2013年高考理科数学试卷--安徽卷(含答案)

2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析

2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（=8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）1211211．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，代入），则，由则，解得S=+的值，并输出．S=+的值S=++．）=5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，[）﹣﹣6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为，由指数函数的单调性可得解集．}＜可化为，即（故圆的两条切线方程分别为8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）由解：∵表示（若本题考查的知识点是斜率公式，正确理解9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）=满足=）．再设由．所以，解得等价于或或则区域面积为1211211．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．，的展开式中，∴，解得故答案为．角C=．cosC=﹣C=故答案为：A为直角，可得A B，=m14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．，利用已知可得的中位线，得到，梯形相似比的平方可得：，，，已知，，可得}解：设，∵的中位线，∴，∴梯形）都相似，∴，，，∴，}，故．．故答案为．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．CQ==，只需在CQ=N=，故正确；＜为菱形，故其面积为AC PF=16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．]2x+]）sin cos（+x++=2x+），，所以2x+≤≤2x+时，即时，≤2x+时，即[，17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a）x，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；，，），区间长度为=＜上取得最小值长度的最小值为18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出），其中的斜率=的方程为Q．得到直线的斜率．利用．化为，∴，解得的方程为．），其中的斜率==．的方程为．，解得Q．的斜率==化为联立解得底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；，∴OC=COF=1220．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．）＜，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．1+x+++++（+[+•+×﹣＜n++++++]≤≤=．．和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；立事件，所以相互独立，由于=，故（）﹣﹣所包含的基本事件总数为（包含的基本事件数为﹣﹣＜﹣[]﹣k=≥＜＜﹣。

[VIP专享]2013年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

相反，当y f (x)在(0， )上单调递增 a 0 ,
a 0是y f (x)在(0， )上单调递增的必要条件.
故前者是后者的充分必要条件。所以选 C （5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
（B）1 i （D） 1-i
第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
【答案】A 【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。所以选 A
（4）"a 0"“是函数 f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+) 内单调递增”的
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2

2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若i+2=2z z z，则z＝() A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，（步骤1）所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.（步骤2）2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()第2题图A．16B．2524C．34D．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s==，n＝2＋2＝4；（步骤1）返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；(步骤2)返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s=.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a 0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a 0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=，所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x＜12，所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，(步骤1)故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB ==，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+∈R 所表示的区域的面积是 ( )A ．22B ．23C ．42D ．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA OB ＝2，可得出∠AOB ＝60°，(步骤1) 点A (3，1)，点B (3，－1)，点D (23，0)．（步骤2）现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.x y λμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|1，λ，μ∈R ，（步骤3）可得33,11,xy ⎧-⎪⎨-⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式，再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1) 又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CA＝(a x--，2a x-)，CB＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CA CB＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－10，∴a 1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA1＝1，OA2＝2.（步骤1）又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴1122221221124OA BOABS OAS OA()⎛⎫===⎪()⎝⎭△△.∴1122A B B AS梯形＝311OA BS△＝3S.(步骤2)∵所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OA n B n，∴11113132n nOA Bn OA BSOA SOA S S n S n∆∆===+(-)-.∴1132naa n=-，∴32na n=-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断.【难易程度】较难【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ＝12时，D1Q2＝211D C＋C1Q2＝54，AP2＝AB2＋BP2＝54，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜12时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；（步骤3）当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，可知AC 13EP 2，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E ＝62，故⑤正确．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx πsin 4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)f (x )＝4cos ωx sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0x π2，则ππ5π2444x +.（步骤3）当πππ2442x +，即π08x 时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x +，即ππ82x 时，f (x )单调递减．（步骤4）综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k a 1＋k 时，求I 长度的最小值．【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a 1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k a 1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +，直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2）当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4）化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4）故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1）由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP tan ∠OPF ＝h tan 60°＝3h .（步骤5）根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6）由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此(21)21OC h ==+-.（步骤7）在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x xx n-+++++(x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n xx n-++＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n2时，f n (1)＝22211123n+++＞0，故f n (1)0.又2222221121131()3334334kkn n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4）从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n 1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑111n n p n =-<+.（步骤5）因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k m t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2）此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k kn n------=. 当k m ＜t 时，P (X ＝m )P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2(n －m )(2k －m )⇔m 2(1)22k k n +-+.（步骤3）假如k 2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k 2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k 2(1)22k k n +-+＜t .因为1k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k 2(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。

