人教版必修1高一数学教案：函数的表示法(一)

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人教版高一数学函数的表示法教案

（2）下列对应中，是到的映射的序号为_______
① “求平方”
②
③
④
（3）图中的图象所表示的函数的解析式为（）
A． B．
C． D．
4、已知函数，若，求的值
作业：书P24习题A7-10
（3）题图
课后
反思
重点
难点
函数的三种表示方法，分段函数的概念
怎样根据不同的需要选择恰当的方法表示函数？分段函数的概念及其图象
教学
用具
教学
主线
教学过程
一、基础知识回顾：
1、请同学们叙述一下函数的概念________________________。
2、根据预习的情况完成下列各题：
（1）用_________________________来表示函数的方法叫解析式法；
课时教案
年月日第周星期
执教人
学科
数学
高中年级班
课题
（1）函数的表示法
课型
新授课
教学
目标
（1）明确函数的三种表示方法
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用
（4）培养学生数形结合的思想，提高利用数学知识分析和解决实际问题的能力
用_________________________来表示函数的方法叫图像法；
用_________________________来表示函数的方法叫列表法。
（2）比较一下这三种函数表示法的优缺点：
函数表示法
特点
解析式法
图像法
列表法
（3）分段函数就是_________________________________________

人教课标版高中数学必修一《函数的表示(第1课时)》教案-新版

1.2.2函数的表示（第1课时）一、教学目标（一）核心素养通过本节课，让学生了解函数表示的必要性及多样性，丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象函数的函数概念.在数学运算、建模过程中初步体会数形结合这一重要数学方法。

（二）学习目标1.了解函数的三种表示方法及各自的优点与不足，在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.2.理解映射的概念，了解其与函数的区别，并能判断某些对应关系是否是映射.3.会画简单函数的图像,能根据要求求函数的解析式.（三）学习重点1.函数的三种表示法，根据具体问题选择合适的方法表示函数.2.了解映射的概念及其表示.3.会画简单函数图像，能根据要求求函数解析式.（四）学习难点1.根据具体问题选择合适的方法表示函数.2.函数解析式的求法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）填空：通过初中的学习我们应该知道函数的表示方法有_解析法、图像法、列表法___. （2）映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应A：”f→：为从集合A到集合B的一个映射.记作“BBAf→2.预习自测（1）函数的表示法中，能够直观反应函数变化情况的是图像法；可以不需计算直接看出函数值的是列表法；可以通过计算得出任一自变量对应的函数值的是解析法。

（2）下列对应:f A B→,不是从集合A到B映射的有___①②__① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→ ②*,,:1;A N B N f x x ==→- ③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→ (二)课堂设计 1.知识回顾（1）函数的概念，函数的三要素。

（定义域、对应法则、值域）（2）初中画函数图像的方法是描点法，步骤是：列表、描点、连线. 2.问题探究探究一函数的表示法●活动① 对比提炼三种表示法的优缺点我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法。

函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。

高中数学人教A版必修第一册3.1函数的表示法(第1课时)(课件)

解：这个函数的定义域是数集 1,2,3,4,5
用解析法可将函数 = () 表示为
= 5, ∈｛1,2,3,4,5｝.
用列表法可将函数 = ()表示为
1
2
3
4
5
5
10
15
20
25
用图象法可将 = ()表示为
y
25
20
15
10
5
0
·
·
·
·
·
1
2
3
4
5
x
函数一个图象既可以是连
A
答案：C
B
）
C
D
学以致用
例2.画出函数y=|x| 的图象.
解: 由绝对值的概念,我们有
x, x 0
y | x |
x.x 0
所以,函数y=|x| 的图象如图所示.
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
1
2
3
我们把这样的函数
称为分段函数
牛刀小试
1.课本69页练习第2题
4
3
2
1
-3
示函数关系的.3.1.1的问题1、2.
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3.
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的
问题4.
例1
某种笔记本的单价是5元,买(∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要元.
试用函数的三种表示法表示函数 = ().
2
（1）在同一直角坐标系中画出函数 f ( x), g ( x)的图象；
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f ( x), g ( x) 的图象，如图。

人教A版高中数学必修一函数的表示法教案第课时(1)

课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

解：∵ 2f x +
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x

高中数学函数的表示方法教案(第一课时)新课标人教版必修1(A)

