量子力学 第三章3.5厄米算符本征函数的正交性

于条件方程的个数，所以 可以有许A多ji 选择方式，使
得函数 满足正交归n一j 化条件。
由简并的这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函 数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。
说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 Fˆ 的本
征态确定下来，往往用与 Fˆ 对易的其它的力学量算符
的本征值来对体系的状态分类，其本征值与 n 一起共 同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如：Lˆ 2的
f
f
f
Fˆ nj = Fˆ A ji ni A jiFˆ ni n A ji ni n nj
i1
i1
i1
使新函数 nj 组成正交归一系应满足的条件为：
f
nj nj' d
f
A A * ji j'i'
i1 i' 1
*nini' d
1,
0,
j j' j j'
f个 Cf2 个
本征值为 ( 1)， 2对于确定的 ， 其本征函数 是Ym
重简2并1的。用与 对易的Lˆ 算2 符 的本征Lˆ值z 来确定m
态函数 ，此Y时m，它对应的本征值为
，
这时[，( 波1函) 2数, m是唯] 一确定的。
综合上述讨论可得如下结论：
既然厄密算符本征函数总可以取为正交 归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本 征函数时，都是正交归一化的，即组成正交 归一系。
1 eim 2
m 0,1,2
组成正交归一系：
2 0
* m
()
m'
()d
2 0
1 ei(mm' )d 2
m m'
①
<2>角动量平方算符Lˆ 2属于本征值( 1的)本2 征函数
Y m(, ) N mP m (cos )eim
组成正交归一系：
0
2 0
Y*m
(,
)Y'm
(,
)
sin
dd
'
例如：动量本征函数
p (r )
1 (2)3/ 2
ei
pr
，则：
pp
*p (r)p (r)d (p p) 0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数
p' (r),p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交
设厄米算符 Fˆ对应于不同本征值 、k 的 本征函数为
k 和 ，即证：
②
把①②合写
0
2 0
Y*m
(,
)Y'm
(,
)
sin
dd
'
mm
③
3.氢原子的波函数：
nm (r, , ) R n (r)Ym (, ) 组成正交归一系：
0
0
2 0
nm
n
'm
r
2
sin
drdd
n,n'
（给定
Hale Waihona Puke Baidu
l,
m)
④
①②③④合写为：
0
0
2 0
nm
r n'm
2
sin
drdd
一、两函数正交的定义：
三维空间中二矢量正交：
3
r R r1R1 r2R 2 r 3R 3 ri R i 0
i1
N维空间中二矢量正交：u
v
N
uivi
0
i1
若两函数 1,满足2 关系式：
*1 r 2 r d 0
全部域
则称为两函数 1, 相2互正交，式中积分是对变量变 化的全部区域进行的。
k
d
0。
(k )
证明： 因 Fˆ k ；k k Fˆ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d
k Fˆ d k d
而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k kd kd 即：( k ) k d 0
而 k
所以： kd， 证 0毕。
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及
其证明都成立。
属于不同本征值的本征函数都是正交的。
说明：
假若 Fˆ的本征值组成分立谱，且 kk，d 1
则：
k d k
0, 1,
k k
于是称 1, 2 , 3, n 归一本征函数系。
为厄米算符 Fˆ 的正交
假若 Fˆ的本征值组成连续谱，则代替上式有：
Fˆ ni n ni
i 1、2、f ，
于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我
们总可以用 个f 常2 数 把A这ji 个函数f 线性组合成 个新的f线性独
立的待定函数 ，即：nj
f
nj Ajini ， j 1,2,3f i 1
其中 nj 仍然是 Fˆ 的本征函数（迭加原理），即：
j, j' 1,2,f
即待定系数
A ji 必须满足的条件有
f (f 1) 2
个方程，其
中 j j' 的归一化条件有 f 个； j j' 的正交条件有
f (f 1) 2
C
2 f
个。
而待定系数 A ji 共有 f 2 个值。
于是只要 f ，1就有
f 2 f，(f即待1) 定系数
2
的个数A大ji
四、正交归一函数系的例子：
1. 一维线性谐振子的能量本征函数：
12x2
n (x) Nn e 2 H n (x)
(n 0,1,2,)
组成正交归一系。
Nn N n
e 2x 2
Hn
(x)H n'
(x)dx
n ,n'
2.角动量算符的本征函数：
<1>角动量算符z 分量 Lˆ 的z 本征函数：
m ()
n,n'
'
mm
所以 n (x)、nm (r, , )、Ym (, )、 m ()都
是正交归一函数系。
'
d
(
'
)
0, ,
' '
于是称{ }为厄米算符 Fˆ 的正交归一本征函数系。
三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）
如果 Fˆ的一个本征值 是n 度f简并的，既有 个（f 而不是一个）本
征函数
n1, 都n2属, 于n3相,同的本nf 征值 ，而且是线性无关n
的，则有：