数学竞赛中含绝对值问题

竞赛中含绝对值的问题

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用， 掌握好方法，顺利解决这些问题．

一、直接推理法

例1：已知0,>-

a b a ，a b a b ab -+++则等于（ ） （A ）ab b a ++22.（B ）ab -.（C ）ab b a +--22.（D ）ab a +-2. 解：因为0>b

a ，所以

b a ,同号.又因为b a -<，即0<+b a ，所以b a ,必须同为负. 所以()()ab a ab b a b a ab b a b a +-=++----=+++-2.

答案为D.

说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.

二、巧用数轴法

例2:设有理数c b a ,,在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b c c a a b -+++-.

解: 由图可知，0,0,0<<>c b a ，且0>>>b a c .

所以 0,0,0<-<+<-b c c a a b ． 可得()c b b c c a c a a b a b -=-+-=+-=-,,．

所以 原式=()()()c c b c a b a c b c a b a 2-=-+---=-++--.

说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.

三、零点分段法

例3:已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于 （ ）

（A ）1.（B ）5.（C ）8.（D ）3.

解：(1)当20≤≤a 时， a a a a a 253232-=-+-=-+-

a a a a a 253232-=-+-=-+-，

在这一段内，当0=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是5;

(2)当32<

(3)当43≤≤a 时， ()523232-=---=-+-a a a a a ，

在这一段内，当4=a 时a a -+-32取得最大值，最大值是3;

综上可知，当40≤≤a 时， a a -+-32的最大值是5.

答案为B.

说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.

四、分类讨论法

例4:如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）

（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.

解:已知c b ≠，可设c b <，由于c b c a -=-，所以c a -与c b -必互为相反数(否则b a =，不合题意)，即()c b a c b c a 2,=+--=-.又因为c b <，所以c a >. 由于b d c b -=-，所以c b -与b d -必相等(否则d c =，不合题意)，即b d c b -=-，从而得d c b +=2.因为c b <，所以d b >.

因此有a c b d <<<. 所以()()()3111=++=-+-+-=-=-d b b c c a d a d a .

若设c b >，同理可得3=-d a .答案为C.

说明:本例的解法是采取把b ，c 分为c b <和c b >两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为b a <和b a >两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.