2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若i+2=2z z z，则z＝() A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，（步骤1）所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.（步骤2）2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()第2题图A．16B．2524C．34D．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s==，n＝2＋2＝4；（步骤1）返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；(步骤2)返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s=.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a 0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a 0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=，所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x＜12，所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，(步骤1)故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB ==，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+∈R 所表示的区域的面积是 ( )A ．22B ．23C ．42D ．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA OB ＝2，可得出∠AOB ＝60°，(步骤1) 点A (3，1)，点B (3，－1)，点D (23，0)．（步骤2）现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.x y λμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|1，λ，μ∈R ，（步骤3）可得33,11,xy ⎧-⎪⎨-⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式，再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1) 又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CA＝(a x--，2a x-)，CB＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CA CB＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－10，∴a 1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA1＝1，OA2＝2.（步骤1）又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴1122221221124OA BOABS OAS OA()⎛⎫===⎪()⎝⎭△△.∴1122A B B AS梯形＝311OA BS△＝3S.(步骤2)∵所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OA n B n，∴11113132n nOA Bn OA BSOA SOA S S n S n∆∆===+(-)-.∴1132naa n=-，∴32na n=-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断.【难易程度】较难【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ＝12时，D1Q2＝211D C＋C1Q2＝54，AP2＝AB2＋BP2＝54，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜12时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；（步骤3）当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，可知AC 13EP 2，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E ＝62，故⑤正确．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx πsin 4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)f (x )＝4cos ωx sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0x π2，则ππ5π2444x +.（步骤3）当πππ2442x +，即π08x 时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x +，即ππ82x 时，f (x )单调递减．（步骤4）综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k a 1＋k 时，求I 长度的最小值．【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a 1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k a 1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +，直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2）当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4）化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4）故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1）由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP tan ∠OPF ＝h tan 60°＝3h .（步骤5）根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6）由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此(21)21OC h ==+-.（步骤7）在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x xx n-+++++(x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n xx n-++＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n2时，f n (1)＝22211123n+++＞0，故f n (1)0.又2222221121131()3334334kkn n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4）从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n 1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑111n n p n =-<+.（步骤5）因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k m t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2）此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k kn n------=. 当k m ＜t 时，P (X ＝m )P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2(n －m )(2k －m )⇔m 2(1)22k k n +-+.（步骤3）假如k 2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k 2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k 2(1)22k k n +-+＜t .因为1k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k 2(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。

2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+，所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（）（A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ．（4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错；对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错；对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ．解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（）（A ）{|}1lg2x x x <->-或（B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和（B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和（D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（）（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A ，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是．【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =，得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11nnn n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1）图（2）图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减．综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值．解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +．（2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+．因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+，直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-，即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-．由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒．（1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；（2）求cos COD ∠．解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ．由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan 22.51tan45︒-=︒=︒和tan22.50︒>，得tan22.51︒，因此1)OC h ==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠---=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增．由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==．由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<．对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．（2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===．当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值；当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+．显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷)一、单项选择题，共10 题，每题5分1、设i数单位，是复数z共轭复数，若z ，则=（）(A) 1+i(B) 1-i(C) -1+i(D) -1-i【答案】A;2、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）(A)(B)(C)(D)【答案】D;3、在下列命题中，不是公理的是（）(A) 于同一个平面的两个平面相互平行(B) 在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(C) 一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内(D) 两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A;4、“是函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的（）(A) 充分不必要条件(B) 不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】C;5、某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）(A) 抽样方法是一种分层抽样(B) 抽样方法是一种系统抽样(C) 名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差(D) 级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C;6、已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则的解集为（）(A)(B)(C)(D)【答案】D;7、在极坐标系中，圆p=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）(A)(B)(C)(D)【答案】B;8、函数y=f(x)的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数使得则的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)【答案】B;9、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A,B满足则点集所表示的区域的面积是（）(A) (B) (C) (D)【答案】D;)=x1，10、若函数有极值点，，且f(x则关于x的方程的不同实根个数是（）(A) 3(B) 4(C) 5(D) 6【答案】A;二、填空题，共 5 题，每题5分1、若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________。

