2机械控制工程基础第二章答案

习 题

2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统?

(1) x x x x x i

o

o

o

o

222=++ (2) x tx x x

i

o

o

o

222=++ (3)

x x x x i

o

222o

o

=++ (4) x tx x x x

i

o

o

o

222o

=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。

2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。

图(题2.2)

解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有

x

m x c x x c i

o

o

2

o

1

)(=-- 即 x

c x c c x

m i

1

2

1

o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有

)1()()(1

x x

c k x x o

i

-=- )2()(2

x k x x

c o

o

=-

消除中间变量有

x ck x k k x

k k c i

o

1

2

1

o

2

1

)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有

x k x x k x x

c o

o

i

o

i

2

1

)()(=-+-

即 x k x c x k k x

c

i

i

o

o

1

2

1

)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。

图（题

2.3）

解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有

⎰+=idt

C

i R u o

1

2

2

i R u u o

i

1

1=-

dt i i C

u u o

i

)(11

1

⎰-=-

消除中间变量,并化简有

u R C u C

C R R u R C u

R C u C C R R u R C i

i

i

o

o

o

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1)()1(1++

+=-+++

(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有

⎰++=idt

C i R u u o

i

1

1

1

⎰+=i R idt C

u o

2

2

1 消除中间变量,并化简有

u C

u R u C C u R R i

i

o

o

2

2

2

1

2

1

1)11()(+=+++ 2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。

解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

)(x R Rk C J M m

-++=θθθ

x

c x m x R k +=-)(θ 消除中间变量

x

,即可得到系统动力学方程

KM M c M

m C R c k KJ c C km R cJ mC mJ m

m

m

++=++-++++ θ

θθθ）（2

2

)()()

4(2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)。

（1）求当工作点为x o =0,x o =1,x o =2时相应的稳态时输出值； （2）在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。

解: (1) 将 x o =0,x o =1,x o =2分别代入y(t)= 2x(t)+0.5x 3

(t)中,

即当工作点为

x

o

=0,

x

o

=1,

x

o

=2时相应的稳态输出值分别为

0=y o

,5.20

=y ,

8=y o

。

(2) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点)

(,y x o

o

附

近,将非线性函数展开成泰勒级数,并略去高阶项得

x

x x x y y x x o

o

o

o

∇•=+++=∇+|)5.12(5.022

3

∴

x

x y x

x o

∇

•=+=∇|)5.12(2

若令x x

∇=

,y

y

∇=有

x x y )5.12(20+=

当工作点为0

=

x o 时,

x

x x y 2)5.12(20

=+=