函数的表示方法（第一课时）教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握函数的三种表示方法；教学重点：函数的表示方法教学难点：函数三种表示方法的选择教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1.回忆函数的两种定义；2.函数的三要素分别是什么？ 3．设函数22(2)()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。

（II ）讲授新课函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点：直观形象地表示自变量的变化。

（III）例题分析：例1（书P22）.某种笔记本的单价是5元，买x（{1,2,3,4,5}x∈个笔记本需要y元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x=。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可以将函数=表示为()y f x=，{1,2,3,4,5}x∈。

y x5用列表法可以将函数()=表示为y f x笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25图象法略。

说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

人教A版高中数学必修一新教案函数的表示方法一

数学必修1：函数的表示方法(一)教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数[来源:]教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.[来源:]3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，xx y 1+=的图像 420244202455-x 1x+x 3+()1x 3+()+x 1-()1x 1-()⎡⎢⎣⎤⎥⎦+x 1x +44-x6、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ， y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：[来源:]（1）43-+=x x y （2）11-=x y [来源:Z+X+X+K] 11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页练习A 、B[来源:]小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.课后作业：第58页习题2-1B 第5题。

人教版高一年级数学必修课程《函数的表示法》(第一课时)优质教案

1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围（四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。

【人教A版高一数学必修1教案】函数的表示方法(一)

《函数的表示方法(一)》教案一、教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.二、教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数.三、教学过程：1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法.2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法.4、与x 轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点.5、用计算机软件画出函数x x y 1+=，31)3(+++=x x y ，111-+-=x x y ，x x y 1+=的图像 420244202455-x 1x+x 3+()1x 3+()+x 1-()1x 1-()⎡⎢⎣⎤⎥⎦+x 1x +44-x6、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？8、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？ 9、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？10、试作出下列函数的图像：（1）43-+=x x y （2）11-=x y 11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系13、第44页例3课堂练习：教材第45页练习A 、B小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数. 课后作业：第58页习题2-1B 第5题。

高中数学人教A版必修一函数的表示法教案1

必修一 1．2．2 函数的表示法
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方式表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2.过程与方法：通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的依赖关系的重要的数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

3.情感态度价值观：
从学生熟知的实际问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知
欲。

【重点难点】
1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．【教学策略与方法】
1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
例2、下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？
解：将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数图象表示出来。

可以看出：王伟同学学习情况稳定且成绩优秀；张城同学的成绩在班级平均水平上下波动，且波动幅度较
思考3:该函数用列表法怎样表示？思考4:该函数用图象法怎样表示？
分段函数的概念：
图象如下：。

人教版高中数学必修一教学案-函数及其表示方法

人教版高中数学必修一教学案年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段函数及其表示方法□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容函数及其表示方法【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a<x<b}=(a,b);{x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a<x≤b}=(a,b]；{x|a≤x<b}=[a,b)；{x|x≤b}=(-∞,b];{x|a≤x}=[a,+∞).要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。