2013年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以z=1+i．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．解答：解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：直线的斜率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d （a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．故椭圆E的方程为．（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．故直线F2P的方程为．令x=0，解得．即点Q．因此直线F1Q的斜率=．∵F1Q⊥F1P，∴=．化为．联立，及x0＞0，y0＞0，解得，．即点P在定直线x+y=1上．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．解答：证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+++…+=0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n 进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k ﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=m=2k﹣[]点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。

2013年安徽高考数学真题及解析

2013年安徽高考数学真题及解析数学(理科)本试卷分第【卷和第∏卷(非选择题)两部分，第【卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分 150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P(A + B) = P(A) +P(B)如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B)第I 卷(选择题共50分)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设是虚数单位，Z 是复数Z 的共辄复数，若∕=I Λ-∣∕(X )>0∣.^+2=2Z ,则Z =(A) I+/ (B) I-Z (C) -1+/(D) -1√【答案】A【解析】设 z = a + bi,贝IJZ = a - bi.z ・ zz + 2 = 2z => (a + bi)・(a - bi)i + 2 = (a 2+b 2)i + 2 = 2a + 2bi【解析】・.・$ = 0 +丄+丄+丄=6 + 3 + 2=q.. S = Ii 所以选 2 46 12 12 12(3) 在下列命题中，不是公理的是• •(A) 平行于同一个平而的两个平而相互平行(B) 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平而(C) 如果一条直线上的两点在一个平而内，那么这条直线上所有的点都在此平而内 (D) 如果两个不重合的平而有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线a~ + b~ = 2ba = 1=> Z = 1 + /2 = 2ab = ∖ ■所以选A(2) 如图所示，程序框图(算法流程图)的输岀结果是1 25 (A)-(B)—6 24(C) 2(D)Il412【答案】D9(2)ASD【解析】B.CQ说法均不需证明，也无法址明，是公理：C选项可以推导证明，故是泄理。

(A) θ=O(p∈ /?)和PCOS=2 (B) θ=-{pe /?)和PCOS=2(4)''a < O" “是函数/(x)=∣(drl)x∣在区间(0,+S)内单调递增”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当沪O时，f(x)=∣Λ∣=>y = f(x)¢(0,+ 00)上单调递增；当GVo且x>0时，/(x) = (-OX+1)Λ,y = /(Λ∙)在(O, + =)上单调递增所以a ≤ 0⅛y =八力在(0, +CO)上单调递增的充分条件相反，÷⅛y = ∕(x)在(0, + s)上单调递增=>a≤0,=> a 5 O是y = /(;V)在(0, + CO)上单调递增的必要条件故前者是后者的充分必要条件。

2013安徽--高考数学理科试题及解析(精校版)

【解析】（Ⅰ）
.
所以, .
（Ⅱ） .
.
。
法二：（Ⅰ）证明;设面与面的交线为，
因为，不在面内，所以 ,
又因为 ,面与面的交线为，所以，
由直线在底面上，而在地面外可知，与底面平行。
（Ⅱ）解：设的中点为，连接 ,
由圆的性质， ,
因为
又 ,因此 ,而直线在面上的射影为直线，故
5．C【解析】对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。
对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。
对C选项，男生方差为40，女生方差为30。所以C选项正确。
对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以D选项错。
所以选C
6．D【解析】由题知，一元二次不等式的解集是，即 .所以x<-ln2,所以选D。
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是
7．B【解析】在极坐标系中，圆心坐标
所以选B
8．B【解析】由题知，过原点的直线y = x与曲线相交的个数即n的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4.
所以选B
9．D【解析】考察三点共线向量知识:
.
在本题中， .
建立直角坐标系，设
A(2,0),
所以选D
10．A【解析】使用代值法。
设 .
.
所以选A

2013年高考试题——数学理(安徽卷)解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi2a 2)i b (a2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524 （C ）34（D ）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是（A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；C 选项可以推导证明，故是定理。

