第三章 完全信息静态博弈(博弈论-河海大学,王慧敏)

strategies）。其中， s i ( s1 ,, si 1 , si 1 ,, s n ) ，是 i 之外所有参与人战略的组合。
s s
* i 被称为“劣战略”（dominated
3.2.2 重复剔除的占优均衡

大 猪 按
等待 按
智猪博弈 小猪
等待
3， 1
2， 4
7，-1
0， 0
我们给出战略式表述：
1、博弈的参与人集合：i , (1,2, , n) ；
2、每个参与人的战略空间： Si , i 1,2, , n ；
ui ( s1 , , si , , sn ), i 1,2, , n 。 3、每个参与人的支付函数：
3.2.3 纳什均衡
纳 什 均 衡 * * 的 ui { si* , s } u { s , s i i i i }, si S i , i 定 * s 义 或者用另一种表述方式， i 是下述最大化问题的解：
有n个参与人的战略式表述博弈 G { S1 , S n;u1 , un } ， * * * 战略组合 s { s1 ,, si ,, sn } 是一个纳什均衡，如果对 * 于每一个 i ，s i 是给定其他参与人选择 * * * * * s { s , , s , s , , s i 1 i 1 i 1 n } 的情况下第 i 个参与人的最 优战略，即:
这里，我们先介绍博弈的战略型表达 战略型表述又称为标准式表述（normal form representation）
•在这种策略中，所有参与人同时选择各自的战略，所有参与人 选择的战略一起决定每个参与人的支付 •这里，参与人“同时选择”的是战略，而不是行动，因为战略 是参与人行动的全面计划。
3.1 战略式博弈
一节引入的房地产开发博弈中，如果市场需求大，（开发、开 发）是占优战略均衡。
占优战略均衡只要求每个参与人是理性的，而并不要求每个 参与人知道其他参与人是理性的（也就是说，不要求“理性” 是共同知识）。
s i 是 i 的占优战略，那么，战略组合 s ( s , , s ) 1 n 称为占优战略均衡（dominant-strategy equilibrium）。
Ci (qi ) 代表成 我们用qi 0, 代表第 个企业的产量，
i Q( P) P P(q1 q2 ) 代表逆需求函数（ 本函数， P是价格； 是原需求函数）。第 i 个企业的利润函数为： i (q1 , q2 ) qi p(q1 q2 ) Ci (qi ), i 1,2 ( q1 , q2 )是纳什均衡产量意味着： q1 arg max 1 (q1 , q2 ) q1 P(q1 q2 ) C1 (q1 ) q2 arg max 2 (q1 , q2 ) q 2 P ( q 1 q2 ) C 2 ( q2 )
上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数（reaction function）: q1 R1 (q2 )
q2 R2 (q1 ) 反应函数意味着每个企业的最优战略（产量）是另一个 企业产量的函数。
重复剔除的占优均衡：战略组合 s ( s1 , , sn )
称为重复剔除的占优均衡，如果它是重复剔除劣战略后 剩下的唯一的战略组合。如果这种唯一的战略组合是存 在的，我们说改博弈是重复剔除占优可解的 （dominance sovable）。
3.2.2 重复剔Hale Waihona Puke Baidu的占优均衡
注意：
3.1 战略式博弈举例
例： （a）高需求情况
开发商B 开 发 商
开发 开发 不开发
4000，4000 0，8000
8000，0 0，0
不开发
A
（b）低需求情况
开发商B
开 发 商
开发 开发 不开发
－3000，－3000 0，1000
不开发
1000，0 0，0
A
3.2 纳什均衡
3.2.1 占优战略均衡 3.2.2 重复剔除的占优均衡 3.2.3 纳什均衡定义
寻找纳什均衡
参与人B
L C R
参 与 人
U M D
0，4 4，0 3，5
4，0 0，4 3，5
5，3 5，3 6，6
A
纳什均衡的一致预测性质
一致预测性质 ：
如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的 博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一 致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个结果的愿望，这个预测结 果最终会成为博弈的结果
（即 si' S i , si'' S i ）。如果对于任意的其他参与人 ' s s i 的战略组合 i ，参与人 从选择 i 得到的支付严格小 '' 于从选择 s i 得到的支付
ui ( si' , s i ) ui ( si'' , s i )s i
' '' ' s s 我们说战略 i 严格劣于战略 i（ s i is strictly ' '' s dominated by s i ）。通常， i 称为相对于 s i'' 地劣战略； s i'' s i' 对应地， 称为相对于 的占优战略。占优战略均衡中 ' s s 的占优战略 是相对于多有 si i 的占优战略。 i
在用重复剔除方法寻找均衡时，一个战略时 占优战略或劣战略只是相对于另一个特定的 战略而言，而不是相对于战略组合中的其他 所有战略。
上述定义中我们使用了“唯一”这个词， 如果重复剔除后剩下的战略组合不唯一，我 们说该博弈不是重复剔除占优可解的。
3.2.2 重复剔除的占优均衡
为了加深对重复剔除过程的理解，让我们考虑一个例子：
划线法和箭头法只能用于可以用得益矩阵表示的 博弈
3.2.3 纳什均衡
纳 什 均 衡 的 哲 学 含 义
让我们设想n个参与人在博弈之前协商达成一个协议， 规定每一个参与人选择一个特定的战略。令 s ( s1 , , sn ) 代表这个协议，其中 s i 是协议规定的 第 i 个参与人战略。我们要问的一个问题是，给定其他 参与人都遵守这个协议，在没有外在强制的情况下，是 否有任何参与人有积极性不遵守这个协议？显然，只有 当遵守协议带来的效用大于不遵守协议时的效用时，一 个人才会遵守这个协议。如果没有任何参与人有积极性 不遵守这个协议，我们说这个协议是可以自动实施的 （self-enforcing）,这个协议就构成一个纳什均衡；否则， 它就不是一个纳什均衡。
分析：
显然，这个博弈没有占优战略均衡。
在找出上述智猪博弈的均衡解时，可以用“重复剔除严格 劣战略”（iterated elimination of strictly dominated strategies）.
3.2.2 重复剔除的占优均衡
定义1：令 s i'和 s i''是参与人 i 可选择的两个战略
我们将用G S1 , , S n ; u1 , , un 代表战略式表述博弈。 在两寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间， 利润是支付；战略式表述博弈为：
G q1 0, q2 0; 1 (q1 , q2 ), 2 (q1 , q2 )
qi 和 i 分别式第1个企业的产量和利润 这里，
注意：
“一致预测”“一致”的意义，各博弈方的实际行为选择与他们的 预测一致，而不是不同博弈方的预测相同、无差别 一致预测性是纳什均衡的本质属性，保证纳什均衡的价值 只有纳什均衡才具有一致预测性 纳什均衡分析并不一定能对所有博弈结果作出准确的预测
3.3 纳什均衡应用举例
库诺特（Cournot）寡头竞争模型
3.2.1 占优战略均衡
占 优 战 略 均 衡 的 定 义

