专题16 数列中项数问题(原卷版)

专题16 数列中项数问题

数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想．

类型一 整数解问题

典例1. 已知集合 ， , ．对于数列 ， ，且对于任意 ， ，有 ．记 为数列 的前 项和. (Ⅰ)写出 ， 的值；

(Ⅱ)数列 中，对于任意 ，存在 ，使 ，求数列 的通项公式；

(Ⅲ)数列 中，对于任意 ，存在 ，有 .求使得 成立的 的最小值．

类型二 存在性问题

典例2已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()

2

n n n a a S -=． （1）求a 1；

（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1

lg 3n n n

a b +=

，试问是否存在正整数p ，q (其中1

类型三 否定性问题

典例3等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，． （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()n

n S b n n

*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

1.公差d≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋32． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ；

（2）记c n ＝S n

n ，试问：在数列{c n }中是否存在三项c r ，c s ，c t (r ＜s ＜t ，r ,s ,t ∈N *)恰好成等比数列？若存在，

求出此三项；若不存在，请说明理由.

2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；

3.设n

n c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，

说明理由．

4.已知数列{}n a 满足：111

3(1)2(1)

1,211n n n n a a a a a ++++=

=--，10(1)n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：22

1(1)n n n b a a n +=-≥．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列．

5.已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为2，等差数列{}n b 的首项是1，公差为1，把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列}{n c ：1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ，……，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2013c =____________.

6.设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t ，使得 成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．

7. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前项和，且

222223457,7a a a a S +=+=．

{}n a q 1

02

q <<

{}n a {}n a n n S ，5133349a a S +==，{}n a n {}n b n

n n a b a t

=

+12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，n

（1）求数列{}n a 的通项公式及前项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得

1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．8. 若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列，对于 ，将排列

记为 ，将排列 记为 ，依此类推，直至 ，对于排列 和 ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的数，叫做 和 的相关值，记作 ，例如 ，则 ， ，若 ，则称 为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列 ． （Ⅱ）证明：不存在最佳排列 ．

（Ⅲ）若某个 （ 是正整数）为最佳排列，求排列 中 的个数． 9．设数列 的前n 项和为 ，已知 ， （ ）． （1）求证：数列 为等比数列； （2）若数列 满足： ，

．

① 求数列 的通项公式；

② 是否存在正整数n ，使得 成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由． 10．已知数列 的前 项和为

. （1）求数列 的通项公式 ；

（2）令

，求数列 的前 项和 ；

（3）令

，问是否存在正整数 使得 成等差数列？若存在，求出 的值，

若不存在，请说明理由. 11．数列

满足： 或1（k=1,2,…,n －1）．

对任意i ，j ，都存在s ，t ，使得 ，其中i ，j ，s ，t ∈{1,2，…，n}且两两不相等． （I ）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2 （II ）记 ．若m=3，求S 的最小值； （III ）若m=2018，求n 的最小值．

n

12．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列， 4b 2，2b 3，b 4成等差数列．

（1）求{a n }和{b n }的通项公式；

（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，求m ＋n 的最小值；

（3）令c n ＝

，记{c n }的前n 项和为Tn ，{

}的前n 项和为An ．若数列{pn}满足p1＝c1，且对∀n≥2, n

∈N*，都有pn ＝

＋A n c n ，设{p n }的前n 项和为S n ，求证：Sn ＜4＋4lnn ．

13．已知数列 满足

， ， 是数列 的前 项的和.

（1）求数列 的通项公式；

（2）若 ， ， 成等差数列， ，18， 成等比数列，求正整数 的值；

（3）是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由.

14．由 ， ， ， 排列而成的 项数列 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项． （ ）满足条件的数列中，写出所有的单调数列． （ ）当 时，写出所有满足条件的数列．

（ ）满足条件的数列 的个数是多少？并证明你的结论．

15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数， *n N ∈），又12a =， 21a =，

33a q p =-.

（1）求p 、q 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）是否存在正整数m 、n ，使1221

m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ；

若不存在，说明理由.

16．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N *

． （Ⅰ）求a 1的值；

（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅲ）若k ，t ∈N *

，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．