所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒=.)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013年安徽高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A ．16B ．2524C ．34D ．11123．在下列命题中，不是．．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x)＞0的解集为( )． A ．{x|x ＜－1或x ＞－lg 2} B ．{x|－1＜x ＜－lg 2} C ．{x|x ＞－lg 2} D ．{x|x ＜－lg 2} 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是( )．A． B．．．10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.13．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．15．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·πsin 4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．18．(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11x ya a+-的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P ⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123n x x x x n-+++++ (x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2， a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i. 2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4；返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理． 4．答案：C解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-) ＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=，所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x＜12，所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B 解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()() 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()---- ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．答案：D解析：以OA ，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA ·OB＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得,11,x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12解析：∵8x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 2223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA ＝(0x ，20a x -)，CB ＝0x ，20a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA ·CB＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1. 14．答案：n a 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1n OA OA ===∴1n a a =，∴n a =. 15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx ·cos ωx ＋2ωxωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221a x a=+，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增；当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k--+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +，直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c --．当x ＝0时，y ＝00cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l . 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行． (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan∠OPF ＝h. 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此1)OC h ==. 在Rt △OCF 中，cos∠COF＝OF OC ==，故cos ∠COD ＝cos(2∠COF)＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++ ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n+++ ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑·2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-，所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++= ，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n pn p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+) ＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+≤∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+. 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n--=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n kn k n k n k ------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m kn k n k kn k k kn n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k≤2(1)22kkn+-+＜t.因为1≤k＜n，所以2(1)22kkn+-+－k＝221111222kn k k k k kn n n--(+)---≥=≥+++.而22(1)12<022k n kk nn n+(-+)--=-++，故2k－k＋12n＋2＜n.显然2(1)22kkn+-+＜2k.因此k≤2(1)22kkn+-+＜t.。

