u^2 - 36 = 0(u - 6)(u + 6) = 0由此可得 u = 6 或 u = -6。
最后，我们将 u 的值带回原方程，得到两组解：当 u = 6 时，2x - 5 = 6，解得 x = 11/2。
当 u = -6 时，2x - 5 = -6，解得 x = -1/2。
练习题二：解方程：(x + 3)^2 - 2(x + 3) + 1 = 0解析：观察方程，可以发现左边是一个以 x + 3 为一元的完全平方，因此我们可以使用整体换元法来改写方程。
令 u = x + 3，那么方程可以重新表示为 u^2 - 2u + 1 = 0。
接下来，我们可以将方程化简为一个一元二次方程：(u - 1)^2 = 0由此可得 u = 1。
最后，将 u 的值带回原方程，得到唯一的解：当 u = 1 时，x + 3 = 1，解得 x = -2。
练习题三：解方程：√(x - 2) - √(x + 3) = 1解析：观察方程，可以看出方程的特点是两个根号表达式相减等于一个常数。
这种情况下，我们可以应用整体换元法来进行求解。
令u = √(x - 2)，那么方程可以重新表示为 u - √(u^2 + 5) = 1。
接下来，我们对方程进行平方运算，得到：(u - √(u^2 + 5))^2 = 1(u - √(u^2 + 5))(u - √(u^2 + 5)) = 1将 u^2 - (u^2 + 5) = 1 展开，可得 -u^2 - 5 = 1。
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用换元法解各种复杂方程
班级： 姓名：
用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。
[内容综述]
“换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。
在解高次方程、分式方程、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。
[问题精讲]
1.在中学课程中,只要求学生会解一些特殊的高次方程,最常见的就是“双二次方程”，即只含有未知数的四次项、二次项和常数项的方程。
对于这类方程,可以经过对二次项的换元转化为一元二次方程 例1 解方程(x 2+1)2=x 2+3
分析:思路1：以x 2
+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x 2
+1。
思路2：把方程展开成标准的双二次方程，再对x 2进行换元。
解法一：原方程可化为(x 2+1)2-(x 2+1)-2=0，设x 2+1=y 得y 2-y-2=0， 解得 y 1=2，y 2=-1，x 2+1=-1无实根， 由x 2+1=2解得x 1=1，x 2=-1。
解法二：由原方程得x 4+x 2-2=0，设x 2=y （解题熟练时，这一换元过程也可以不写出） 得y 2+y-2=0，解得y 1=1，y 2=-2，x 2=-2无实根， 由x 2
=1解得x 1=1，x 2=-1。
注意：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元的对象。
在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到降次目的的换元方法都可以应用。
但是无论采用哪一种换元方法，所得方程的解都是相同的。
2.解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式作为整体进行换元，达到化去根号转化为可解方程的目的。
这时经过变形，原方程的某个整式部分常可表示为新元的平方。
例2 解方程051356222
=-----x x x x
分析：为使原方程中出现形式相同的部分，可以将其变形为 03135)13(222=------x x x x 。
解：设y x x =--132，则原方程可以化为2y 2
-5y-3=0
解得2
1
,321-
==y y （不符合算术根的定义，舍去。
） 由3132
=--x x 得x 1=5，x 2=-2，经检验是原方程的根。
注：以前学过平方去根号法解无理方程，是种普遍方法。
现在的换元必须构造出根号内外两个相同的式子才行。
3.解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换
的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。
例如方程
1123
311682222=+-+-+x
x x x x x 可变形为112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x 。
设y x x x =-+1
22
2 进行换元可得113
8=+y y ，去分母后化为8y 2-11y+3=0可解。
例3 解方程(
)()x x x
x ++++=151
602 分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
解：设x
x y +=1
，于是原方程变形为y y 2560++=
解得y y 1232=-=-，
均为原方程的根。
，经检验。
，解得时，当；
，解得时，当32
433221243
313212211-=-=-=-=+-=-=-=+-=x x x x x y x x x y 例4 解方程6
12
2x x
x x +=++ 分析 方程左边分式分母为x x 2+，可将右边x x 2+看成一个整体，然后用换元法求解。
解：设x x y 2+=，则原方程变形为6
1y
y =+
解得，当时，，此方程无实根。
当时，，解得，。
经检验，，都是原方程的根。
y y y x x y x x x x x x 121222
121232
33222121=-==-+=-=+==-==-=
例5 解方程122103
+
++=x x x 分析：这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解：原方程为x x x x +++=2210
3
设
，则原方程可变形为x x y y y +=+=2110
3
解得，当时，，解得y y y x x x 121131
3
3231
4
==
=+==
当时，
，解得y x x x 22132139
4
=+==- 经检验，都是原方程的根。
x x 12149
4==-
例6 解方程
131131422x x x x x
x -+⋅+-+=() 解：设131
42-+=+=x
x y xy x y ，则原方程变形为()
又由韦达定理，知，是方程的两根
解得，即或xy x y x x x x x xy x y z z z z xy x y xy x y ++=-++++=+-+====+=⎧⎨⎪⎩⎪=+=⎧⎨⎪⎩⎪()13113
113
1342067
6776
22212
所以，，，x x x x 1234163232===+=-
经检验，，，都是原方程的根。
x x x x 1234163232===+=-
例7
2
3
4884
=+---+x x x x
分析：本题既是无理方程也是分式方程，换元时可以设根号内的分式为新元，也可以直接设连同根号的分式为新元。
下面给出按后一种思路换元的解法。
解：设
y x x =-+8
4
，则原方程可以化为231=-y y ， 整理得 2y 2-3y-2=0，解得211-=y ，y 2=2，2
1
84-=-+x x 舍去。
由28
4
=-+x x 解得x=12，经检验是原方程的根。
对于例3也可以用两边平方的方法直接求解：原方程两边平方得
4
9
48284=+-+--+x x x x ，整理后去分母化简得x 2-4x-96=0，
解得x 1=-8，x 2=12，代入原方程检验可知x 1=-8是增根。
所以x=12是原方程的根。
由例2、例3等可以看出，对于分式方程或无理方程使用换元法后，仍需对所求根进行检验。
实际上，根据验根的原则，有些特殊方程不求出根就可以判断它无解或无实根。
如
03
22
2,
4612=-+-=+-x x x x
[强化练习] 解下列方程：
1、2433
21
02
2x x x x -----= 2、
192
9
1=+-+
x
x
x
3、
821312112222()()x x x x x x +-+-+=； 4、213
3112222=+---+x x x x。