坦白
囚徒2
不坦白
囚 徒 坦白 1
不坦白
-5，-5
0，-8
-8，0
囚徒困境
-1，-1
3.2.1 占优战略均衡
i 定义：在博弈的战略式表述中，如果对于所有的 ，
占 优 战 略 注意： 均 在一个博弈里，如果所有参与人都有占优战略存在，那么， 衡 占优战略均衡是可以预测到的唯一的均衡，因为没有一个理性 的 的参与人会选择劣战略。 定 在囚徒困境博弈里，（坦白、坦白）是占优战略均衡；在上 义
主讲人： 王慧敏 河海大学商学院
第三章 完全信息静态博弈
3.1 策略型博弈 3.2 纳什均衡
3.3 纳什均衡应用举例
3.4 混合战略纳什均衡
3.5 纳什均衡的存在性和多重性讨论
河海大学商学院
授课教师：王慧敏
3.1 战略式博弈
在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表达：
•战略型表达：适合于静态博弈(strategic form representation) •扩展型表达：适合于动态博弈(extensive form representation)
3.2.2 重复剔除的占优均衡
' '' s s 定义2： i 弱劣于战略 i（ s i' is weakly dominated ui ( si' , s i ) ui ( si'' , s i ) ， by s i''），如果对于所有的 s i ， '' ' s s s 且对于某些 i，严格不等式成立。 i 称为相对于 i 的 弱占优战略。
库诺特寡头竞争模型
求解纳什均衡的方法有很多种，这里介绍两种：
对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零：
1 P(q1 q2 ) q1 P ' (q1 q2 ) C1' (q1 ) 0 q1 2 ' P(q1 q2 ) q2 P ' (q1 q2 ) C2 ( q2 ) 0 q2
纳什均衡与占优战略均衡及重 复剔除占优均衡之间的关系
1、每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定
是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均 衡或重复剔除的占优均衡。
2、纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没
有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除的战略组合不 一定是纳什均衡，除非它是唯一的。（这句话并不适 用于弱劣战略剔除的情况）
3.2.1 占优战略均衡
劣 战 略 的 定 义 一般地，s
i 的（严格）占优战略，如果 s i是 i 严格最优选择，即： 对应所有的s i ，
i 称为参与人
ui (s , s i ) ui ( s , s i )s i , s s
* i ' i ' i
* i
' 对应地，所有的 i
s arg max ui ( s , , s , si , s
* i si S i * 1 * i 1
* i 1
, s )
* n
3.2.3 纳什均衡
纳 什 均 衡 的 定 义
注意：
纳什均衡有强弱之分，上述定义给出的是弱纳什均 衡的概念。一个纳什均衡是强的（strict or strong），如果给定其他参与人的战略，每一个参 与人的最优选择是唯一的。 如果一个纳什均衡是强的，没有任何参与人在均衡 战略与某些其他战略之间是无差异的；对比之下， 在弱纳什均衡的情况下，有些参与人可能在均衡战 略与非均衡战略之间是无差异的。
豪泰森（Hotelling）价格竞争模型
公共地的悲剧
公共物品的私人自愿供给
基础设施建设：中央政府和地方府之
间的博弈政
库诺特寡头竞争模型
库诺特寡头竞争模型是纳什模型最早的版本，在该模
型中，有两个参与人，分别成为企业1和企业2；每个企 业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量 的函数。
参 与 U 人 D L
参与人B M
R
1, 0 0, 3
参与人B L M
1, 2 0, 1
0, 1 2, 0
参 与U 人 D
A A
参与人B 参 与U 人 L M
1, 0 0, 3
1, 2 0, 1
1, 0
1, 2
A
3.2.2 重复剔除的占优均衡
注意：
如果每次剔除的是严格劣战略，均衡结果与剔除 的顺序无关。然而如果剔除的是弱劣战略，均衡结 果可能与剔除顺序有关。 与上节讨论的占优战略均衡不同，重复剔除的占 优均衡不仅要求每个参与人是理性的，而且要求 “理性”是参与人的共同知识，即所有参与人知道 所有参与人是理性的，所有参与人知道所有参与人 知道所有参与人是理性的，如此等等。