2013年高考安徽理科数学试题与答案(word解析版)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（ 1）【 2013 年安徽，理 1， 5 分】设 i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若zz ·i+2=2z ，则z （）（ A ）1 i （B ）1 i （C ）1 i （ D ）1 i【答案】 A【解析】设 z abi( a, bR )，则由z ·zi+2=2z 得(abi )(a bi )i 22( abi ) ，即 (a 2 b 2 )i2 2a 2bi ，所以 2a 2 ， a 2 b 2 2b ，所以 a 1 ， b 1 ，即 z a bi 1 i ，故选 A ．（ 2）【 2013 年安徽，理 2， 5 分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）（A ）1（B ）25（C ）3（D ）11624412【答案】 D【解析】开始 2 8 ，s1 1， n 2 2 4 ；返回， 48 ，s 1 1 3 2 6 ；2 2 24， n 44返回， 68 ，s3 1 11 6 2 8 ；返回，811，故选 D ．46， n8 不成立，输出s1212（ 3）【 2013 年安徽，理 3， 5 分】在下列命题中，不是公理的是（）．．（ A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（ C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（ D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】 A【解析】由立体几何基本知识知， B 选项为公理 2，C 选项为公理 1，D 选项为公理 3，A 选项不是公理，故选 A ．（ 4）【 2013 年安徽，理 4， 5 分】“a 0 ”是 “函数 f x | (ax 1)x | 在区间 (0， ) 内单调递增”的（）（ A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】函数f x 的图象有以下三种情形：a 0a 0a 0由图象可知f x 在区间 (0， ) 内单调递增时， a 0 ，故选 C ．（ 5）【 2013 年安徽，理 5， 5 分】某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93 ．下列说法一定正确的是（）（ A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（ C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（ D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】 C【解析】解法一：对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错；对 B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错；对 C 选项，男生方差为 40，女生方差为30．所以 C 选项正确；1对 D 选项，男生平均成绩为 90，女生平均成绩为91．所以 D 选项错，故选 C ．解法二：五名男生成绩的平均数为1 ( 86 94 88 92 090 ，59 )五名女生成绩的平均数为1 88 93 93 88 9391，590 290 290 290 290 2五名男生成绩的方差为s 12 8694 88 92 90 8 ，288 91291 25五名女生成绩的方差为s 22 3 93 6 ，所以 s 12 s 2 2，故选 C ．5（ 6）【 2013 年安徽，理 6，5 分】已知一元二次不等式fx0 的解集为 x x或 x1 ，则 f 10x＞0 的解1 2集为（）（ A ）{ x | x 1或x lg2}（ B ） { x | 1 xlg2}（ C ） { x | xl g 2}（ D ） { x | xl g2}【答案】 D【解析】由题意知1 10x1 ，所以 x lg 1lg 2 ，故选 D ．22（ 7）【 2013 年安徽，理 7， 5 分】在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）（ A ） 0( R )和cos2 （ B ） ( R )和cos 2（ C ）(R )和cos1（ D ）0(R )和cos1【答案】 B【解析】由题意可知，圆2cos 可化为普通方程为(x1)2 y 2 1 ．所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x0 和 x2 ，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为( R )和cos 2 ，故选 B ．（ 8）【 2013 年安徽，理 8， 5 分】函数 yf x 的图象如图所示，在区间 [ a, b] 上可找到 n n2个不同的数 x 1 , x 2， , x n ，使得f1=f2==f x n，则 n 的取值范围是（）x x x nx 1x 2（ A ） 3,4（ B ） 2,3,4（ C ） 3,4,5（D ） 2,3【答案】 B【解析】f x 1= f x 2 = = f x n 可化为fx 1 0 = f x 2 0 = = f x n，故上式可理解为 y f x x 1 x 2 x n x 1 0 x 2 0 x n 0 图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即 n 可看成过原点的直线与 y f x 的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为 n 2 ，②为 n 3 ，③为 n 4 ，故选 B ．（ 9）【 2013 年安徽，理 9，5 分】在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A ，满足 OA=OBOA OB2 ，B则点集 P OP= OA+ OB , 1, R 所表示的区域的面积是（）（A ）2 2（B ）2 3（C ）4 2（D ）4 3【答案】 D【解析】以 OA ， OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于 x 轴对称，由已知 OA = OB OA OB2 ，可得出 AOB 60 ，点A3,1 ，点 B 3, 1 ，点 D 2 3,0 ，现设 P( x ， y) ，则由 OP= OA+ OB 得 x, y3,13, 1 ，即3y x，由于1 ，，R ，可得3 x 3，画出动点 P(x ， y)1 y 1满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为2 3 2=4 3 ，故选D ．（ 10）【 2013 年安徽，理 10，5 分】若函数 f xx 3 ax 2bx c 有极值点x 1，x 2 ，且 f x 1x 1，则关于 x 的方程 3 fx22af x b0 的不同实根个数是（）2（A ）3（B ）4（C ） 5（D ）6【答案】 A【解析】由 f x 3x 2 2ax b 0 得，xx 1或 x x 2，即3 f x 2x 1或 f x x 22af x b 0 的根为 f x的解．