2013年高考理科数学试卷--安徽卷(含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -
2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
（A ）
16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112
3．在下列命题中，不是公理．．
的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行
（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的
（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样
（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2
x x x 或，则(10)>0x f 的解集为
（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x
（C ） {}|>-lg2
x x （D ）{}|<-lg2x x
7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22
R π
θρρ∈和
（C ） =
()cos=12
R π
θρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和
8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是
（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集
{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是
（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43
10．若函数3
()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同
实根个数是
（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11．若8
3
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4
x 的系数为7，则实数a =______。

12．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。

若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____. 13．已知直线y a =交抛物线2
y x =于,A B 两点。

若该抛物线上存在点C ，使得ABC ∠为直角，则a 的取
值范围为___ _____。

14．如图，互不-相同的点12
,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，
且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________。

15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P ,Q 的
平面截该正方体所得的截面记为S 。

则下列命题正确的是__①②③⑤___（写出所有正确命题的编号）。

①当102CQ <<
时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当3
4
CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =
；④当3
14
CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62。

三.解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡上
的指定区域内。

16．（本小题满分12分）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛
⎫
=⋅+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π。

（Ⅰ）求ϖ的值； （Ⅱ）讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性。

17．（本小题满分12分）设函数2
2
()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间|()>0I x f x = （Ⅰ）求的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）； （Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当时，求l 长度的最小值。

18．（本小题满分12分） 设椭圆22
22
:11x y E a a +
=-的焦点在x 轴上 （Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，
并且11F P F Q ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。

19．（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为p 。

底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。

AB 和
CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°。

（Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。

[来源:学,科,网]
20．（本小题满分13分）设函数22
222()1(,)23n
n n x x x f x x x R n N n
=-++++
+∈∈，证明： （Ⅰ）对每个n
n N ∈，存在唯一的2[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；
（Ⅱ）对任意n
p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<。

21．（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李
老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）。

假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到。

记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x （Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （Ⅱ）求使()P X m =取得最大值的整数m 。

参考答案
一、选择题 1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A
11．
21 12．π3
2
13．),1[+∞ 14．*,23N n n a n
∈-=
15．①②③⑤ 16．解： （Ⅰ）2)4
2sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22
++
=++=+⇒π
ωωωωωωx x x x x x
122=⇒=⇒
ωπωπ.所以1,2)4
2sin(2)(=++=ωπ
x x f （Ⅱ） ；
解得，令时，当8
242]4,4[)42(]2
,
0[π
ππππππ
π
==++∈+
∈x x x x 所以.]2
8[]8
,
0[)(上单调递减，上单调递增；在在π
ππ
x f y =
17．解： （Ⅰ）
)
1,
0(0])1([)(2
2a a x x a a x x f +∈⇒>+-=.所以区间长度为21a a
+. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a
a a
a
l 1112
+
=+=
恒成立令已知k k
k k k k a k k -111
0-111.1-10),1,0(2>+∴>⇒>++≤≤<∈。

2
2)1(11)1(1111)(k k
k k l k a a a a g -+-=-+-≥⇒-=+
=⇒这时时取最大值在 所以2
)
1(111k k
l k a -+--=取最小值
时，当. 00
225
(1)1(0)1(1)9
P P C p p ξξ≥=-==--=
18．解： （Ⅰ）13
858851,12,12
22
2
2
2
2
2
=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为：
. （Ⅱ） ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012
∈∈⇒∈⇒>-y x a a .
⎩
⎨
⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c yc
x c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒2222222
2
222
222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c x
y x y x y x y
x y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(112122
22
22222 [来源:Z*xx*] 所以动点P 过定直线01=-+y x .
19．解： （Ⅰ）
PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面
//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面
与面面C . （Ⅱ） r
PO
OPF F CD r =
︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒
-︒
=︒∠==︒⋅︒⇒=
︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2
COD r OF PO OF . )
223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以。

法二：
20．解： （Ⅰ） 224232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时，当是x
的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x ，且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅
++-<--⋅++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122242322 时当]1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f
综上，对每个n
n N ∈，存在唯一的2[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；(证毕)
（Ⅱ） 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x
x x x x x f x x n
n n n n n n n p
n n
0)
()
1(4
3
2
1)(2
2
12
2
4
2
3
2
2
=++
+++
+
++
+
+
+-=+++++++++++p n x n x n
x x x x x x f p
n p
n n p
n n
p n p n p n p n p n p n p n 上式相减：
2
21
224
23
22
2242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n
p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++
++++++++=++++++++++++++
）
（
）（2
2
12
2
4
42
3
32
2
2)
()
1(-4
-3
-2
--p n x n x n
x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ n
x x n p n n p n n 1
-111<⇒<+-=
+. 法二：
21．解： （Ⅰ）
n
k
A P n k A P A -1)()(==，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件.
)()(),()(A P B P A P B P B ==师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件.
师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件C .
则22)(2)1(1)B P()A P(-1=P(C)n
k
n k n k -=-
-=⋅. 所以，2)(2n
k
n k -老师的通知信息为学生甲收到李老师或张
.
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