高中数学函数的表示法(一)全册精品教案新人教A版必修

1.2.3 函数的表示法（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）了解函数的三种 8868iu 示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.2．过程与方法通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.3．情感、态度与价值观在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.（二）教学重点与难点重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1．回顾函数的有关概念.2．函数的表示方法.师：函数的概念中的关键词是什么？解析式：用数学表达式表示两个变量之将新、旧知复习回顾间的对应关系.生：集合 A 中任何一个元素在 B 中都识有机整引入课题图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.有唯一元素与之对应.合师生：共同回顾函数三种表示形式.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.例 1 某种笔记本的单价是 5 元，师：同一函数用三种形式表示，它们买 x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需各自有何特点.要 y 元. 试用函数的三种表示法表示函师生合作总结三种形式的特点即优数 y = f (x).点.解析：这个函数的定义域是数集师：举例说明在我们的日常生活中用通过范例{1，2，3，4，5}.三种形式表示的函数分析体会用解析法可将函数 y = f (x)表示生：（1）年级日誌表——列表法；（2）三种表示为工厂生产图——图象法；（3）银行利法的优点，示例剖析y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. 率表——列表法；（4）医务室的各年感知不是用列表法可将函数 y = f (x)表示级身高统计图——不是图象法.所有函数为一元一次函数图象—图象法均能用三笔记本数一元二次函数解析式—解析法种形式表x1 2 3 4 5 反比例函数示.钱数 y 5 10 15 20 25 师：是否所有函数均能用三种方法表用图象法可将函数 y = f (x)表示示呢？自示例 2为下图.生：例 2 不方便使用解析法表示.例 2 解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. 如果将“成绩”与“测试序号” 之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 这对我们的分析很有帮助.知识总结：①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.②图象法的优点：直观形象地表示从上图我们看到，王伟同学的数学学自变量的变化，相应的函数值变化的趋习成绩始终高于班级平均水平，学习势，有利于通过图象来研究函数的某些情况比较稳定而且成绩优秀. 张城性质.同学的数学成绩不稳定，总是在班级③列表法的优点：不需计算便可以平均水平上下波动，而且波动幅度较直接看出自变量的值相对应的函数大. 赵磊同学的数学学习成绩低于值.班级平均水平，但他的成绩曲线呈上例 2 下表是某校高一（1）班三升趋势，表明他的数学成绩在稳步提名同学在高一学年度六次数学测试的高.成绩及班级平均分表.第第第第第第成绩测试 1 序号次2 次3 次4 次5 次6 次师生合作总结三种方法的优点.王姓名伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.例 3 画出函数 y = |x|的图象.能力提升例 4 某中学高一年级学生李鹏，师生合作、讨论、探究函数的图象法 (表示法的对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜与解析法的互相转化途径，并能利用转化及函基地种植西红柿，由历年市场行情得图象求值域.数图象的知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿例 3 解：由绝对值的概念，我们应用) 培应用举例市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上有yx, x,x 0, x 0.养形与数的转化能市时间的关系用图二的抛物线段表示，所以，函数 y = |x|的图象如图力和数形试解答下列问题.所示.结合思想应用意识.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系 P = f (t). 写出图二表示例 4 解：（1）由图一可得市场售的种植成本与时间的函数关系式 Q = g 价间接函数关系为，(t). （2）认定市场售价减去种植成本f(t)=300 2t t, 300,(0 t 200) (200 t 300)为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益由图二可得种植成本间接函数最大？关系式为g (t) = 1 (t – 150)2 + 100，200(0≤t≤300) （2）设 t 时刻的纯收益为 h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t).即 h (t) =1 200t21 2t175 2, (0t200) 1t2 2 t 1025 , (200 t 300) 200 7 2当 0 ≤ t ≤ 200 时，得 h (t)= 1 (t – 50)2 + 100.200∴当 t = 50 时，h(t)取得在 t ∈[0，200]上的最大值 100；当 200＜t≤300 时，得 h (t)= 1 (t – 350)2 + 100.200∴当 t = 300 时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值 87.5.综上所述由 100＞87.5 可知，h(t)在 t∈[0, 300]上可以取得最大值是 100，此时 t = 50，即从 2月 1 日开始的第 50 天时，上市的西红柿收益最大.映射的定义：设 A，B 是两个非空师：讲授映射的定义.了解映射形成映射的集合，如果按某一个确定的对应关系生：由映射观点定义函数.的含义.的概念 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，师生合作解答例 5.通过例题在集合 B 中都有惟一确定的元素 y 与之例 5 解析：（1）按照建立数轴的方分析加深对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合法可知，数轴上的任意一个点，都有映射概念A 到集合 B 的一个映射.惟一的实数与之对应，所以这个对应的理解.例 5 以下给出的对应是不是从集 f：A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射.合 A 到 B 的映射？（2）按照建立平面直角坐标系的（1）集合 A = {P | P 是数轴上的方法可知，平面直角坐标系中的任意点}，集合 B = R，对应关系 f：数轴上一个点，都有惟一的一个实数对与之的点与它所代表的实数对应；对应，所以这个对应 f：A→B 是从集（2）集合 A = {P | P 是平面直角合 A 到 B 的一个映射.坐标系中的点，集合 B = {(x | y) | x （3）由于每一个三角形只有一个∈R，y∈R}，对应关系 f：平面直角坐内切圆与之对应，所以这个对应 f：标系中的点与它的坐标对应；A→B 是从集合 A 到 B 的一个映射.（3）集合 A = {x | x 是三角形}，（4）新华中学的每一个班级里的集合 B = {x | x 是圆}，对应关系 f：学生都不止一个，即与一个班级对应每一个三角形都对应它的内切圆；的学生不止一个，所以这个对应 f：（4）集合 A = {x | x 是新华中学 A→B 不是从集合 A 到 B 的一上映射.的班级}，集合 B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生.1．函数的表示法：解析式、图象归纳总结法、列表法.反思总结2．解析式与图象法能进行相互转提升对函化.师生合作完成数表示的3．优点：解析式简明、全面、实学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 理解与掌用、图象法和列表法直观、直接、方便握函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射.课后作业1.2 第三课时习案学生独立完成巩固知识，提升能力备选例题例 1 下图中可作为函数 y = f (x)的图象是（ D ）例 2 函数 y x | x | 的图象为下图中的（ C ） x例 3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.5 3x (x 1),【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| = 3 x (1 x 2),3x 5 (x 2).函数的图象如图（1）所示.（2）y=|x2–4x+3|= x 2 x 4x 3 2 4x 3(x 1, 或x 3), 图象如图（2）所示 (1 x 3).图（1）例 4 已知 y = f (x)的图象如右图所示，求 f (x).【解析】f(x)x 1, x,(x 0), (0 x 1).图（2）。