如图所示x 1x 2x 2x 1由图象可知 f x x 1有 2 个解， f xx 2有 1 个解，因此 3 f x23，2af x b 0 的不同实根个数为故选 A ．第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．（ 11）【 2013 年安徽，理 11，5 分】若将函数f xsin 2x的图像向右平移个单位，所得图像关于y 轴4对称，则的最小正值是．【答案】128a1r8 rrr 8 rr3rr r 8 r3r rr3 3【解析】 ∵( x )x3，∴ 87 ，x的通项为 C 8 xa=C 8 a xC 8 a xr4 ，解得 r 3 ．∴ C 8 a3x3得 a 1．2（ 12）【 2013 年安徽，理 12，5 分】设 ABC 的内角，，C 所对边的长分别为a c2a ，3sinA 5sinB ，则角 CAB．【答案】2π3【解析】∵ 3sinA5sinB ，∴ 3a 5b ．①又∵ bc 2a ，②∴由①②可得，a5 7b ， cb ，223357b 2 a 2c 2b2b b 1，∴ C2π．∴ cosC3532 ab2 b b233a 交抛物线y x 2于 A ， B 两点．若该抛物线上存在点（ 13）【 2013 年安徽，理 13，5 分】已知直线y C ，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为．【答案】 [1， )【解析】如图，设C( x 0 , x 02 )( x 02a) ， Aa, a ， B a, a ，则 CA ax 0 , a x 0 2 ，CBa x 0 , a x 02．∵ CA CB ，∴CA CB 0，即a x 02a x 02 20 ，220 ，∴ x 0 2a 1 0 ，∴ a 1 ．a x 01 a x 0（ 14）【 2013 年安徽，理 14， 5 分】如图，互不相同的点A 1， A 2，⋯， A n ，⋯和B 1， B 2，⋯， B n ，⋯分别在角 O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n 1A n 1的面积均相等．设 OA n a n ．若a 1 1， a 22 ，则数列 a n 的通项公式是．【答案】a n3 2n3【解析】设 S OABS ，∵a 1 1 ，a 2 2，nn ，∴1，22 ．又易知1 1∽2 2，1 1OA aOA 1OAOABOA BSOABOA 21 211∴ 112．∴S 梯形A 1B3SOA 1B 13S ．∵所有梯形 A n B n B n 1 A n 1的面积S OABOA 2241B 2A222均相等，且OA 1 S OA 1B 1 SOA 1 B 1∽ OA n B n ，∴S OA n B nS 3 n 1 SOA n∴ a n 3n 2 ．（ 15）【 2013 年安徽，理 15，5 分】如图，正方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1的棱长为为线段 CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为的是 __________( 写出所有正确命题的编号 )．1 ．∴a 1 1 ，3n 2 a n3n 21，P 为 BC 的中点， QS ．则下列命题正确①当 0 CQ1时， S 为四边形；②当 CQ12时， S 为等腰梯形；2③当 CQ3时， S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R1；④当 3 CQ 1时，S 为六边形；434⑤当 CQ1时， S 的面积为62【答案】①②③⑤【解析】当 CQ1时， D 1Q2D 1C 12C 1Q25，AP2AB2BP25，所以D 1QAP ，又因为 AD 1 / /2PQ ，244所以②正确；当0 CQ1时，截面为 APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；23时，由 QCN ∽ QC 1 R 得C 1Q11，故③正确；如（ 2）图，当CQC 1R，即4C 1R， C 1R4CQCN3 13如图（ 3）所示，当34CQ 1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当CQ1时，截面为APC 1E ，4可知 AC 13， EP2 ，且四边形 APC 1 E 为菱形，S 四边形APC 1E6，故⑤正确．2图（ 1）图（ 2）图（ 3）三、解答题：本大题共6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（ 16）【 2013 年安徽，理 16， 12 分】已知函数 f x 4cos x ·sin xπ ( 0) 的最小正周期为．4（ 1）求的值；（ 2）讨论 f(x)在区间 0,π上的单调性．2解：（ 1） f x 4cosx sinx π2 2sin x cos x 2 2cos 2x2 sin2 x cos2x242sin π2 ．因为 fx 的最小正周期为，且0 ，从而有2π ．2 x2 =π，故144（ 2）由（ 1）知， f x2sin 2 x π 2．若0 x π，则 π 2x π 5π．4 2 4 4 4当π2x π π即 0 xπ时， f x 单调递增；当 π 2x π 5π即πx π时， f x 单调递减．4 4 2 82 4 4 8 2综上可知， f x 在区间 π 上单调递增，在区间 π π 上单调递减．0, ,28 8（ 17）【 2013 年安徽，理 17， 12 分】设函数 f x ax1 a 2x 2，其中 a0，区间Ix | f x0 ．（1）求I 的长度 (注：区间 ( ， ) 的长度定义为；（ 2）给定常数 k0,1 ，当 1 ka 1 k 时，求I 长度的最小值．解：（ 1）因为方程ax1 2x 20 a0 有两个实根x 1 0 ，x 2a ，故 f x 0 的解集为x | x 1 xx 2 ．a1a 2因此区间 I0,a， I 的长度为a ．1 a21 a2a1 2（ 2）设d a，则 d aa．令 d a0 ，得 a 1．0 k1，故当 1ka 1 时，d a0 ，1 a 21 2 2ad a单调递增；当 1 a 1 k 时， d a0 ， d a 单调递减．所以当1 ka1k 时， d a 的最小1 k值必定在 a1 k 或 a1 k 处取得．而d 1 k1 1 k d 1k1 k11 k22 k 2k 3 1 ，故 d 1 k d 1 k．2 k2k32因此当 a 1k 时， d a 在区间 1k,1k 上取得最小值1 k2．22k22k（ 18）【 2013 年安徽，理18， 12 分】设椭圆 E ：x2 y a 2=1的焦点在 x 轴上．a 1（ 1）若椭圆E 的焦距为 1，求椭圆E 的方程；（ 2）设F 1，F 2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线F 2 P 交 y 轴于点Q ，并且 F 1 P FQ ．证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．