函数的凹凸性

k AB =
f ( x1 ) f ( x2 ) >0 显 然 成 立 ( 可 以 用 x1 x 2
1 > 0( x > 0) )故③正确 x ln 10 x + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 再有 AB 中点 C 1 ( , )过 C 2 2 x + x2 作 DC ⊥ x 轴交 f ( x ) 于 D( 1 , yD ) 2 f '( x ) =
函数的凹凸性
一,曲线的凹凸性与拐点
一,曲线的凹凸性与拐点
2 如图, 如图,观察抛物线 y = x , y = x ,它们 在区间[0,1]上都是单调增加的,但弯曲的方向 上都是单调增加的, 在区间 上都是单调增加的 y 不一样. 不一样.
这说明,在研究函数的图形时, 这说明,在研究函数的图形时, 仅知道他们的单调性是不够的, 仅知道他们的单调性是不够的, 还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点. 扭转弯曲方向的点. 1 o 1 x
二,凹凸与拐点的定义
定义: 若曲线段向上( 弯曲, 定义 若曲线段向上(下)弯曲, 则称之为凹 则称之为凹(凸)的.
y
C
B
A
o
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性? 问题 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性
y
y = f (x)
x
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段( 图形上任意弧段(的中点) 位于所张弦的下方. 位于所张弦的下方.
y = f (x)
y
f(
x1 + x 2 ) 2
y = f (x)
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 ) + f ( x2 ) 2
o
x1
x2
x
o
x1
x1 + x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
二,曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的; 凹 (2) 若恒有 图形是凸的 . 凸 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 拐点 则称 在区间 I 上连续 , 则称
2,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
y = loga x
(1,0 )
(a > 1)
y = log 1 x
a
3,幂函数 y = x ,
(是常数 )
y= x
(1,1)
y
y = x2
1
y= x
o
1 y= x
1
x
6,双曲函数 , 由
e , e
x
x
构成. 构成
D 在
f ( x)
上
有
:
yD = f (
x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) 故④不正确 ) > yC = 2 2
点评:本题主要考查了 f ( x ) = lg x 函数运算性质以及直 线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
定 义 在
R
上 的 函 数
图形上任意弧段( 图形上任意弧段(的中点) 位于所张弦的上方. 位于所张弦的上方.
二,曲线的凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
f ( x1 ) + f ( x2 ) 2
x + x2 f( 1 ) f ( x1 ) 2
x1 + x2 2
y = log 2 x 在 0 < x < 1 内为凸函数.所以答案为 B.
点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论.
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典例 2.(05 北京理工科 13) .对于函数 f (x ) 定义域中 任意的 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 ) ,有如下结论: ① f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) ; ② f ( x1 x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) ;
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 解析:答案为 B.要使 f ( 恒成 )> 2 2
立, 由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 < x < 1
x 2 内为凸函数. y = 2 , y = x 在 0 < x < 1 内为凹函数, 而
y = cos 2 x 在 0 < x < 1 内 先 凸 后 凹 函 数 . 只 有
y y y
o o o
x 1+x2 x x x11 xx1+x2 x22 x x
2 2
【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中
的研究函数的一个概念,是用来研究函数图象的变化趋 势的.
【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质,这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中. 经常与高中所学的函数, 三角,不等式知识相结合.此类问题的常规处理思路有 数形结合法,导数分析法,增量分析法,估猜法等.
f ( x1 ) f ( x 2 ) ③ > 0; x1 x 2
④ f(
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) )< . 2 2
当 f ( x ) = lg x 时 ,上述 结 论中正确 结 论的 序 号 是 .
