2020-2021上海民办华育中学九年级数学上期中试题(含答案)

2020-2021上海民办华育中学九年级数学上期中试题(含答案)
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1
B ．1
C ．-4
D ．4
2．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3
B ．3
C ．-
13
D ．
13
3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ） A ．3 B ．5
C ．6
D ．8
4．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( )
A ．(x+3)2＝1
B ．(x ﹣3)2＝1
C ．(x+3)2＝19
D ．(x ﹣3)2＝19
5．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
6．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于
（ ） A ．1
B ．1或4
C ．4
D ．0
7．若关于x 的一元二次方程2
(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1
2
k >
且k ≠1 B ．12
k >
C ．1
2
k ≥
且k ≠1 D ．12
k <
8．解一元二次方程 x 2﹣8x ﹣5＝0，用配方法可变形为（ ） A ．（x +4）2＝11
B ．（x ﹣4）2＝11
C ．（x +4）2＝21
D ．（x ﹣4）2＝21
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、
'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）
A ．3
B ．3
C ．4
D ． 3
11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2
ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ） A ．2y
x B ．2(12)y x =- C ．(12)y x x =- D ．2(12)y x =-
二、填空题
13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．
14．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．
15．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．
16．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
17．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛
物线的函数关系式为_____________ .
18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．
19．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为____________________．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为BB ，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
21．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：
抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610
针尖不着地的频率m
n
0.630.600.630.600.620.610.61
（1）填写表中的空格；
（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；
（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为．
22．小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．
（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
23．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC·AD=AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．24．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．
（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P=
3
4
，AD=6，求线段AE 的长． 25．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情． (1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；
(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 【详解】
解：根据题意可得： △=2
(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ． 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】
根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B ． 【点睛】
本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据根的判别式的意义得到16﹣4m ＞0，然后解不等式得到m ＜4，然后对各选项进行判断． 【详解】
根据题意得：△=16﹣4m ＞0，解得：m ＜4，所以m 可以取3，不能取5、6、8． 故选A ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】
方程移项得：2610x x -=， 配方得：26919x x -+=， 即2
(3)19x -=， 故选D ．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】
解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称， ∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值． 【详解】
解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1， 而a−1≠0， 所以m ＝4． 故选C ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案． 【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2
(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴2
24(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12
k >
， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是1
2
k >且k≠1； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】
解：∵x2-8x=5，
∴x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
故选D．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到
AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠
BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．
【详解】
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A ′B ′C=∠B ′AC+∠B ′CA ， ∴∠B ′CA=60°-30°=30°， ∴B ′A=B ′C=1，
∴AA ′=AB ′+A ′B ′=2+1=3． 故选：A ． 【点睛】
考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 【详解】
解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 故选：D. 【点睛】
本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数. 【详解】
∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ， ∴另一边为12-x ，
故面积2
ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =-
故选C 【点睛】
此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.
二、填空题
13．【解析】【分析】首先连接OBOB′过点B′作B′E ⊥x 轴于E 由旋转的性质易得∠BOB′＝105°由菱形的性质易证得△AOB 是等边三角形即可得OB′＝OB ＝OA ＝1∠A
OB＝60°继而可求得∠AOB′
解析：22
(,)
22
-
【解析】
【分析】
首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝1，∠AOB ＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．
【详解】
连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，
根据题意得：∠BOB′＝105°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，∠AOB＝1
2
∠AOC＝
1
2
∠ABC＝
1
2
×120°＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB＝OA＝1，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝1，
∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝1×
22 22
=，
∴点B′的坐标为：（
2
2
，﹣
2
2
）．
故答案为：（
2
2
，﹣
2
2
）．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，辅助的正确作出是解题的关键.
14．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB
解析：70°
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】
因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°
因为∠D＝20°
所以∠A=∠D＝20°
所以∠CBA=90°-20°=70°
故答案为：70°
【点睛】
考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．
15．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°
解析：3 2
【解析】【分析】
设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝1
2
·BD·AE得到关于S与x的二次函
数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】
解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，
∴EA⊥BD，
∴S△DEB＝1
2
•x（6﹣3x）＝﹣
3
2
x2+3x=﹣
3
2
（x﹣1）2+
3
2
，
∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.
16．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23
解析：3
4
【解析】 【分析】
根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案． 【详解】
根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34
. 故其概率为：34
． 【点睛】
本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-
【解析】 【分析】
先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】
抛物线2
51y x =-+的顶点坐标为（0，0），
∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2）， ∴所得抛物线的解析式是()2
511y x =-+-． 故答案为：()2
511y x =-+-． 【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
18．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3
解析： 【解析】 连接OB ，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=360
62
︒
⨯
=30°，
∴OM=OB•cos∠BOM=6×
3
2
=33，
故答案为：33.
19．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环
解析：（6053，2）．
【解析】
【分析】
根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.
【详解】
第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2017÷4=504余1，
P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，
∴P2017（6053，2），
故答案为（6053，2）．
考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
20．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边
解析：3 2π
【解析】
分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出22
12=5
+，22
22=22
+，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．
详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
连接DB、DB′，
则DB′=22
12=5
+，A′B′=22
22=22
+，
∴S阴=905253 1222222= 360242
（）
π
π⨯
-⨯÷--⨯÷-.
故答案为53 42π-．
点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）见表格解析；（2）见解析；（3）0.39．
【解析】
【分析】
（1）先由频率＝频数÷试验次数算出频率；
（2）根据表格作出折线统计图即可；
（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．
【详解】
解：（1）
抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率0.630.600.620.630.620.600.620.610.610.61（2）
（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是1﹣0.61＝0.39．【点睛】
考核知识点：用频率表示概率.求出频率是关键.
22．（1）列表见解析；（2）游戏公平，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果；
（2）根据小明获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．【详解】
解：（1）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性是相同的，
两次数字之和大于11的结果有6种，
所以，P（小明获胜）
63 == 168
，
两次数字之和小于11的结果有6种，
所以，P（小亮获胜）
63 == 168
，
因为，33
=
88
，
所以，这个游戏是公平的．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．（1）证明见解析；（2）AC=4.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC，由相似比即可得；
（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；
【详解】
（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE
（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.
考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.
24．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2
【解析】
试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．
（2）由OC∥AD，推出OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
，由BE∥PD，AE=AB•sin
∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．
试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：
连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=3
4
，∴PD=8，AP=10，设半
径为r．∵OC∥AD，∴OC OP
AD AP
=，即
10
610
r r
-
=，解得r=15
4
．∵AB是直径，∴∠
AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=15
2
×
3
5
=
9
2
．
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）1
2
；（2）
1
3
【解析】
【分析】
（1）根据甲、乙两所医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是：21 42 =；
故答案为：1 2 .
（2）将甲、乙两医院的医生分别记为男1、女1、男2、女2，画树形图得：所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．
∴P(2名医生来自同一所医院的概率) ＝
41 123
=．
【点睛】
本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．。