兔子的繁殖

兔子的繁殖Ⅲ

『摘要』

在700多年前，意大利著名数学家斐波那契在他的《算盘全集》一书中提出了这样一道有趣的兔子繁殖问题。在中学数学教学中，尽管兔子繁殖问题原本是一个算术问题（小学生对此也有一定了解），但人们热衷的是从中抽象出一般的数量关系。在我国中学数学教学的有关文献中，也经常可以看到对此问题的介绍。并且兔子繁殖同题也是一个很典型的数学建模案例，建立它的数学模型，可以从诸如用图式直接计数、建立递推关系式、矩阵表达式和组合表达式等多个角度入手。 关键词：兔子 繁殖 斐波那契 矩阵表达式

1 问题重述

由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？ 假设兔子的生殖力是这样的：一对兔子每月可生一对幼兔，幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，三个月后就离开群体。问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？求这个种群的稳定分布。

2 问题分析

题目中所说的兔子从生物学行为上可以区分为不同的三类：寿命很长不具繁殖能力的老兔，寿命较长具有繁殖能力的成兔和寿命尚短还不具有繁殖能力的幼兔。根据问题的论述，可以知道在这个问题中的兔子群体的繁殖和发育过程中幼兔，成兔与老兔之间存在如下的依赖关系：

本月初的幼兔是上月成兔、老兔繁殖的后代。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。

3 模型假设：

1、在每个月的月初统计兔子数量；

2、每对具有繁殖能力的兔子每一个月定生一对兔子。

3、兔子出生两个月后都具有繁殖能力。

4、兔子每经过一个月底就增加一个月齢。

5、兔子在三个月后生完一对幼兔就离开群体。

4 参量、变量

月份： n, 幼兔数量： a0(n), 成兔数量： a1(n), 老兔数量：a2(n)

5 平衡关系

本月初的幼兔数量=上月成兔繁殖的幼兔数量+上月的老兔繁殖的幼兔数量

本月初的成兔数量=上月幼兔数量的发育结果。

本月初的老兔数量=上月成兔数量的发育结果。

6 模型的建立及分析

a0(n+1)=a1(n)+a2(n)

a1(n+1)=a0(n)

a2(n+1)=a1(n)

令 a (n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则

a (n) = A a (n-1)

其中

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=010001110A

1.模拟幼兔成兔数量和比例随时间的变化如下图：

2.矩阵特征值和特征向量方法

矩阵A的特征方程为：λ^3- λ-1=0

有特征值（渐进增长率）λ= 1.3247

特征向量（稳定的年龄结构）L=( -0.7265, -0.5484, -0.4140)

7.模型的评价

附录：

a=[0 1 1;1 0 0;0 1 0];

x=[1 0 0]';

for k=2:12

y=a*x(:,k-1);

x=[x y];

end

zz=repmat(sum(x),[3 1]);

z=x./zz;

t=1:12;

plot(t,x(1,:),'r*',t,x(2,:),'b*',t,x(3,:),'m*'),grid 幼兔成兔老兔数量随时间变化

plot(t,z(1,:),'r*',t,z(2,:),'b*',z(3,:),'m*'),grid 幼兔成兔老兔比例随时间变化

a=[0 1 1;1 0 0;0 1 0];

[V,D]=eig(a)

V =

-0.7265 0.0804 - 0.4885i 0.0804 + 0.4885i -0.5484 -0.4344 + 0.3688i -0.4344 - 0.3688i -0.4140 0.6559 0.6559

D =

1.3247 0 0

0 -0.6624 + 0.5623i 0

0 0 -0.6624 - 0.5623i