函数的表示法(第一课时)

3.1.2函数的表示法（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法；2.了解分段函数，并能简单应用；3.会用描点法画出一些简单函数的图象，并应用函数的图象解决问题.二、教学重难点1.进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识；2.渗透数形结合思想，培养学生发展逻辑推理，应用直观想象.三、教学过程1.对函数表示方法的认知1.1回望教材引例，了解函数常用表示方法【教材引例】再次阅读教材3.1.1（P60-61）四个引例问题1：这些实际的函数问题是如何表示的？【预设的答案】解析式，图象表示，表格表示.【设计意图】使学生了解针对不同的实际情境采用适当的函数表示法，便于直观或深入的研究，解决问题，学有用的数学.【活动预设】引导学生归纳概括出函数常见的三种表示法.问题2：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？请举出实例加以说明.【设计意图】让学生体会总结三种表示法的各自优点与不足，为比较三种表示法提供机会；培养学生观察、总结、表达能力.【活动预设】（1）鼓励学生举生活中的函数例子，并阐述可以用哪种函数表示法，学生间可以讨论，教师可以引导.使学生灵活选用函数表示法来研究函数，进而使他们认识到三种表示法之间相辅相成，渗透数形结合思想.1.2归纳提炼，形成共识在学生举例、讨论的基础上，师生共同归纳概括：（1）“解析法”就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值.缺点：有些实际问题中的函数关系很难用解析式表示或根本不存在解析式. 中学阶段研究的函数，主要是能够用解析法表示的函数. （2）“图象法”就是用“图形”表示两个变量之间的对应关系.优点：能直观形象的表示出随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质，这是数形结合的好处.缺点：感性观察有时不够准确，画面局限性大.（3）“列表法”就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 . 缺点：只能表示有限个元素时的函数关系且元素较多时也不方便. 【设计意图】使学生们在自己的理解基础上统一认识. 2.初步应用，理解概念例1某种笔记本的单价是0.5元，买{}()1,2,3,4,5x x ∈个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.【预设的答案】这个函数的定义域是{}1,2,3,4,5 解析式法：{}51,2,3,4,5y xx =∈列表法图象法【设计意图】（1）使学生体会到函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体.进一步体会数形结合在理解、研究函数中的重要作用.（2）使学生感受到函数图象既可以象初中学习过的一、二次函数那样是连续的曲线，也可以是离散的点等.例2 画出函数y x =的图象 .【预设的答案】由绝对值的概念，我们有,0,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩，所以函数y x =的图象如图所示问题3：利用函数的定义判断这是一个函数还是两个函数？【设计意图】（1）深化函数定义的理解，使学生认识函数解析式的多样性，函数图象的多样性. （2）学生已经熟知,y x y x ==-所表达的数量间关系，使学生体会由数到形的过程. 教师讲授：（1）y x =是一个函数，对于定义域内的任意一个x ，都有唯一确定的函数值与之对应.（2）一些函数，在它的定义域中，对于自变量x 不同的取值范围，对应的关系式也不同，这样的函数我们通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，其定义域为各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数的解析式是用左大括号将各段的表达式括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.例3 给定函数()2()1,()1,f x x g x x x R =+=+∈. （1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象；（2）x R ∀∈，用()M x 表示(),()f x g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =.例如，当2x =时， ()()(){}{}2max 2,2max 3,99M f g ===.请分别用图象法和解析法表示函数()M x .【预设的答案】（1）在同一直角坐标系中画出函数(),()f x g x 的图象（2）由图中函数取值的情况，结合函数()M x 的定义，可得函数()M x 的图象由()211x x +=+，得()10x x +=，解得1x =-或0x =结合图象得出函数()M x 的解析式为()()()221,11,101,0x x M x x x x x ⎧+≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪+>⎪⎩【设计意图】（1）此例题是从形到数的过程，充分利用图象特征，可以简化代数运算，可以引导学生从纯代数运算，比较大小的角度去函数的解析式，通过对比进一步加强学生的数形结合观念与直观想象能力.（2）通过对()()(){}max ,M x f x g x =这种符号化表示的理解，提高学生的抽象思维能力. 3.归纳小结，突出重点（1）表示函数的方法有解析法、列表法和图象法三种，掌握分段函数的概念和解析式表达形式；（2）函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立的点或几段线段组成，必须根据定义域画图，利用描点法或图象变换法.（3）数形结合相辅相成，为我们研究函数的相关问题提供便利，直观快捷. 【设计意图】（1）梳理本节课的学习内容；（2）鼓励学生积极探索新知，为下节课函数表示法的实际应用提供必要性 . 四、课外作业1.画出函数2-=x y 的图象.（你想到了几种办法？都尝试一下吧！）2.给定函数,,)1()(,1)(2R x x x g x x f ∈-=+-= （1）画出函数)(),(x g x f 的图象；（2）,R x ∈∀用()m x 表示)(),(x g x f 中的较小者，记为 {}()min (),().m x f x g x = 请分别用图象法和解析法表示函数()m x .3.已知函数()f x 的图象如图所示，其中点,A B 的坐标分别为()0,3，()3,0 则()()0f f ＝( )A ．2B ．4C ．0D ．34．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )5．下表表示函数()y f x =，则()f x x >的整数解的集合是________．x05x << 510x ≤< 1015x ≤< 1520x ≤<()y f x = 4 6 8 10。

