点睛课-三角函数诱导公式推导

三角函数课程标准

诱导公式推导

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有

重要的作用。在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解

决具有周期变化规律的问题中的作用。

三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本

模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等

变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

说明与建议

1．在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角

函数模型的意义。例如，通过单摆、弹簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四

季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是

刻画周期现象的重要模型（参见例1）。

2．在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、

任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数

的图象和基本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，

培养他们分析问题和解决问题的能力。

3．提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的

传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。

4．弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π）。随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，

在此不必深究。

6．在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，

并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓

励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒

等变换的基本训练。

学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的

边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题。

说明与建议

1．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生

认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。

.

一、教材分析

（一）教材的地位与作用：

1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3 节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识

的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。

2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。

诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值

问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。

（二）教学重点与难点：

1、教学重点：诱导公式的推导及应用。

2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

二、目标分析

根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：

1、知识目标：（1）识记诱导公式。

（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角

函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。

2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数

学的归纳转化思想方法。

（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解

从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。

（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和

解决问题的实践能力。

3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，

培养学生的创新意识和创新精神。

（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，

渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。

三、过程分析

题

课

（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入

I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。

1、提问：试叙述三角函数定义

2、提问：试写出诱导公式（一）

3、提问：试说出诱导公式的结构特征

4、板书诱导公式（一）及结构特征：

诱导公式（一）

sin(k ·2π+ )=sin cos(k ·2π+ )=cos

tg(k ·2π+ )=tg

（k∈Z）

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

5、问题：试求下列三角函数的值

（1）sin1110 °（2）sin1290 °

1

学生：（1）sin1110 °=sin （3×2π°+30°）=sin30 °=

2

（2）sin1290 °=sin （3×π°+210°）=sin210 °

（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）

6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：

210 0

30

х

演示（一）

（1）210°能否用（180°+ ）的形式表达？

（0°＜＜90°＝（210°=180°+30°）

（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

于点p、p＇，则点p 与p＇的位置关系如何？

（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆

（关于原点对称）

（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？[p ＇（－x, －y）]

（5）sin210 °与sin30 °的值关系如何？

在求sin210 °的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角