【详解】 对于①②可以用 f ( x ) = lg x 直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示: 对于 f ( x ) = lg x 图象上任意不同 两点 A( x1 , f ( x1 )) B ( x 2 , f ( x2 ))
1 1 1 1 2 1 a ≥ x 2 x = ( x + 2 ) + 4 1 即 恒成立,当 x ∈ (0,1] 时 ≥ 1, 1 1 1 1 1 x a ≤ 2 = ( )2 x x x 2 4 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ∴当 = 1 时, ( + ) + 取得最大值 2 , ( ) 取得最小值 0 x x 2 4 x 2 4
x = ln( y +
互换, 将字母 x 与 y 互换,得 即
1
y = ln( x +
2
x 2 + 1)
f ( x ) = ln( x + x + 1)
�
y = cosh x
e x ex 双曲正弦 sinh x = 1 x 2 y= e
D : ( ∞ ,+∞ ),
奇函数. 奇函数
x x
2
e +e 双曲余弦 cosh x = 2
D : ( ∞ ,+∞ ),
1 x y= e 2
y = sinh x
偶函数. 偶函数
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x = = x x cosh x e + e
(1) 求证:当 a (2) 如果 x ∈
[0,1] 时
x1 + x2 解析: (1) 对任意的 x1 , x2 ∈ R, a > 0 , [ f ( x1 ) + f ( x2 )] 2 f ( ∴ )= 2 1 x1 + x2 2 x1 + x2 2 2 2 2 ax1 + x1 + ax2 + x2 2a ( ) + = ax1 + ax2 a( x12 2 2 2
y = thx y = cothx
双曲函数常用公式
sinh( x ± y ) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y ; cosh( x ± y ) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y ;
cosh 2 x sinh 2 x = 1 ; sinh 2 x = 2 sinh x cosh x ;
f (x)
满 足 : 如 果 对 任 意
x1 , x2 ∈ R
都 有
x1 + x2 1 f( ) ≤ [ f ( x1 ) + f ( x2 )]则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数,已知二次函 2 2
数
f ( x) = ax 2 + x(a ∈ R 且 a ≠ 0) , > 0 时函数 f (x) 是凹函数; f ( x) ≤ 1 ,试求实数 a 的范围.
D : ( ∞ ,+∞ )
奇函数, 奇函数 有界函数, 有界函数
shx e e 双曲正切 thx = = x x chx e + e
x
x
定义域: 定义域:(∞, + ∞) 奇函数 单调递增 有界
chx e + e 双曲余切 cothx = = x x shx e e
x
x
定义域: 定义域:(∞, + ∞) 奇函数
∴ 2 ≤ a ≤ 0 结合 a ≠ 0 ,∴a ∈ [2,0) .
指数函数,对数函数,幂函数等基本初等函数的凹凸性. 指数函数,对数函数,幂函数等基本初等函数的凹凸性.
y = ax 1,指数函数 ,
1 x y =( ) a
(a > 0, a ≠ 1)
y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0,1)
cosh 2 x = cosh x + sinh x .
2 2
例9 解
1 x 的反函数. 求函数 f ( x ) = ( e e x ) 的反函数 2 1 x 令 y = ( e e x ), 则 2 e 2 x 2 ye x 1 = 0
ex = y ±
y2 + 1 y + 1)
2
(舍去"-") 舍去" )
典例 1. (05 湖北卷) 在 y = 2 x , y = log 2 x, y = x 2 , y = cos 2 x 这 四 个 函 数 中 , 当
0 < x1 < x2 < 1
时
,
使
x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数 f( )> 2 2
是( B ) A.0 B. 1 C.2 D.3
1 x1 + x2 1 2 = a ( x1 x2 ) ≥ 0 ,∴ f ( ) ≤ [ f ( x1 ) + f ( x2 )]故函数 f (x) 是 2 2 2
凹函数.
(2)由
f ( x) ≤ 1 1 ≤ f ( x) ≤ 1 1 ≤ ax 2 + x ≤ 1
①
2 ax ≥ x 1 当 x = 0 时, a ∈ R ,当 x ∈ (0,1] 时①即 恒成立 2 ax ≤ x + 1