焦半径公式的三角形式及其应用

焦半径公式的三角形式及其应用
重庆清华中学 张 忠
焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设21,F F 是曲线的左、右焦点，点),(00y x P 在曲线上，记
11PF r =、22PF r =为左、右焦半径。

则在椭圆中：0201,ex a r ex a r -=+=；在双曲
线中：a ex r a ex r -=+=0201,；在抛物线)0(22
>=p px y 中：2
0p x r +
=。

若焦点在y 轴上时，则把相应的0x 改为0y 即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF 1|＝a ＋ccosθ； (2)|PF 2|＝a －ccosθ． 证明：∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P 的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF 1|＝a ＋ex p ＝a ＋ea·cosθ＝a ＋c·cosθ,|PF 2|＝a －ex p ＝a －c·cosθ．
例1. F 1、F 2是椭圆＋y 2
＝1的左右焦点，点
P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值 是______， 最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)
解：设椭圆的离心角为θ，又知a ＝2，c 2
＝3，由定理1得 |PF 1|c·|PF 2|＝a 2
－c 2
cos 2
θ＝4－3cos 2
θ
∵ 0≤cos 2
θ≤1 故知 |PF 1|c·|PF 2|max ＝4－3·0＝4 |PF 1|·|PF 2|min ＝4－3·1＝1
例2. 椭圆的左右焦点为F 1、F 2，试问此椭圆的离心率e 在什么值范围内，椭圆上恒存在点
P，使得PF1⊥PF2。

解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝
．
∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－
≤1，结合0＜e＜1得
≤e＜1为所求。

定理2：在圆锥曲线中，准线在焦点右侧时，焦半径θ
cos 1e ep
PF +=
，这里θ为x 轴到直
线PF 的角，p 为焦准距，在椭圆和双曲线中，因c b p 2
=，θcos 2c a b PF +=。

准线在焦
点左侧时，θ
cos 1e ep
PF -=，在椭圆和双曲线中，θcos 2c a b PF -=。

准线在焦点上方
或下方时，只需将θ视为y 轴到直线PF 的角即可。

证明：则在圆锥曲线中，有以下几种情形：
1． 准线在焦点右侧； 2． 准线在焦点左侧； 3． 准线在焦点上方； 4． 准线在焦点下方；
对于情形1：准线在焦点右侧，如下图1，设点),(00y x P 在圆锥曲线上，F 是焦点，QH 是准线所在直线，x 轴到直线PF 的角为θ，过点P 作Q QH PQ 于⊥，过点F 作
H QH FH 于⊥，则：
PQ e PF =，θcos PF FH PQ -=，可得
θ
θ
cos 1cos 1e ep
e FH e PF +=
+=
，这里p 为焦准距，在椭圆和双
曲线中，c
b p 2
=。

具体化到椭圆和双曲线中，有公式θ
cos 2
c a b PF +=，抛物线中，有公式
θ
cos 1+==
p
PF ；
对于情形2，如下图，准线在焦点左侧，同理可得：
θ
θ
cos 1cos 1e ep
e FH e PF -=
-=
，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲
线中，c
b p 2
=。

具体化到椭圆和双曲线中，有公式θ
cos 2
c a b PF -=，抛物线中，有公式
θ
cos 1-==
p
PF ；
对于情节形3、4，如下两图，只需将上两种情形中的θ的几何意义改为y 轴到直线PF 的角即可。

下面看角焦半径公式在高考中的应用：
例3．(07、重庆)过双曲线C ：42
2
=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0
105的直线，与双曲线
C 交于A 、B 两点，则|AF |·|BF |＝___________；
解：由题设有：2==b a ，2=e ，22
==a
b ep ⇒ |AF |＝
105cos 212
cos 1-=-θe ep ，|BF |＝
105
cos 212+⇒
|AF |·|BF |＝
02105cos 214-＝33
830cos 4)210cos 1(140
0=
=+-． 例4．（07.重庆理22）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线l 的方程
为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明
|
|1
||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值。

解：（I ）设椭圆方程为22
221x y a b +=．因焦点为(30)F ，，故半焦距3c =．
又右准线l 的方程为2a x c =，从而由已知
2
21236a a c
==，， 因此6a =
，b ==．故所求椭圆方程为
22
13627
x y +=． （II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3）
，不失一般性， 假设1203απ<
≤，且2123ααπ=+，3143
ααπ
=+． 又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率1
2
c e a ==，从而有
2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪
⎝⎭
g 1
(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，． 解得
1211cos 92i i FP α⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
(123)i =，
，．
因此1111
2311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 而
11124cos cos cos 33αααππ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭111111313
cos cos sin cos sin 022ααααα=---+=，
故
1
2311123FP FP FP ++=为定值． 例5. （07.重庆文21）如右图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

解：（Ⅰ）设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p
因此焦点)0,2
(p
F 的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为2
p x -
=。

从而所求准线l 的方程为2-=x 。

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知 |F A |=|FC |,|FB |=|BD |.
记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则
|F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+
a FA p p a FA p x x 解得a
FA cos 14
||-=
， 类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得a
FB cos 14
||+=。