高中数学必修一(人教新A版)教案7函数的表示法1

难点
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的定义域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
1
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
例3．画出函数的图象
解：
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计

高一数学教案：函数的表示法

高一数学教案：函数的表示法教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。

教学重点：1. 函数的概念和基本性质；2. 函数的显式表示法、隐式表示法和参数表示法的具体形式；3. 根据题目要求选择适当的函数表示法。

教学难点：1. 函数的隐式表示法和参数表示法的理解和应用；2. 根据题目要求选择适当的函数表示法。

教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过引入例子或问题，让学生思考函数的概念和基本性质，并引导学生发现函数的表示法。

二、讲解函数的显式表示法（10分钟）1. 定义：函数的显式表示法是直接给出函数关系式的一种表示方法，即用公式表示函数。

2. 表示形式：函数的显式表示法可以用 y = f(x) 的形式表示，其中 f(x) 是关于 x 的公式。

3. 示例：例如，函数 f(x) = 2x + 1 就是一个使用显式表示法表示的函数。

三、讲解函数的隐式表示法（10分钟）1. 定义：函数的隐式表示法是通过给出函数的关系式，但不直接解出 y 的一种表示方法。

2. 表示形式：函数的隐式表示法可以是一个方程式或等式表达式，其中可能包含 y 和x 的幂次、根式、对数、三角函数等。

3. 示例：例如，函数 x^2 + y^2 = 1 就是一个使用隐式表示法表示的函数。

四、讲解函数的参数表示法（10分钟）1. 定义：函数的参数表示法是通过引入参数的方式来表示函数。

2. 表示形式：函数的参数表示法可以用 y = f(t) 的形式表示，其中 t 是一个参数。

3. 示例：例如，函数 y = sin(t) 就是一个使用参数表示法表示的函数。

五、练习与讨论（15分钟）教师提供一些练习题供学生进行训练和讨论，并引导学生根据题目要求选择适当的函数表示法。

1. 练习题：根据给定的函数关系式选择适当的函数表示法。

（1）关系式：y = 2x^2 + 3x + 1，选择合适的函数表示法。