122解：（ 1）因为焦距为 1，所以 2a 21 1 ，解得 a 25．故椭圆 E 的方程为8x8 y =1 ．4853y 0（ 2）设P(x 0, y 0)， F 1c,0 ， F 2 c,0 ，其中 c2a 2 1 ．由题设知x 0c ，则直线 F 1P 的斜率k F 1P，x 0c直线 F 2 P 的斜率k F 2Py 0c ，故直线 F 2 P 的方程为yy 0 (x c) ．当 x0 时， ycy 0 ，x 0 x 0 cc x 0即点 Q 坐标为 cy 0 ．因此，直线 FQ 的斜率为k F 1Qy 0 ．(0, )c x 01c x 0由于11k F 1Qy 0y 0 1 ．化简得 22 (2 a 21) ．①F PFQ ，所以k F 1Px 0c c x 0y 0 x 0将①代入E 方程，由于点 P( x ，y )22 P在第一象限，解得 x 0 a， y 0 1a ，即点在定直线xy1上．（ 19）【 2013 年安徽，理 19，13 分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为 O ，其母线与底面所成的角为22.5 ， AB和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60 ．（ 1）证明：平面PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面；（ 2）求 cos COD ．解：（1）设面PAB 与面 PCD 的交线为 l ．AB / /CD ，AB 不在面 PCD 内，所以 AB / / 面 PCD ．又因为 AB 面 PAB ，面 PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB / /l ．由直线 AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（ 2）设 CD 的中点为F ．连接OF ， PF ．由圆的性质，COD 2COF ， OF CD ．因为 OP 底面，CD 底面，所以OP CD ．又OPOF O ，故CD 面OPF ．5又 CD 面 PCD ，因此面 OPF 面 PCD ．从而直线 OP 在面 PCD 上的射影为直线 PF ，故 OPF 为 OP 与面 PCD 所成的角． OPF 60 ．设 OP h ，则 OF OP ant OPF h an60th根据题设有 OCP22.5 ，得 OCOPh．由1 tan452tan 22.5 和 tan22.5tan OCPtan 22.51 tan2 22.5得 tan22.52 1 ，因此OCh( 2 1)h ．在 RtOCF 中，cos COFOF3h 621OC2 1 h故 cos COD cos(2 COF ) 2cos 2 COF12( 63) 2 1=17 12 2 ．x 23xn（ 20）【 2013 年安徽，理20， 13 分】设函数 f nx1 xx2 ( xR ，nN *) ．证明：2 23 2n（ 1）对每个 nN *，存在唯一的x n 2,1 ，满足 f n x n0 ；3（ 2）对任意 p*xx n1N ，由（）中n 构成的数列满足 0nn p．1xx nn 1解：（ 1）对每个 nN *，当x 0 时， f n x1+ xx 0 ，故 f n x 在 (0， ) 内单调递增．2 n 由于 f 1 10 ，当 n2 时， f n 11 110 ，故 f n 1 0 ．2232n22n 1k222k1n 122n31 1n1 1331 22又fn31 3k 2 k 23 4 k 2( 3)3 41 23 30 ，3所以存在唯一的x n 2x n0 ．,1 ，满足 f n3（ 2）当 x0 时， f n 1 x f n xx n 1f n x ，故 f n 1 x nf n x n fn 1xn 10 ．n1 2由 f n 1 x 在 (0，) 内单调递增知，x n1x n ，故x n为单调递减数列，从而对任意 n ， pN *，x n p*x 2x n对任意 pN ，由于f nx n1x nnn0 ，①22n 22nn 1n pfn pxn p1+x n ＋p xn pxn pxn pxn p0 ．②22n 2n 12np 2nxk xkn pxn kn pxn k①式减去②式并移项，利用x nx n 1 ，得 x nx nn pnppppk 2k 2k n 1k 2k n 1k 2n p1n p11 1 1．因此，对任意p *，都有 0 x n x n1 ．2k n 1k(k 1) n n p nN pk n 1 kn．0 ， 3 ，x n ．（ 21）【 2013 年安徽，理 21， 13 分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加 ( n 和 k 都是固定的正整数 )．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ．（ 1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（ 2）求使 P X m 取得最大值的整数m ．解：（ 1）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以 A 与 B 相互独立．由于P A P B C n k11k A=PB1kk，故 P，因此学生甲收到活动通知C n n n22 ．信息的概率 P 1 1k2kn kn n2（ 2）当 k n 时， m 只能取 n ，有 P X m P X n 1 ．当 k n 时，整数 m 满足 k m t ，其中t是 2k6和 n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为 (C n k ) 2．当 Xm 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m ．仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k ．由乘法计数原理知：事件Xm 所含基本事件数为k 2 k m m kk m km k ．此时PXmC n k C k 2k m C n m k kC k m k C n m k k．C n C kCn kC n C kCn k(C n k )2C n k当 km t 时， P X m P X m 1C m k C m k ≤ m 1 km 1 k m k 1 2n m 2k mkn kC kCn km2k( k2 ．假如 k 2k( k1) 2t 成立，则当 k1 能被 n2 整除时，2n 2n 22222k 2k( k 1) 2 k 1 (k 1)t ．故 P Xm 在 m2k(k 1) 和 m 2k 1 (k1)处达最大值；n2n 21)2n 2n 2当 k 12m 在 m(k 处达最大值． (注： x 表示不超过 x 的最不能被 n 2 整除时， P X2 k2n(k 2(k2kn 21大整数 )，下面证明 k2k1) t ．因为 1k n ，所以 2k 1) kkn 2n 2 n 2k k 1 k21 k 1(k 1)2n k 1 220 ．而2kk 1 n ．n2 n 2n 2n n2<0 ，故 2kn2显然 2k(k 1)2 2k ．因此 k2k(k 1)2n2n 2 t ．7。

