分类加法计数原理与分步乘法计数原理公开课

许数字重复。试问：该城市最多 可装电话多少？
练习1
1、书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同 的文艺书，第3层放有2 本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同
的取法？ 4+3+2=9（种）
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有
多少种不同的取法？4 ×3 ×2=24（种）
各类办法是互斥的、
区别三 并列的、独立的
各步之间是相关联的
点评:
加法原理看成“并联电路”;
m1
A
m2
B
……
mnБайду номын сангаас
乘法原理看成“串联电路”
A m1
B m2 …... mn
判断下列用分类 还是分步原理，并说出式子 1、从5名同学中选出正副班长各一名，则不同的任职 方案有多少种？ 分步 5×4
2、三层书架上，上层放着10本不同的语文书，中层 放着9本不同的数学书，下层放着8本不同的英语书，
计数原理
导入新课 实际问题
从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路； 从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路， 问：从甲地到丁地有多少种走法？
甲地
乙地
丙地
丁地
要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理
分类计数原理与分步计数原理．
分类计数原理与分步计数原理
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
例2：
两个袋子里分别装有40个红球与60个白球， 从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？
解：取一个白球和一个红球可以分成
两步来完成：
60
第一步从装白球的袋子里取一个白球，
个
有60种
第二步从装红球的袋子里取一个红球，
40 个
有40种
共60*40=2400
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编 号.
1
A1
1
2
A2
2
3
A3
3
4
A4
4
A
5
A5 9种
B
5 9种
6
A6
6
7
A7
7
8
A8
8
9
A9
9
6 × 9 =54
2、分步计数原理 （乘法原理）
做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
乘法原理
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。
例3：
某班级有男三好学生5人,女三好学生4人
(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同 的选法？
(2) 从中任选男、女三好学生各一人去参 加座谈会,有多少种不同的选法？
例4：某城市电话号码由8位组 成，其中从左边算起的第1位只用 6或8，其余7位可以从前10个自然 数0，1，2，…,9中任意选取，允
例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白
球，从中任取一个球，有多少种取法？
解：取一个球的方法可以分成两类：
一类是从装白球的袋子里取一个白球
40 个
有40种取法；
另一类是从装红球的袋子里取一个红球
有60种取法。
60 个
因此取法种数共有 40+60=100（种）
问题2：如图,由A村去B村的道路有3
从甲地到乙 地有3条路， 从乙地到丁地 有2条路；从 甲地到丙地有 3条路，从丙 地到丁地有4 条路，问：从 甲地到丁地有 多少种走法？
实际问题
甲
乙
丙
丁
练习 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1
A1 D
A
C1
B1 C
B
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶
条，由B村去C村的道路有2条。从A村
经B村去C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
解： 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6
种不同的方法。
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三
位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
联系
区别一
加法原理
（1）从书架上任取一本，有多少种取法？ 分类 10+9+8
（2）从书架上任取语数外各一本，有多少种取法？ 分步 10×9×8
3、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？分类(按十位分) 8+7+6+5+4+3+2+1
4．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到 5楼共有多少种不同的走法？分步 3×3×3×3
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每 一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）
1、分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有n类 办法,在第一类办法中有m1种不同的 方法,在第二类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共 有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
2、由数字1，2，3，4，5，6 可以组成多少个四位数？（各位 上的数字不重复）
6 ×5 ×4 ×3=360（个）
3、一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数 字， 这4个拨号盘可以组成多少 个四位数字的号码？
10 ×10 ×10 ×10=10 4
注意
有些较复杂的问题往往不是单纯 的“分类”“分步”可以解决的， 而要将“分类”“分步”结合起来 运用．一般是先“分类”，然后再 在每一类中“分步”， 综合应用分 类计数原理和分步计数原理．请看 下面的例题：