记直线m 与AB 的交点为E ，则
a
a
a a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-=
所以a a FE FP 2sin 4
cos ||||==。

故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==
-=
-a
a a a
a FP FP 。

解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为
)2(-=x k y 。

将此式代入x y 82=,得04)2(42
222=++=k x k x k ，故2
2)2(k
k k x x B A +=+。

记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 2
2)
2(22k k x x x B A E +=
+=， k
x k y E E 4
)2(=-=，
故直线m 的方程为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标44222++-k k x P 故
a k k x FP P 22
2sin 4
)1(42||=
+=
-=。

从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||2
22==-=-a
a
a a a FP FP 为定值。

例6．（08、安徽）设椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)其相应于焦点F(2，0)的准线方程为
4x =．(1)求椭圆C 的方程；
（2）已知过点1F (－2，0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求证：|AB|＝
θ
2cos 22
4-；(3)过点1F (－2，0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C
于点A 、B 和D 、E ，求|AB|＋|DE|的最小值．
解：(1) 椭圆C 的方程为22
184
x y +=； (2) 1F (－2，0)是椭圆C 的左焦点，离心率2
e =
，设L 为椭圆的左准线，则L ：x ＝－4．作1AA ⊥L 于1A ，1BB ⊥L 于1B ，L 与x 轴交于点H ．∵点A 在椭圆上， 1122AF AA =
∴112(cos )2
HF AF θ=+122cos 2AF θ=+ 12cos AF θ⇒=
-，同理 12cos BF θ
=
+
112
42
2cos 2cos 2cos AB AF BF θθθ
=+=
+=--+∴．
（3）设x 轴到直线AB 的角为θ，由于,DE AB ⊥由（2）可得
42AB =
，42
DE =⇒
222224242122122
12cos 2sin 2sin cos 2sin 24
AB DE θθθθθ
+=
+==
--++当
34
4
π
π
θθ=
=
或时，AB DE +取得最小值1623．
例7．（05、全国2）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12
2
2
=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且PF ·MF ＝0，求四边形PMNQ 的面积的最大值和最小值．
解：y 轴到直线PF 的角为θ（0≤θ≤
2
π）．22
=a ，b ＝1，c ＝1， 22=e ，p ＝a b 2
＝22．由公式直接有：|PQ|＝|cos 2
11|22·
22θ-＝θ2
cos 222-， 同理：|MN|＝
θ2
sin 222-．∵ P Q ⊥MN ，∴ PMQN S ＝2
1
·|PQ|·|MN|⇒ PMQN S ＝
21·θ2cos 222-·θ
2sin 222-＝2
)2(sin 4
1
24ϑ+．
由0≤θ≤
2
π
,所以0≤sin2θ≤1⇒916≤PMQN S ≤2．
例8．（07、安徽）已知抛物线G ：x ²＝4y 的焦点为F ．（1）过点P （0，－4）作抛物线的
切线，求切线方程；（2）设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足
FA ·FB ＝0．延长AF 、BF 分别与抛物线G 交于点C 、D ，求四边形ABCD
的面积的最小值．
解：(1)设切点为Q(0x ,42
0x )．由y ´＝2
x
，知在点Q 处的切线斜率k ＝20x ．故
所求切线方程为：y －420x ＝20x (x －0x )．即y ＝20
x x －420x ．因为点P （0，－4）在切线上，
所以：－4＝2
x ·0－420x ，求得0x ＝±4．所求切线方程为：y ＝±2x －4．
（2）设y 轴到直线AC 的角为θ．e ＝1,p ＝2，由公式有：|AC|＝|cos ·11|2·222θ－＝θ
2
sin 4
，同理可得： |BD|＝
θ
2
cos 4，∵FA ·FB ＝0，∴AC ⊥BD ，所以： ABCD S ＝21·|AC|·|BD|＝21·θ2sin 4·θ2cos 4＝θ
2sin 322≥32．所以ABCD S 的最小值为32．
附同类练习题： 题 1.（2009
年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线
的右焦点为
，过且斜率为的直线交
于两点。

若
，则的离心率为（）
解 :选。

题 2.（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆
的离心率为。

过右焦点且斜率为
的直线于相交于两点，若
，则（）
解 :选。

题3 .（08高考江西卷理科第15题）过抛物线
的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线交于
两点（点在
轴左侧），则有＿＿＿＿
图3 解:。

题4.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知
是椭圆
的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段的延长线交
于点
，且
，则的离心率为＿＿＿
解:。

题5（自编题）已知双曲线的离心率为
，过左焦点
且斜率为
的直线交的两支于两点。

若
，则
＿＿＿
解:3
3
k 。

推论：已知点和直线
是离心率为
的圆锥曲线
的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。

过点
的弦
与曲线的焦点所在的轴的夹角为
，则有。

证明：设点在准线
上的射影分别为
，过点
作轴的垂线交直线
于点
，交直线
于点。

由圆锥曲线的统一定义得，
，所以。

图4
（1）当焦点内分弦
时。

如图4，
，。

，
所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

（2）当焦点外分弦
时（此时曲线为双曲线）。

图5
如图5，，。

所以，
所以较长焦半径，较短焦半径。

所以。

综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。

焦点弦的弦长公式为。