常微分方程(王高雄)第三版 3.3

方程 条件: 结论:
(解对初值的连续性定理)
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
y ( x , x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) G ,作为x , x0 , y0的函数
在它的存在范围内是连续的.
二、解对初值的可微性
对含参量的微分方程 dy f ( x, y, ), (3.1) dx 设f ( x, y, )在区域G {( x, y, ) | ( x, y) G, ( , )}
连续, 且在G内一致地关于 y满足局部Lipschitz条件 则对0 ( , ), 方程(3.1) 通过点( x0 , y0 , 0 ) G
2 2 L x x0
第三步:证明
( x) ( x) , a x b
由于 ( x)连续 1 L (ba ) 对1 e , 2 , 当 x x0 2时, ( x) ( x0 ) 1 2 2 2 2 R : ( x x0 ) ( y y0 ) ,0 min{ 1, 2} ( x0 , y0 ) R L x x0 ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程 条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y满足局部Lips.条件;
dy f ( x, y) , dx ( x, y) G R2 (1)
II. y ( x , x0 , y0 ) 是(1)满足( x0 , y0 ) G 的解,定义
连续依赖于初值 ( x0 , y0 ).
如果函数 f ( x , y )于某域G内连续，且关于 y 满足利普 dy 希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 f ( x, y )的任 dx 意两个解 ( x ) 及 ( x ) ,在它们的公共存在区间内成立着不 引理 等式 ( x ) ( x ) ( x0 ) ( x0 ) e L x x0 .其中 x0 为所考虑 区间内的某一值。
常微分方程
Ordinary Differential Equations
第三章
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
dy f ( x, y ) 考察 dx , ( x, y ) G R 2 y ( x0 ) y0
(1)
的解 y ( x, x0 , y0 ) 对初值的一些基本性质 内容: •解对初值的连续性
先证 存在且连续 . y0 设由初值( x0 , y0 )和( x0 , y0 y0 )所确定的解分别为
0 0
( x1 , y1 )
x
( x0 , y0 )
解对初值的对称性: y ( x, x0 , y0 )
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小？
解对初值的对称性:
y ( x, x0 , y0 )
3 解对初值可微性定理 f 若函数f ( x, y )以及 都在区域G内连续, 则方程 y (3.1)的解y ( x, x0 , y0 )作为x, x0 , y0的函数在它们的存
在范围内是连续可微的.
证明 由于
f 在G内连续, y 故f ( x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件,
区间为[a,b]. 结论: 对 0 , ( , a , b ) 0使得当
( x 0 x 0 ) 2 ( y0 y0 ) 2 2
时,方程(1)过点 ( x0 , y0 ) 的解 y ( x , x0 , y0 ) 在[a,b]上也有 定义,且 ( x , x0 , y0 ) ( x , x0 , y0 ) ,
•解对初值和参数的连续性
•解对初值的可微性
y ( x, x0 , y0 )

图例分析(见右)
dy f ( x, y ) 2 , ( x , y ) G R dx y ( x0 ) y0
y
( x0 , y0 )
G
解可看成是关于 x, x0 , y0 x , 初值问题的解不单依赖于自变量 dy y ( x, x , y ) x y ( x, x0y , y0( )0 , yy 同时也依赖于初值 . x x0 的三元函数 0) y0e 例: dx 初值变动 ,相应的初值问题的解也将随之变动 . ( x x(0x , 0y)0 ) 满足 y0 y0 0 ,y …………
a x b.
思路分析：
y
D
min( , / 2)
y0
y0
p( x 0 , y0 )
G
0
a
x0 x0
b
x
y ( x , x0 , y0 ) ( x ), x [a , b] (见下图) 记积分曲线段S： 显然S是xy平面上的有界闭集. 第一步:找区域D,使 S D ,且 f ( x, y) 在D上满足Lips.条件. 由已知条件,对 ( x, y ) S ,存在以它为中心的圆 Ci G,使 f ( x, y) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 Li.根据有限
由于点( x1 , y1 )是积分曲线上任一点 ,
因此关系式y0 ( x0 , x, y)对该积分曲线上任意 点( x, y)均成立。
一、解对初值的连续性
1.解对初值的连续依赖性
dy f ( x, y ) 定义 设初值问题 , (3.1) dx y ( x0 ) y0 的解y ( x, x0 , y0 )在区间 [a, b]上存在, 如果对 0, ( , a, b) 0, 使得对于满足 ( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2的一切( x0 , y0 ),
( x, x 0 , y 0 , ) ( x, x0 , y0 , 0 ) , a x b
2 解对初值和参数的连续性定理 设f ( x, y, )在区域G 连续, 且在G内一致地关于 y满足
局部Lipschitz条件, 则方程(3.1) 的解y ( x, x0 , y0 , ) 作为x, x0 , y0 , 的函数在它们存在范围 内是连续的 .
( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) )e
L x x0
( y0 y0 ( x0 ) ( x0 ) )e
L (ba )
( 1 )e L(ba ) 21eL(ba)
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有: 3 定理2
C 时,有 S G G 覆盖定理,存在N,当G i i 1 对 0 ,记 y , S ), min , / 2 d (G
N
Ci
G
L max L1,, LN 则以 为半径的圆,当其圆心从S的
G
左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D
a
S : y ( x, x0 , y0 )
b
( x0 , y0 )
x
y
G
D
y0
p( x0 , y0 )
min( , / 2)
0
a
x0
b
x
第二步:证明 ( x ) ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上有定义.
y
y0Leabharlann Baidu
( x)
y0
( x)
D
min( , / 2)
前提 解存在唯一
y0 ( x0 , x, y )
证明 在(3.1)满足y ( x0 ) y0的解存在区间内任取一值x1 ,
y1 ( x1 , x0 , y0 ), 则由解的唯一性知, (3.1)过点( x1 , y1 )与过点( x0 , y0 )的解是同一条积分曲线 , 即此解也可写成: y ( x, x1 , y1 ), 且显然有: y0 ( x0 , x1 , y1 ),
因此,解对初值的连续性定理成立,即 y ( x, x0 , y0 ) 在它的存在范围内关于 x, x0 , y0是连续的 . 下面证明 ,函数y ( x, x0 , y0 )在它的存在范围内
任一点偏导数 , , 存在且连续的 . x x0 y0 f ( x, ), 显然存在且连续 . x
(c ) ( c ) , ( d ) ( d ) (c, (c)),(d , (d )) D, 从而， ( x) 可再延拓。
( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ) e 2 2 2 L x x0 2( ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) ( x0 ) )e 2 2 2 L ( b a ) 4 2 e2 L ( ba ) 2 , x [c, d ] 2( y0 y0 1 )e 1
初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 (3.1) '
的解y ( x, x0 , y0 )都在区间 [a, b]上存在, 并且 ( x, x0 , y0 ) ( x, x0 , y0 ) , x [a, b] 则称初值问题(3.1) '的解y ( x, x0 , y0 )在点( x0 , y0 )
0
义, 其中 a x0 b, 则对 0, ( , a, b) 0, 使当
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 ( 0 )2 2
时, 方程(3.1) 通过点( x 0 , y 0 )的解y ( x, x 0 , y 0 , )在区间 a x b上也有定义, 且
的解存在且唯一, 记这个解为y ( x, x0 , y0 , 0 ) 且有y0 ( x0 , x0 , y0 , 0 ).
(即对( x, y , ) G , 以( x, y , )为中心球C G , 使 f ( x, y , )在C内对y满足Lipschitz 条件, L与无关)
1 解对初值和参数的连续依赖定理 设f ( x, y , )在区域 G 连续, 且在 G内一致地关于 y满足
局部 Lipschitz 条件, ( x0 , y0 , 0 ) G , y ( x, x0 , y0 , 0 ) 为 方程 (3.1) 通过点( x0 , y0 )的解, 在区间 a x b上有定
p( x 0 , y0 )
G
0
c a
x0 x0
b d
x
注： ( x) 饱和解 c a, d b 反证 c a, d b ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x0 , c x d (引理) 1 L (ba ) 对1 e , ( x ) 连续 2 2 0, x x0 2 ( x) ( x0 ) 1. 令 min(1, 2 ),( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 2 2 2 L x x0 2 ( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e