第13章 能量方法2

M (x)M (x) wA dx l EI
（莫尔定理）
PAG 5
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
M (x)M (x) wA dx l EI Δ FN (x)FN (x) dx l EA
（莫尔定理）
T (x)T (x) dx l GI p
PAG 22
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§13-6 计算莫尔积分的图乘法
M (x) M (x) Δ dx l EI
FN FN Δ dx l EA
T T Δ dx l GI p
在等直杆的情况下，莫尔积分中的EI、GIP、EA为常量， 可提到积分号外面，只需计算
1 a 1 ( Fx )( x )d x EI1 0 EI 2 Pa 3 Pa 2l 3EI1 EI 2 ()
C
EI2
( Fa)( a)dx
0
l
PAG 14
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
(2) 计算B截面的转角，在B上加一个单位力偶矩
解：(1) 计算A点的垂直位移，在A点加垂直向下 的单位力 AB: BC:
M (x) Fx M (x) Fa
a B x l EI1 x A
F 1
M (x) x M (x) a
δy
a
0
l M (x )M (x ) M (x)M (x) dx dx 0 EI1 EI 2
Δ
i 1 n
桁架：
FNi FNi li EA
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
二、普遍形式的莫尔定理
Δ FN (x)FN (x) T (x)T (x) M (x)M (x) dx dx dx l l l EA GI p EI
4 5
FNi FNi li Δ EA i 1
n
F
6 E
F 6 E
5
7 9
4 1
7
9
D
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
杆件编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
FNi
FNi
1/ 1/ 2 2 2 2
li
0 -F
2F
a a
2a
( )
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-16 图示为一简单桁架，其各杆的EI相等. 在图示荷载作用下， A， a a C 两节点间的相对位移.
F
A 1 3
2
B a C 8 a
A 1
2
1 3
B a C 8 D a
桁架位移的单位荷载法
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-17 计算图（a）所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量 ΔAB . EI=常数.
F
O R
A B
F
(a)
PAG 20
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
ds
d

R
F
1
材料力学
授课教师：池维超 联系方式：chiweichao@gmail.com
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材 料 力 学
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第13章 能量方法(下)
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上节回顾
卡氏定理（由互等定理得出）
δi V Fi
δi
V Fi
ql/2 q ql/2 1
1/l
1/l
A l/2 C l
A
B
x
(2) 求A截面的转角 在 A 截面加一单位力偶 引起的 x 截面的弯矩为
1 M (x) x 1 l
(0 x l )
l 1 M (x)dx x ql qx 2 A M (x) ( 1)( x )dx l 0 EI EI l 2 2 ql 3 24EI （顺时针）
M (x) 1 x 2
(0 x l ) 2
l/2 x M (x)dx ql qx 2 wc M (x) 2 ( x )dx l 0 EI 2 EI 2 2 5ql 4 () 384 EI
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
B，C 两支座的反力均为零.
A1B： M (x) Fx
M (x) x M (x) l M (x) x
l x
F 1
B
x
C
BC： M (x) Fl
CA2： M (x) Fx
x A1 A2
1 F
l l 1 5Fl 3 Δ [2 ( - Fx)( - x)dx ( - Fl )( - l )dx] 0 0 EI 3EI
M (x) Fx
M (x) x
F 1
C
T (x) 0
T (x) 0
M (x) x
AB:
M (x) Fx T (x) Fb
A B a b
T (x) b
1 EI
wC
1 EI

