天津大学工程力学材料力学第五章-弯曲应力1

σ = Eε = E
y
ρ
工程力学
?待解决的问题： ρ =？ 中性层(轴) 的位置
3.静力关系
横截面上的微力， σ dA 组成平行 于 x 轴的空间平行力系，这个力系只 可能简化为
工程力学
N = ∫ σdA
A
M z = ∫ yσdA
A
y z
dA
z
M y = ∫ zσdA
A
σdA
y
N=0， My=0， Mz=M
2
o′ b′
1
2
工程力学
bb
纤维的线应变为
dθ
b′b′ −bb (ρ + y)dθ − ρdθ ε= = dx bb
( ρ + y )dθ − ρdθ = ρdθ
y
ρ
o′ b′
o′ b′
=
y
ρ
工程力学
对给定截面，ρ为常数，⎯ 反映弯曲 的程度，上式表明，横截面上某点的纵 向应变与该点到中性轴的距离成正比。 2.物理关系 由于纵向纤维间无挤压，每一纵向纤 维都只在纵向受拉伸或压缩。所以，其应 力-应变关系为胡克定律。
dA C zc z y
z (t ⋅ dA) ⋅ γ wenku.baidu.com A zC = G
dA 微面积
G = tAγ
γ
比重 Î
G 薄片重量
o
y
yc y
ydA ∫ A yC = A
薄片图形的形心
zdA ∫ A zC = A
工程力学
z
z
形心 C ( yC , zC )
Cy
dA
形心坐标
ydA zdA ∫ ∫ A A yC = zC = A A
=
E
I yz
∴ I yz ≡ 0
∴ My ≡ 0
工程力学
由 M z = ∫ yσdA = ∫ E
A A
y2
ρ
dA =
E
y dA = I ∫ ρ ρ
2 A
E
z
=M
M ∴ = (5-1) ρ EI z y M M σ = E = Ey ⋅ = y ρ EI z I z
M σ= y Iz
(5-2)
工程力学
主讲教师：李林安
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工程力学
弯曲应力
问题： 1、纯弯曲的特点和梁弯曲的平面假设内容？ 2、平面弯曲的正应力如何计算 ？ 3、梁的截面有哪些几何性质？如何计算？ 4、梁的弯曲的切应力如何分布？ 5、 梁的合理截面形状与合理受力 ？
工程力学
§5-1 引言
τ →Q
M M Nc Nl
σ →M
1
小结
M = ρ EI z 1
M y ε= = ρ EI z y M σ =E = y ρ Iz
工程力学
y
讨论：
符号 在我们的坐标系 中， M 用材力规定符 号，y用图中坐标， 则得到的 σ 的符号即 为材力的规定符号， 即正号为拉应力，负 号为压应力。
M z
y
正应力公式与截面形状无关，只要求满 足平面弯曲的条件。
z轴不是对称轴时(如T字、梯形等)
| σ L max |≠| σ C max |
工程力学
矩形截面
bh Iz = 12
3
I z bh Wz = = h 6 2
2
圆形截面
Iz =
πd 4
64
I z πd 3 Wz = = d 32 2
σ沿横截面宽度方向均匀分布。
工程力学
思考 • 考虑由两种材料制作的复合截面梁,弹
工程力学
思路：先研究只有 M ，没有 Q 情况下， 正应力分布规律： M-σ 关系。然 后分析Q的存在对σ分布规律的影 响。从而得到既有 M 又有 Q 时的 正应力分布规律。
工程力学
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
工程力学
AC、DB两段为横力弯曲。 CD段发生纯弯曲
工程力学
中性轴上σ =0，中性轴又称为零应力线。
最大正应力发生在距离中性轴最远处 ( 最 大正应力通常指绝对值)
σ max
M = ymax Iz
⎯ 抗弯截面模量
工程力学
Iz Wz = ymax
y1 M
中性层
M
y2
工程力学
z轴为横截面的对称轴时 (如圆形、矩形、 工字形)
| σ L max |=| σ C max |
工程力学
几何关系的推导： 设想梁是由无数根纵向纤维组成的， 梁在正弯矩作用下，靠近顶面纤维缩短， 靠近底面的纤维伸长，由于连续性假设知， 从顶部到底部纵向纤维，由缩短到伸长是 连续变化的。所以，其间必有一层纤维既 不伸长，也不缩短。称为中性层。中性层 与横截面的交线称为中性轴。
工程力学
建立坐标系
dM = Q 知， 由 dx
p A a + pa M + p C L
p D a − pa B
当梁段中剪力Q=0时，Q 弯矩将为一常数。
p
工程力学
§5-2 纯弯时梁横截面上的正应力 1.几何关系
观察矩形截面梁纯弯变形现象
M
M
工程力学
变形现象： 所有纵向线变成曲线，靠近上部的 缩短，下部伸长。 所有横向线仍保持为直线，只是互 相倾斜了一个角度，且仍垂直于变 形后的纵向线。 原矩形横截面，上部变宽了，下部 变窄了。
工程力学
推断与假设 由 假设1，变形前为平面的梁横 截面，变形后仍为平 面，只是绕某轴转动 了一个角度，且仍垂 直于变形后的梁轴线。 由 假设2，纵向纤维间无挤压
工程力学
基于上面假设所得到的理论称为 梁的简单理论。由梁的简单理论导出 的应力和变形为长期的工程实践所证 实是符合实际情况的。对于纯弯曲问 题与弹性理论的结果一致。
中性层
o−x y荷载作用面 o−x z中性层
O
z轴为中性轴
中性轴 x
y
y
工程力学
1.几何关系
取相隔dx的梁段如图所示
oo 为中性层，bb
为距中性层为y的 纵向纤维。 设： 变形后中性层的 曲率半径为 ρ ， 相距为dx的两横 截面夹角为dθ 1 o b 1 y dx 2 o b 2
y
dθ
ρ
1
o′ b′
性模量分别为: E1 和 E2,假设平面假设 依然成立。确定中性轴位置，并划出 应力分布。
M
M
E1,H1 E2,H2
工程力学
§5-3
截面的几何性质
静矩和形心 惯性矩、惯性积和惯性半经 平行移轴公式
工程力学
静矩和形心
厚度 t 极小的薄片如图，在图形所在平面内建 y (t ⋅ dA) ⋅ γ 立坐标系 ∫ A yC = z G 重心 C ( yC , zC )
工程力学
横截面上的正应力应满足的三个静 力关系为： E y E N = σdA = E dA = ydA = S z = 0 ρ ρ ρ
∫
A
∫
A
∫
A
Q
E
ρ
≠0
∴ Sz = 0
∴ Z轴必过横截面的形心。
工程力学
M y = ∫ zσdA = ∫ zE dA =
A A
y
E
ρ
ρ
yzdA ∫
A
ρ Q y轴为对称轴。