2013年安徽卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学本试卷共21题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）．．．．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（（8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（）．．．．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f 2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=_________．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=_________．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为_________．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是_________．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x n，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科数学(参考答案)，则，由则，解得2．S=+++=．﹣＜可化为故圆的两条切线方程分别为（表示（若=，n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4满足=2））由．所以，解得①等价于或或则区域面积为=的展开式中，解得．故答案为．解：∵3sinA=5sinBb+c=2a=（0，故答案为：A，B，，，．该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，=．，解：设==，，，，…，，，}=1+．的通项公式是故答案为．=，＜N=，故正确；可知当的中点，连接AF，可证PC为菱形，故其面积为PF==）sin cos=+T=）≤，所以≤当2x+≤当2x+时，即≤][]17．，＞）；，则，而上取得最小值．18．（12分），解得．的方程为，其中的斜率，直线的斜率．的方程为，解得．即点的斜率==．化为．联立解得.．19．，=1∴===20．1+x+=1+…++（1++[+++]•﹣=•n，满足＞+=0++[+≤＜=＜21．事件，所以==﹣=所包含的基本事件总数为（的基本事件数为﹣﹣＜﹣﹣处[＜﹣≥=﹣＜＜﹣﹣。

2013安徽高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是（A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或（B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和（B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和（D ）=0()cos=1R θρρ∈和8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,39．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）3 （C ） 42 （D ）4310．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2013年高考理科数学试卷--安徽卷(含答案)

2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析

[VIP专享]2013年全国高考理科数学试题及答案-安徽卷

2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)

2013年安徽省理科高考数学试卷(带详解)

2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(安徽卷)

2013年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年安徽高考数学真题及解析

2013安徽--高考数学理科试题及解析(精校版)

2013年高考试题——数学理(安徽卷)解析版

2013年高考理科数学安徽卷word解析版

2013年高考安徽理科数学试题与答案(word解析版)

2013年安徽卷理科数学高考试卷(原卷 答案)

2013安徽高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(安徽卷)

2013年安徽卷理科数学高考试卷(原卷答案)