a
0
( Fx)( x)dx

b
0
( Fx)( x)dx
三、使用莫尔定理的注意事项
① M(x)：结构在原载荷下的内力;
② M ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力; ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲; ④ M ( x) 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立; ⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构.
（ ）
( Fa)(1)dx
0
l
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-13 水平面内的曲杆，B 处为刚性节点, ABC=90°在 C 处承受竖 直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度为 EI 和 GIp ，求 C 点竖向位移. 解：在 C点加竖向单位力 BC:
qa qx 2 M (x) x 2 2
M ( x) x 2
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
F=qa q
1
A
B x
C
A
B x
C
RA
2a
a
1/2
2a
a
BC:
M (x) qa x
M (x) x
()
PAG 12
a 1 2 a qa qx 2 x 2qa 4 wc [ ( x )( )dx ( qax)( x)dx] 0 0 EI 2 2 2 3EI
a
1
AB:
BC:
θB
M (x) Fx M (x) Fa
a
M (x) 0
B x
x
A
M (x) 1
l
EI1 EI2
0
l M (x )M (x ) M (x)M (x) dx dx 0 EI1 EI 2
C
1 a 1 ( Fx )(0)dx 0 EI1 EI 2 Fal EI 2

1 GI p

a
0
( Fb)( b)dx
()
PAG 16
F Fab2 3 3 (a b ) 3EI GI p
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-15 由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都 l 是EI，试用单位载荷法求A1，A2两点的相对位移. 解：在A1，A2 处加一对水平单位力.
A
B R
A O
(c) B
O
(b)
解：
P ) M ( ) FR(1 cos
M ( ) R(1 cos )
Δ AB M ( ) M ( ) 2 Rd 0 EI 2 2 π FR (1 cos ) 3πFR 3 2 Rd 0 EI EI
π
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-9 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位 载荷法求梁中点的挠度 wc 和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影 响不计.
ql/2
q
ql/2
A l/2 C l
B
解：
在实际荷载作用下，任一 x 截面的弯矩为

FN (x) FN (x) T (x) T (x) M (x) M (x) dx dx dx EA Fi GI p Fi EI Fi
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
一、莫尔定理的推导
F1 F2
求任意点A的位移wA
ql qx 2 M (x) x 2 2
(0 x l )
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
ql/2 q ql/2 1/2 1 1/2
A l/2
B
A C x
B
C
l
(1) 求C 截面的挠度
在C点加一向下的单位力， 任一 x 截面的弯矩为
2、三个力同时作用时 任意截面的弯矩： M (x) M (x) 应变能：
[M (x) M (x)]2 V 2 dx L 2 EI
V 2 V 1
[M (x) M (x)]2 V V 1 wA dx l 2 EI
M 2 (x) M 2 (x) M (x)M (x) V V 1 wA dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
1、先在A点作用单位力F0 ， 再作用F1, F2力 应变能为
图 a
A
F0 =1
2
M (x) V dx L 2 EI M (x) V dx L 2 EI
2
F1
F2
A wA
图b
V 1 V V 1 wA
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
M (x) M (x)dx
l
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§13-6 计算莫尔积分的图乘法
因为 M(x) 是由单位力或单位力
M(x)
（ ）
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M (x) qa x
a 1 2 a qa qx 2 x 5qa3 c [ ( x )( )dx ( qax)(1)dx] 0 0 EI 2 2 2a 6EI
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-11 刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标 出. 不计剪力和轴力对位移的影响. 计算A点的垂直位移及B截面的转角.
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上节回顾
普遍形式的莫尔定理
Δ FN (x)FN (x) T (x)T (x) M (x)M (x) dx dx dx l l l EA GI p EI
① M(x)：结构在原载荷下的内力; ② M ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力; ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲; ④ M ( x) 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立; ⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构.
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
q F=qa 1
A
B
C x
A x 2a
B x a
C
x
RA
2a
a
1/2
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 c 处加一单位力偶） AB: BC:
qa qx 2 M (x) x 2 2
x M (x) 2a
M (x) 1
FNi FNili
0
Fa/ 2 2 2
1
1/ 1/
2Fa
Fa/ Fa/
-F -F F
2F
-2 F
0
0 0 0 0
a a a
2a
a a
0 0 0 0
δAC
FNi FNi li 3 Fa Fa (2 ) 4 .12 EA 2 EA EA i 1
A，C两点间的距离缩短.
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§13-5 单位载荷法·莫尔定理
例13-10 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求 C 点的 F=qa 挠度和转角.
q 1
A x
RA
B
C
A
B x
2a a
C
2a
a
1/2
解：
RA
qa 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”） AB: